INDICE
Definizione e Caratteristiche
Il Fattore di Sconto, $v(t)$, o Legge di Attualizzazione, è una funzione del tempo $t$ che modella la riduzione di valore di un capitale unitario esigibile in futuro. È il moltiplicatore che trasforma il Montante futuro $M$ nel Valore Attuale $C$ all’istante $t=0$:
$$C = M \cdot v(t)$$
Il fattore $v(t)$ deve soddisfare le seguenti tre condizioni fondamentali nel dominio $t \in [0, T)$:
- Dominio: La funzione è definita in $t \in [0, T)$.
- Condizione Iniziale: All’istante $t=0$, non c’è sconto.
$$v(0) = 1$$ - Monotonia (Non Crescenza): Il Valore Attuale non può aumentare nel tempo. La funzione deve essere non crescente.
$$v'(t) \le 0 \quad \text{per } t \in [0, T)$$
Esempi di Funzioni $v(t)$
Esempi di Fattore di Sconto (Leggi di Attualizzazione)
Verifichiamo le tre condizioni per le seguenti funzioni nel dominio $t \ge 0$.
- Funzione razionale (Regime Semplice): $v(t) = \frac{1}{1 + 0,10t}$
- $v(0)=1$: $v(0) = 1$. (Verificata)
- $v'(t) \le 0$: La derivata $v'(t) = -\frac{0,10}{(1 + 0,10t)^2}$ è sempre negativa. (Verificata)
- Funzione esponenziale (Regime Composto): $v(t) = e^{-0,08t}$
- $v(0)=1$: $v(0) = e^0 = 1$. (Verificata)
- $v'(t) \le 0$: La derivata $v'(t) = -0,08 e^{-0,08t}$ è sempre negativa. (Verificata)
Motivazione: Entrambe le funzioni soddisfano la condizione iniziale di unitarietà e l’ipotesi di non crescenza. Un euro esigibile nel futuro non può valere più di un euro oggi.
Esempi di NON Fattori di Sconto
- Funzione con valore iniziale errato: $v(t) = 0,98 – 0,05t$
- Mancata Condizione: $v(0) = 0,98$.
- Motivazione: Il capitale esigibile oggi ($t=0$) vale solo $0,98€$, implicando uno sconto immediato e violando la condizione $v(0)=1$.
- Funzione con monotonia errata: $v(t) = 1 – 0,05t + 0,02t^2$
- Mancata Condizione: $v'(t) = -0,05 + 0,04t$, che è positiva per $t > 1,25$.
- Motivazione: Dopo $t=1,25$ anni, la funzione comincia a crescere (il valore attuale aumenta col tempo), violando l’ipotesi di non crescenza.
I Fattori di Sconto nei Tre Regimi Finanziari
- Regime a Interesse Semplice (R.I.S.):
$$v(t) = \frac{1}{1 + i \cdot t}$$ - Regime a Interesse Composto (R.I.C.):
$$v(t) = (1 + i)^{-t}$$ - Regime a Sconto Commerciale (R.S.C.):
$$v(t) = 1 – d \cdot t \quad \text{con } t < 1/d$$
Traslabilità e Scindibilità
Traslabilità (Dipendenza dal Tempo di Scadenza)
Una legge è traslabile se il fattore di sconto dipende solo dalla durata dell’attualizzazione ($\tau$), e non dalla data in cui scade il flusso ($t_1$):
$$v(t_0, t_1) = v(t_1 – t_0)$$
Esempio Traslabile (R.I.C.): Il fattore di sconto tra $t_0$ e $t_1$ è $\frac{v(t_1)}{v(t_0)} = \frac{(1+i)^{-t_1}}{(1+i)^{-t_0}} = (1+i)^{-(t_1 – t_0)}$. Motivazione: Il risultato dipende solo dalla durata $\tau = t_1 – t_0$. Un flusso scontato per una durata $\tau$ ha lo stesso valore attuale, indipendentemente dalla data in cui scade.
Esempio NON Traslabile (R.I.S.): Il fattore di sconto tra $t_0$ e $t_1$ è $\frac{v(t_1)}{v(t_0)} = \frac{1 + i t_0}{1 + i t_1}$. Motivazione: Il risultato dipende da $t_0$ e $t_1$. Il R.I.S. non è traslabile perché l’interesse è calcolato sul capitale iniziale, trattando diversamente un euro attualizzato in $t=0$ rispetto a un istante futuro $t_0$.
Scindibilità (Dipendenza dalla Suddivisione Intermedia)
Una legge è scindibile se il valore attuale ottenuto scontando per un periodo totale $t_1+t_2$ è identico a quello ottenuto scontando in due fasi consecutive:
$$v(t_1 + t_2) = v(t_1) \cdot v(t_2)$$
Esempio Scindibile (R.I.C.):
$$v(t_1) \cdot v(t_2) = (1+i)^{-t_1} \cdot (1+i)^{-t_2} = (1+i)^{-(t_1+t_2)} = v(t_1+t_2)$$
L’uguaglianza è soddisfatta. Motivazione: La scindibilità è garantita dal fatto che l’Intensità Istantanea di Sconto ($\delta^*$) è costante. Lo sconto applicato su un periodo non altera la regola di sconto per il periodo successivo.
Esempio NON Scindibile (R.S.C.):
$$v(t_1) \cdot v(t_2) = (1 – d t_1) \cdot (1 – d t_2) = 1 – d(t_1+t_2) + d^2 t_1 t_2$$
Poiché $d^2 t_1 t_2 \ne 0$, $v(t_1+t_2) \ne v(t_1) \cdot v(t_2)$. Motivazione: Questo regime non è scindibile perché attualizzare in due fasi porta a calcolare lo sconto due volte in modo indipendente, generando un risultato incoerente.
L’Intensità Istantanea di Sconto
L’Intensità Istantanea di Sconto ($\delta^*(t)$) misura il tasso di diminuzione istantaneo del fattore di sconto:
$$\delta^*(t) = -\frac{v'(t)}{v(t)}$$
$\delta^*(t)$ nei Tre Regimi
- Regime a Interesse Semplice (R.I.S.):
$$\delta^*(t) = \frac{i}{1 + i \cdot t}$$ - Regime a Interesse Composto (R.I.C.):
$$\delta^*(t) = \ln(1 + i)$$ - Regime a Sconto Commerciale (R.S.C.):
$$\delta^*(t) = \frac{d}{1 – d \cdot t}$$
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