IL VINCOLO DI BILANCIO DEL CONSUMATORE

Il vincolo di bilancio di un consumatore rappresenta tutti i possibili panieri a cui un consumatore può accedere spendendo tutto il suo reddito.

La formula del vincolo di bilancio con due beni X e Y è del tipo:

$$x\ P_x+y\ P_y=R$$

Dove in particolare:

$$\begin{aligned}&x,y=\text{quantità acquistate dei beni X e Y}\\&P_x=10\quad P_y=5\quad R=1.000\\&R=\text{reddito del consumatore}\end{aligned}$$

In modo analogo possiamo determinare un vincolo con tre beni X,Y,Z

$$x\ P_x+y\ P_y+z\ P_z=R$$

In generale con n beni possiamo concepire un formula più generale del tipo

$$x_1 P_1+x_2 P_2+\cdots+x_n P_n=R$$

Possiamo anche sintetizzare tale formula nel seguente modo:

$$\sum X-i P_i=R$$

VINCOLO DI BILANCIO CON DUE BENI 

Per rendere tangibile il concetti di vincolo di bilancio cominciamo con il caso semplice in cui il nostro consumatore può scegliere tra due soli beni.

Chiamiamoli per ora semplicemente bene X e bene Y.

Definiamo inoltre x e y le quantità acquistate di tali beni, mentre Px e Py sono i loro prezzi.

$$\begin{aligned}&x,y=\text{quantità acquistate dei beni X e Y}\\&\\&P_x,P_y=\text{prezzi dei beni X e Y}\end{aligned}$$

A questo punto possiamo definire il prodotto tra x e Px la spesa complessiva per il bene X.

Mentre il prodotto tra y e Py è la spesa per il bene Y.

$$\begin{aligned}&x\ P_x=\text{spesa per il bene X}\\&\\&y\ P_y=\text{spesa per il bene Y}\end{aligned}$$

Supponiamo infatti ad esempio che il bene x abbia un prezzo di 5 euro e che ne vengano acquistate dal consumatore 10 unità.

Diremo allora che la spesa complessiva del consumatore per il bene X sia pari a 50 euro, ovvero il prodotto tra il prezzo del bene e la quantità acquista.

Supponiamo altresì che il nostro consumatore disponga di un reddito pari a R.

In questo caso risulta interessante porsi una domanda fondamentale.

Quale è la quantità massima x di beni X che posso acquistare spendendo tutto il reddito R?

Tale quantità è individuata dal consumatore come il rapporto tra il suo reddito R e il prezzo del bene X.

$$x_{\text{MAX}}=\frac{R}{P_x}$$

Ipotizziamo infatti che il nostro consumatore disponga ad esempio di un reddito pari a 1.000 euro e il prezzo del bene x sia pari a 10 euro.

In questo caso la quantità massima di bene X che possiamo acquista ammonta a 100 ovvero al rapporto tra 1.000 (reddito) e 10 (il prezzo del bene x.

In modo analogo possiamo anche affermare che la quantità massima y del bene Y che possiamo acquistare con il reddito pari a R risulta essere pari a

$$y_{\text{MAX}}=\frac{R}{P_y}$$

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL VINCOLO DI BILANCIO 

Quando il consumatore può scegliere tra soli due beni risulta facile ed immediato dare una rappresentazione grafica al vincolo di bilancio.

Supponiamo di disporre dei seguenti dati 

$$\begin{aligned}&x,y=\text{quantità acquistate dei beni X e Y}\\&P_x,P_y=\text{prezzi dei beni X e Y}\\&R=\text{reddito del consumatore}\end{aligned}$$

L’equazione del vincolo di bilancio V del consumatore risulta essere

$$V:\quad x\ P_x+y\ P_y=R$$

Dal punto di vista grafico si tratta di una retta con pendenza negativa pari a –Px/Py

$$\text{pendenza del vincolo}=-\frac{P_x}{P_y}$$

Tale pendenza rappresenta il costo opportunità del bene X in termini di Y.

