INDICE
EFFETTO REDDITO – DEFINIZIONE
L’effetto reddito è la variazione del consumo ottimale da parte del consumatore dovuto ad un cambiamento nel suo reddito.
Generalmente nei beni normali l’effetto reddito è positivo quando incrementa il reddito.
Nel senso che all’aumentare del proprio reddito e a parità del prezzo dei beni il consumatore sceglie una quantità maggiore di consumo.
Questo aspetto risulta maggiormente ampliato per i beni di lusso.
Ma non è così per tutte le tipologie di beni come i beni inferiori, dove avviene il contrario.
In questo caso un aumento del reddito induce i consumatori ad acquistare unaquantità inferiore di beni normali.
Viceversa quando il reddito diminuisce e quindi il consumatore è più povero si aumenta la quantità consumata di bene inferiore.
MISURARE L’EFFETTO REDDITO
Per misurare l’effetto reddito basta traslare il vincolo di bilancio iniziale in corrispondenza del reddito R1 dal punto iniziale E1 (x1,x2) di equilibrio fino al nuovo livello di reddito R2.
Faremo una traslazione verso l’alto ad esempio quando il reddito aumenta.
In corrispondenza di questo nuovo equilibrio E2 calcoliamo quindi le quantità consumate (x2,y2) in corrispondenza della tangenza con la nuova curva di indifferenza.
La nuova quantità x2 è maggiore della quantità x1 per i beni normali.
In tal caso l’effetto reddito sul bene X è positivo è viene calcolato come la differenza tra x2 e x1.
$$\text{effetto reddito bene X}=x_2-x_1$$
Chiaramente sull’asse delle Y possiamo misurare l’effetto reddito sul bene Y
$$\text{effetto reddito bene Y}=y_2-y_1$$
Però meglio focalizzare un asse alle volta quindi teniamo solo X ora come punto di riferimento.
Quando un bene è inferiore notiamo contro intuitivamente che un aumento del redditoinduce il consumatore ad acquistare una quantità minore di questo bene
ESEMPI PRATICI PER IL CALCOLO DELL’EFFETTO REDDITO
Svolgiamo qualche esempio pratico che ci aiuta a capire con calcolare l’effetto reddito per un bene
ESEMPIO 1
Consideriamo un’economia in cui sono presenti due beni X e Y cui il consumatore può attingere.
Sappiamo che il prezzo del bene X è 3 euro mentre quello del bene Y è pari a 1 euro.
Conosciamo inoltre il reddito a disposizione del consumatore che è pari a 100 euro e la sua funzione di utilità è:
$$U(x,y)=x(x+y)$$
Determina la quantità ottimale consumata e il livello di utilità.
In secondo luogo calcola l’effetto reddito se il consumatore può disporre di un reddito pari a 120 euro.
SVOLGIMENTO
Cominciamo con il riportare i dati a nostra disposizione
$$P_x=3\quad P_y=1\quad R=100\quad U(x,y)=x(x+y)$$
Impostiamo quindi il vincolo di bilancio
$$V:\ 3x+y=100$$
riscriviamo meglio la funzione di utilità nel seguente modo:
$$U(x,y)=x^2+xy
Successivamente troviamo il saggio marginale di sostituzione che è il rapporto tra le derivate parziali della funzione utilità:
$$\text{SMS}=\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{2x+y}{x}$$
Adesso siamo pronti per impostare il sistema dove mettiamo il vincolo di bilancio ed eguagliamo il saggio marginale di sostituzione al rapporto tra i prezzi
$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} 3x+y=100\\\frac{2x+y}{x}=\frac{3}{1}\end{cases}$$
Dalla seconda equazione esplicitiamo il valore della y in funzione della x
$$\frac{2x+y}{x}=3\ \to\ 2x+y=3x\ \to\ y=x$$
Sostituiamo questo risultato nella prima equazione
