INDICE
Definizione e Caratteristiche
Il Fattore di Montante, $m(t)$, o Legge di Capitalizzazione, è una funzione del tempo $t$ che modella la crescita di un capitale unitario. È il moltiplicatore che trasforma il Capitale iniziale $C$ nel Montante $M$ all’istante $t$:
$$M = C \cdot m(t)$$
Il fattore $m(t)$ deve soddisfare le seguenti tre condizioni fondamentali per rappresentare una legge finanziaria accettabile, tipicamente nel dominio $t \in [0, T)$, dove $T$ è l’orizzonte dell’operazione:
- Dominio: La funzione deve essere definita nel dominio $t \in [0, T)$.
- Condizione Iniziale: All’istante $t=0$, il capitale non ha generato interesse.
$$m(0) = 1$$ - Monotonia (Non Decrescenza): Il montante non può diminuire nel tempo. La derivata prima deve essere non negativa.
$$m'(t) \ge 0 \quad \text{per } t \in [0, T)$$
Esempi di Funzioni $m(t)$
Esempi di Fattore di Montante (Leggi di Capitalizzazione)
Verifichiamo le tre condizioni per le seguenti funzioni nel dominio $t \ge 0$.
- Funzione quadratica: $m(t) = 1 + 0,10t + 0,05t^2$
- $m(0)=1$: $m(0) = 1 + 0 + 0 = 1$. (Verificata)
- $m'(t) \ge 0$: $m'(t) = 0,10 + 0,10t$. Poiché $t \ge 0$, $m'(t)$ è sempre positivo. (Verificata)
- Funzione esponenziale (Regime Composto): $m(t) = e^{0,08t}$
- $m(0)=1$: $m(0) = e^0 = 1$. (Verificata)
- $m'(t) \ge 0$: $m'(t) = 0,08 e^{0,08t}$. Poiché $e^{0,08t}$ è sempre positivo, $m'(t) > 0$. (Verificata)
Motivazione: Entrambe le funzioni soddisfano la condizione iniziale di unitarietà e l’ipotesi di non decrescenza, fondamentale affinché l’operazione finanziaria non perda valore col tempo.
Esempi di NON Fattori di Montante
- Funzione con valore iniziale errato: $m(t) = 1,02 + 0,05t$
- Mancata Condizione: $m(0) = 1,02$.
- Motivazione: Il capitale iniziale (per $t=0$) è subito accresciuto a 1,02, violando la condizione $m(0)=1$. Un’operazione finanziaria non può generare interesse all’istante zero.
- Funzione con monotonia errata: $m(t) = 1 + 0,05t – 0,02t^2$ per $t \in [0, 5]$
- Mancata Condizione: $m'(t) = 0,05 – 0,04t$. Questa è negativa per $t > 1,25$.
- Motivazione: Dopo $t=1,25$ anni, la funzione comincia a decrescere (il montante diminuisce), violando l’ipotesi di non decrescenza in tutto il dominio $[0, 5]$.
I Fattori di Montante nei Tre Regimi Finanziari
- Regime a Interesse Semplice (R.I.S.):
$$m(t) = 1 + i \cdot t$$ - Regime a Interesse Composto (R.I.C.):
$$m(t) = (1 + i)^t$$ - Regime a Sconto Commerciale (R.S.C.):
$$m(t) = \frac{1}{1 – d \cdot t} \quad \text{con } t < 1/d$$
Traslabilità e Scindibilità
Traslabilità (Dipendenza dal Tempo Iniziale)
Una legge è traslabile se il fattore di montante dipende solo dalla durata dell’operazione ($\tau$) e non dall’istante iniziale $t_0$ in cui l’operazione comincia.
Esempio Traslabile (R.I.C.):
Consideriamo il Regime Composto: $m(t) = (1+i)^t$.
Il fattore di montante tra $t_0$ e $t_0+\tau$ è dato da $\frac{m(t_0+\tau)}{m(t_0)}$.
$$\frac{(1+i)^{t_0+\tau}}{(1+i)^{t_0}} = (1+i)^\tau$$
Il risultato, $(1+i)^\tau$, dipende solo dalla durata $\tau$ e non dal momento di inizio $t_0$. Motivazione: Nel regime composto, l’interesse si capitalizza sempre sulla somma totale accumulata, rendendo un euro in $t_0$ indistinguibile da un euro in $t=0$ ai fini della capitalizzazione futura.
Esempio NON Traslabile (R.I.S.):
Consideriamo il Regime Semplice: $m(t) = 1 + i \cdot t$.
Il fattore di montante tra $t_0$ e $t_0+\tau$ è dato da:
$$\frac{m(t_0+\tau)}{m(t_0)} = \frac{1 + i(t_0+\tau)}{1 + i t_0}$$
Il risultato dipende da $t_0$. Motivazione: Nel regime semplice, l’interesse è calcolato sempre sul capitale iniziale $C$. Più l’operazione inizia tardi ($t_0$ grande), minore è l’interesse proporzionale guadagnato sulla durata $\tau$, perché il fattore di sconto $v(t_0)$ si riduce.
Scindibilità (Dipendenza dalla Suddivisione Intermedia)
Una legge è scindibile se il montante ottenuto per una durata totale $t_1+t_2$ è identico a quello ottenuto capitalizzando prima per $t_1$ e poi ricapitalizzando il montante ottenuto per $t_2$.
$$m(t_1 + t_2) = m(t_1) \cdot m(t_2)$$
Esempio Scindibile (R.I.C.):
$$m(t_1+t_2) = (1+i)^{t_1+t_2}$$
$$m(t_1) \cdot m(t_2) = (1+i)^{t_1} \cdot (1+i)^{t_2} = (1+i)^{t_1+t_2}$$
L’uguaglianza è soddisfatta. Motivazione: La scindibilità è garantita dal fatto che, nel regime composto, il tasso di crescita istantaneo ($\delta$) è costante. Il montante accumulato al tempo $t_1$ diventa il nuovo capitale su cui calcolare l’interesse per $t_2$, e cresce allo stesso identico tasso.
Esempio NON Scindibile (R.I.S.):
$$m(t_1+t_2) = 1 + i(t_1+t_2)$$
$$m(t_1) \cdot m(t_2) = (1 + i t_1) \cdot (1 + i t_2) = 1 + i(t_1+t_2) + i^2 t_1 t_2$$
Poiché $i^2 t_1 t_2 \ne 0$, $m(t_1+t_2) \ne m(t_1) \cdot m(t_2)$. Motivazione: Nel regime semplice, l’interesse si calcola solo sul capitale iniziale $C$. La capitalizzazione intermedia del montante parziale non è prevista, portando a risultati diversi.
L’Intensità Istantanea di Interesse
L’Intensità Istantanea di Interesse ($\delta(t)$) è la derivata logaritmica del fattore di montante, e misura il tasso di crescita istantaneo e continuo del capitale:
$$\delta(t) = \frac{m'(t)}{m(t)}$$
$\delta(t)$ nei Tre Regimi
- Regime a Interesse Semplice (R.I.S.):
$$\delta(t) = \frac{i}{1 + i \cdot t}$$ - Regime a Interesse Composto (R.I.C.):
$$\delta(t) = \ln(1 + i)$$ - Regime a Sconto Commerciale (R.S.C.):
$$\delta(t) = \frac{d}{1 – d \cdot t}$$
La scindibilità è legata a $\delta(t)$: il Regime Composto è l’unico scindibile poiché ha $\delta(t)$ costante (non dipende da $t$).
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