Detto in parole più semplici indica la quantità aggiuntiva di bene y cui dobbiamo rinunciare  per ottenere una unità aggiuntiva di bene X.

Le due intercette sono le quantità massime che il consumatore può acquistare spendendo tutto il reddito per un solo bene.

In particolare l’intercetta sull’asse orizzontale è il rapporto tra il reddito R e il prezzo di x Px.

Mentre l’intercetta verticale (asse y) è il rapporto tra il reddito E e il prezzo di y Py.

$$\text{intercette}:\ \left(\frac{R}{P_x},0\right)\quad \left(\frac{R}{P_y},0\right)$$

La rappresentazione grafica del vincolo permette di distinguere in maniera chiara i panieri accessibili al consumatore da quelli non accessibili.

I panieri accessibili si trovano nella parte interna del vincolo, incluso il vincolo stesso.

Tali panieri sono dunque identificati dalla disequazione

$$\text{P.A.}:\quad x\ P_x+y\ P_y\le R$$

In questo caso la spesa complessiva per i beni non eccede il reddito a disposizione.

Mentre i panieri non accessibili si trovano nella parte esterna al vincolo.

$$\text{P.N.A.}:\quad x\ P_x+y\ P_y> R$$

Diversamente in questa situazione diciamo che la spesa per i beni è superiore al reddito.

ESEMPIO DI VINCOLO DI BILANCIO CON DUE BENI 

Facciamo un semplice esempio di vincolo di bilancio con due beni.

Supponiamo che il nostro consumatore possa decidere di spendere il proprio reddito nell’acquisto di case (bene X) misurato in metri quadrati e di cibo(bene Y) misurato in unità di beni.

Sappiamo inoltre che il costo mensile di una casa sia 10 euro al metro quadro mentre il costo di una unità di cibo sia pari a 5 euro.

Sappiamo inoltre che il reddito mensile a disposizione del consumatore sia pari a 1.000 euro netti.

EQUAZIONE DEL VINCOLO E RAPPRESENTAZIONE

Sintetizziamo quindi i dati del nostro testo in questo modo

$$P_x=10\quad P_y=5\quad R=1.000$$

L’equazione del vincolo di bilancio risulta dunque 

$$V:\quad 10x+5y=1.000$$

Le intercette del vincolo orizzontale e verticale che indicano i consumi massimi dei beni sono rispettivamente

$$\begin{aligned}&\frac{R}{P_x}=\frac{1.000}{10}=5\\&\\&\frac{R}{P_x}=\frac{1.000}{5}=200\end{aligned}$$

La pendenza del vincolo di bilancio è il rapporto tra i prezzi

$$\text{pendenza}=-\frac{P_x}{P_y}=-\frac{10}{5}=-2$$

Occorre dunque rinunciare a 2 unità di cibo (bene Y) per ottenere un metro quadrato di casa in più (bene X) 

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CAMBIAMENTI DEL VINCOLO DI BILANCIO 

Come tutti ben sappiamo le condizioni economiche cui il nostro consumatore va incontro sono in costante evoluzione.

Tali evoluzioni possono modificare il nostro vincolo di bilancio rendendoci di fatto più ricchi oppure più poveri.

Per quanto detto fio ad ora sono due le possibili cause scatenanti di questo cambiamento, ovvero la modifica del prezzo dei beni oppure del nostro reddito.

CAMBIAMENTO DEI PREZZI

Cominciamo ad analizzare come può variare il vincolo di bilancio ad opera di un cambiamento del prezzo dei beni.

Questo cambiamento del prezzo di un bene fa ruotare il vincolo:

• Esternamente quando il prezzo del bene diminuisce
• Internamente quando il prezzo del bene sale

CAMBIAMENTO NEL PREZZO DI X

DIMINUZIONE DEL PREZZO DI X

Cominciamo ad analizzare la situazione di una diminuzione del prezzo del bene x.