$$3x+y=100\ \to\ 3x+x=100\ \to\ 4x=100\ \to\ x=\frac{100}{4}=25$$
Dunque risostituendo nella prima equazione abbiamo anche il valore della y
$$y=x=25$$
Definiamo dunque E1 il paniere di equilibrio e calcoliamone il valore associato nella funzione di utilità
$$E_1(25,25)\quad\to\quad U(E_1)=25(25+25)=1.250$$
Rappresentiamo graficamente la situazione
In una seconda fase il consumatore dispone di un reddito pari a 120
Dunque andiamo a calcolare il nuovo vincolo di bilancio
$$V’:\ 3x+y=120$$
Tutto il resto del sistema per trovare il nuovo equilibrio è uguale
$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} 3x+y=120\\\frac{2x+y}{x}=\frac{3}{1}\end{cases}$$
Dalla seconda equazione esplicitiamo il valore della y in funzione della x
$$\frac{2x+y}{x}=3\ \to\ 2x+y=3x\ \to\ y=x$$
Sostituiamo questo risultato nella prima equazione
$$3x+y=120\ \to\ 3x+x=120\ \to\ 4x=120\ \to\ x=\frac{120}{4}=30$$
Dunque risostituendo nella prima equazione abbiamo anche il valore della y
$$y=x=30$$
Il nuovo paniere di equilibrio E2 è dunque possiamo calcolare il suo livello di utlità:
$$E_2(30,30)\quad\to\quad U(E_2)=30(30+30)=1.800$$
Per quanto riguarda dunque il bene X il consumo è aumentato di 5 unità passando da 25 a 30.
Tale valore è quindi l’effetto reddito per questo bene X
$$\text{effetto reddito bene X}=30-25=+5$$
Essendo che l’effetto reddito è positivo con l’aumento del reddito allora diciamo che il bene è normale.
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ESEMPIO 2 –
Vediamo un esempio un po’ particolare in quanto la funzione di utilità si modifica al cambiare del reddito.
Ipotizziamo che un che un consumatore possa scegliere tra due beni X e Y
Sappiamo che il prezzo del bene X è 1 euro mentre quello del bene Y è pari a 2 euro.
Conosciamo inoltre il reddito iniziale R del consumatore che è pari a 100 euro e la sua funzione di utilità è
$$U(x,y)=x^{3-0,01R}\ y^{0,01R}$$
Determina la quantità ottimale consumata e il livello di utilità.
Calcola successivamente gli effetti reddito che si generano quando il reddito incrementa della metà e da questo step intermedio fino ad un reddito di 200.
SVOLGIMENTO
Riportiamo i dati
$$P_x=1\quad P_y=2\quad R_1=100\quad U(x,y)=x^{3-0,01R}\ y^{0,01R}$$
Impostiamo quindi il primo vincolo di bilancio
$$V_1:\quad x+2y=100$$
Calcoliamo la funzione di utilità al livello di reddito pari a 100
$$U_1(x,y)=x^{3-0,01\cdot100}\ y^{0,01\cdot100}=x^2y$$
Successivamente troviamo il saggio marginale di sostituzione
$$\text{SMS}_1=\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{2xy}{x^2}=\frac{2y}{x}$$
Impostiamo quindi il sistema di equilibrio
$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} x+2y=100\\\frac{2y}{x}=\frac{1}{2}\end{cases}$$
Dalla seconda equazione esplicitiamo il valore della y in funzione della x
$$\frac{2y}{x}=\frac{1}{2}\ \to\ y=\frac{1}{4}x$$
Sostituiamo questo risultato nella prima equazione
$$x+2y=100\ \to\ x+2\cdot\frac{1}{4}x=100\ \to\ 3x=200\ \to\ x=\frac{200}{3}\simeq66,7$$
Dunque risostituendo nella prima equazione abbiamo anche il valore della y
$$y=\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}\cdot\frac{200}{3}=\frac{50}{3}\simeq16,7$$
Definiamo dunque E1 il paniere di equilibrio e calcoliamone il valore associato nella funzione di utilità