Supponiamo ad esempio che tale prezzo Px passi ad un livello P’x minore di Px

$$P_x\to P’_x\ \text{con}\ P’_x<P-x$$

L’equazione del nuovo vincolo diventa:

$$V’:\quad x\ P’_x+y\ P_y=R$$

A livello intuitivo possiamo essere certamente contenti di questa soluzione.

Mentre a livello matematico possiamo anche apprezzare cosa sta succedendo al grafico del nostro vincolo.

In particolare notiamo immediatamente che possiamo aumentare la potenziale quantità massima del bene x che diventa

$$x’_{MAX}=\frac{R}{P’_x}>x_{MAX}=\frac{R}{P_x}$$

D’altro canto l’intercetta verticale che indica la quantità massima di Y non subisce alcuna modifica dal momento che supponiamo costanti il reddito R e il prezzo del bene y.

A causa della diminuzione del prezzo si espandono le possibilità di consumo del nostro consumatore.

In particolare questo nostro amico riuscirà a raggiungere una porzione nuova di panieri cui prima non poteva avere accesso.

In altre parole stiamo diventando più ricchi!

AUMENTO DEL PREZZO DI X

Possiamo quindi ragionare in maniera speculare quando ci troviamo di fronte ad un aumento del prezzo del bene x

Supponiamo di passare ad un prezzo P”x che sia maggiore di Px

$$P_x\to P”_x\ \text{con}\ P”_x>P-x$$

L’equazione del nuovo vincolo diventa:

$$V’:\quad x\ P”_x+y\ P_y=R$$

Psicologicamente saremo certamente meno felici

Questa sensazione si traduce matematicamente con una minore quantità massima acquistabile del bene x

$$x”_{MAX}=\frac{R}{P”_x}<x_{MAX}=\frac{R}{P_x}$$

Mentre l’intercetta verticale rimane sempre uguale.

In questo caso abbiamo una rotazione interna al vincolo e parliamo di panieri di consumo persi.

Detto in parole spicce siamo diventati più poveri!

CAMBIAMENTO DEL PREZZO DEL BENE Y

In modo del tutto analogo possiamo ragionare quando vi sono cambiamenti nel prezzo del bene y.

Il vincolo ruota esternamente al diminuire del prezzo del bene y, aumentando le possibilità di consumo del consumatore.

Mentre vediamo una rotazione interna, e quindi una diminuzione dei panieri accessibili quando vi è un aumento del prezzo del bene.

ESEMPIO DELLA VARIAZIONE DEL PREZZO BENE

Supponiamo nell’esercizio svolto sopra che ora il prezzo delle case (bene x) passi da 10 euro al metro quadro a 5 euro al metro quadro.

Come si modifica il vincolo di bilancio?

Ricordiamo che il vincolo iniziale era

$$V:\quad 10x+5y=1.000$$

L’equazione del nuovo vincolo è ora

$$V’:\quad 5x+5y=1.000$$

L’intercetta orizzontale (nuova quantità massima del bene x) raddoppia e il vincolo ruota esternamente

La pendenza del nuovo vincolo è ora il nuovo rapporto tra i prezzi 

$$\text{pendenza}’=-\frac{P’_x}{P_y}=\frac{5}{5}=1$$

In altre parole dovremo ora rinunciare ad una sola unità di cibo per ottenere un metro quadro in più di casa

Ovviamente il nostro amico consumatore sarà molto più felice ora di poter accedere ad un nuovo gruppo di panieri 

VARIAZIONE DEL REDDITO SUL VINCOLO DI BILANCIO 

Mentre con la variazione del prezzo dei beni abbiamo una rotazione del vincolo di bilancio, quando varia il reddito abbiamo una traslazione.

In particolare quando il reddito cresce vediamo una traslazione verso l’alto e verso destra.