$$E_1\left(\frac{200}{3}, \frac{50}{3}\right)\ \to\ U(E_1)=\left(\frac{200}{3}\right)^2\frac{50}{3}=\frac{2.000.000}{27}\simeq74.074$$
Rappresentiamo graficamente la situazione
Successivamente il consumatore si trova in una condizione economica migliore e il suoreddito aumenta della metà dunque raggiunge un livello di 150
Il nuovo vincolo di bilancio è dunque
$$V_2:\quad x+2y=105$$
Questo nuovo reddito modifica anche le sue preferenze in termini di beni, dunque la sua funzione di utilità diventa
$$U_1(x,y)=x^{3-0,01\cdot150}\ y^{0,01\cdot150}=x^{1,5}y^{1,5}$$
Il nuovo saggio marginale di sostituzione è dunque
$$\text{SMS}_1=\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{1,5x^{0,5}y^{1,5}}{1,5x^{1,5}y^{0,5}}=\frac{y}{x}$$
Impostiamo quindi il nuovo sistema di equilibrio
$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} x+2y=150\\\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\end{cases}$$
Dalla seconda equazione esplicitiamo il valore della y in funzione della x
$$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ \to\ y=\frac{1}{2}x$$
Sostituiamo questo risultato nella prima equazione
$$x+2y=150\ \to\ x+2\cdot\frac{1}{2}x=150\ \to\ 2x=150\ \to\ x=\frac{150}{2}=75$$
Dunque risostituendo nella prima equazione abbiamo anche il valore della y
$$y=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\cdot75=\frac{75}{2}=37,5$$
Definiamo dunque E2 il paniere di equilibrio e calcoliamone il valore associato nella funzione di utilità
$$E_2\left(75,\frac{75}{2}\right)\ \to\ U(E_2)=75\cdot\frac{75}{2}\simeq149.755$$
L’effetto reddito del bene X è pari alla differenza tra la quantità finale è quella iniziale
$$\text{effetto reddito bene X}_{1\to2}=75-66,7=+8,3$$
La quantità di bene X sta aumentando a fronte di un aumento del reddito di 8,3 unità, dunque il bene X si comporta come un bene normale
Rappresentiamo graficamente la situazione
Vediamo ora cosa succede rispetto a questa ultima situazione calcolata quando ilreddito raggiunge la soglia giornaliera di 200 euro.
Il vincolo di bilancio in questo caso è
$$V_3:\quad x+2y=200$$
Anche la funzione di utilità cambia e diventa
$$U_3(x,y)=x^{3-0,01\cdot200}\ y^{0,01\cdot200}=xy^2$$
Il nuovo saggio marginale di sostituzione è dunque
$$\text{SMS}_1=\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{y^2}{2xy}=\frac{y}{2x}$$
Impostiamo quindi il nuovo sistema di equilibrio
$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} x+2y=200\\\frac{y}{2x}=\frac{1}{2}\end{cases}$$
Dalla seconda equazione esplicitiamo il valore della y in funzione della x
$$\frac{y}{2x}=\frac{1}{2}\ \to\ y=x$$
Sostituiamo questo risultato nella prima equazione
$$x+2y=200\ \to\ x+2x=200\ \to\ 3x=200\ \to\ x=\frac{200}{3}\simeq66,7$$
Dunque risostituendo nella prima equazione abbiamo anche il valore della y
$$y=x=\frac{200}{3}\simeq66,7$$
L’equilibrio si sposta dunque nel paniere E3
$$E_3\left(\frac{200}{3},\frac{200}{3}\right)\ \to\ U(E_3)=\frac{200}{3}\cdot\left(\frac{200}{3}\right)^2\simeq296.293$$
L’effetto reddito del bene X è pari alla differenza tra la quantità finale è quella iniziale
$$\text{effetto reddito bene X}_{2\to3}=66,7-75=-8,3$$
La quantità di bene X (passando dall’equilibrio 2 all’equilibrio 3) sta diminuendo a fronte di un aumento del reddito di 8,3 unità, dunque il bene X si comporta come un bene inferiore
Rappresentiamo graficamente la situazione
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