In questo modo le possibilità di consumo del consumatore aumentano e si guadagnano panieri accessibili.

Mentre quando abbiamo una riduzione del reddito vediamo una contrazione del vincolo che si sposta a sinistra e verso il basso.

In questo caso il nostro attore diventa più povero e vi è una perdita dei panieri accessibili.

Supponiamo ad esempio che a causa di una promozione il nostro consumatore possa beneficiare di un reddito  mensile R’ maggiore rispetto ad R.

$$R\to R’\ \text{con}\ R’>R$$

In questo caso notiamo subito che le intercette del reddito orizzontale e verticale (consumo massimo dei beni) si spostano rispettivamente a destra e in alto.

$$\begin{aligned}&x’_{MAX}=\frac{R’}{P_x}>x_{MAX}=\frac{R}{P_x}\\&\\&y’_{MAX}=\frac{R’}{P_y}>y_{MAX}=\frac{R}{P_y}\end{aligned}$$

Dunque il vincolo di consumo e reddito si sposta a destra e verso l’alto parallelamente al precedente.

In tal modo il consumatore diventa più ricco e guadagna panieri cui prima non poteva accedere

Mentre nella situazione in cui a causa di un periodo di crisi o disoccupazione il consumatore si trova ad avere un reddito disponibile R” inferiore a R succede il contrario.

$$R\to R”\ \text{cpn}\ R”<R$$

Le quantità massime acquistabili dei beni (intercette del vincolo) diminuiscono spostandosi a sinistra e in basso 

$$\begin{aligned}&x”_{MAX}=\frac{R”}{P_x}>x_{MAX}=\frac{R}{P_x}\\&\\&y”_{MAX}=\frac{R”}{P_y}>y_{MAX}=\frac{R}{P_y}\end{aligned}$$

Dunque il vincolo di bilancio si sposta a sinistra e in basso parallelamente al precedente e vengono persi panieri che prima della riduzione erano accessibili.

ESEMPIO DELLA VARIAZIONE DEL REDDITO

Prendiamo in esame ancora l’esempio delle case e del cibo.

In questo esempio il reddito del consumatore era pari a 1000 euro mentre i prezzi dei beni erano 10 euro per la X e 5 euro per la Y.

L’equazione del vincolo di bilancio iniziale era:

$$V:\quad 10x+5y=1.000$$

Cosa succederebbe nel caso in cui il reddito aumenti del 30% oppure cali del 25%.

Nel caso in cui il reddito aumenti del 30% il nuovo reddito R’ è pari a 1300

$$R’=1.000\cdot(1+0,30)=1.300$$

Dunque il nuovo vincolo è dato da

$$V’:\quad 10x+5y=1.300$$

Le nuovo intercette sono 

$$x’_{MAX}=\frac{R’}{P_x}=\frac{1.300}{10}=130\quad y’_{MAX}=\frac{R’}{P_y}=\frac{1.300}{5}=260$$

Anche le possibilità di consumo massimo crescono quindi del 30% e il vincolo si sposta a destra e verso l’alto.

La pendenza del vincolo non varia e il nuovo vincolo risulta parallelo a quello iniziale.

Nel caso in cui il reddito diminuisce del 25% il nuovo reddito R” ammonta a 750 euro.

R”=1.000\cdot(1-0,25)=750$$

L’equazione del nuovo vincolo in questo caso è

$$V”:\quad 10x+5y=750$$

Le nuovo intercette sono 

$$x”_{MAX}=\frac{R’}{P_x}=\frac{750}{10}=75\quad y’_{MAX}=\frac{R’}{P_y}=\frac{750}{5}=150$$

Anche le possibilità di consumo massimo diminuiscono del 25% e il vincolo si sposta a sinistra e verso il basso.

La pendenza del vincolo non varia e il nuovo vincolo risulta parallelo a quello iniziale.

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