INDICE
- 1 Introduzione
- 2 Formule Principali nel Regime dello Sconto Commerciale
- 3 Fattore di Sconto e Fattore di Montante
- 4 Esempi di Calcolo nel Regime Anticipato
- 5 Tassi Equivalenti e Conversione tra $i$ e $d$
- 6 Valore Attuale al Variare del Tasso di Sconto
- 7 La Non Scindibilità del Regime Anticipato
- 8 IMPARA LA MATEMATICA FINANZIARIA
Introduzione
Il Regime Finanziario dello Sconto Commerciale (o Anticipato) è un modello di attualizzazione semplice in cui l’interesse, calcolato sul valore futuro o montante ($M$), viene detratto in anticipo per determinare il valore attuale ($C$). A differenza del regime a interesse semplice posticipato, in cui l’interesse si calcola sul capitale iniziale ($C$), qui si utilizza un tasso di sconto ($d$) che agisce sul montante.
Questo regime è storicamente e tutt’oggi molto usato nelle operazioni a breve termine di finanziamento commerciale, in particolare nello sconto di cambiali e titoli di credito, dove l’interesse (sconto) viene trattenuto dalla banca al momento dell’anticipazione del titolo.
Formule Principali nel Regime dello Sconto Commerciale
Sia $M$ il montante (valore nominale del titolo) e $C$ il valore attuale (o capitale) al tempo $t=0$.
Sconto ($D$)
Lo sconto è l’interesse calcolato sul montante $M$ per il tempo $t$ al tasso di sconto $d$:
$$D = M \cdot d \cdot t$$
Tasso di Sconto ($d$)
Derivato dalla formula dello sconto:
$$d = \frac{D}{M \cdot t}$$
Tempo ($t$)
Derivato dalla formula dello sconto:
$$t = \frac{D}{M \cdot d}$$
Valore Attuale ($C$)
Il valore attuale è dato dal montante meno lo sconto trattenuto:
$$C = M – D = M(1 – d \cdot t)$$
Montante ($M$)
Derivato dalla formula del valore attuale:
$$M = \frac{C}{1 – d \cdot t}$$
Fattore di Sconto e Fattore di Montante
Fattore di Sconto Anticipato ($v(t)$)
È il fattore che attualizza il montante unitario al tempo $t$:
$$v(t) = 1 – d \cdot t$$
Fattore di Montante Anticipato ($m(t)$)
È l’inverso del fattore di sconto. Si utilizza per capitalizzare il valore attuale $C$ al tempo $t$:
$$m(t) = \frac{1}{1 – d \cdot t}$$
Esempi di Calcolo nel Regime Anticipato
Assumiamo un Montante $M = 10.000€$, un Tasso di Sconto $d = 0,08$ (8% annuo) e un Tempo $t = 6$ mesi (0,5 anni).
1. Calcolo Valore Attuale ($C$)
$$C = 10.000 (1 – 0,08 \cdot 0,5) = 9.600€$$
Lo sconto trattenuto è $D = 400€$.
2. Calcolo Montante ($M$)
(se $C=9.600€$)
$$M = \frac{9.600}{1 – 0,08 \cdot 0,5} = 10.000€$$
3. Calcolo Tasso ($d$)
(se $C=9.600€$ e $M=10.000€$ in $t=0,5$ anni)
$$d = \frac{10.000 – 9.600}{10.000 \cdot 0,5} = 0,08$$
Il tasso di sconto è dell’8%.
4. Calcolo Tempo ($t$)
(se $D=400€$, $M=10.000€$ e $d=0,08$)
$$t = \frac{400}{10.000 \cdot 0,08} = 0,5 \text{ anni (6 mesi)}$$
Tassi Equivalenti e Conversione tra $i$ e $d$
Conversione tra $i$ e $d$ (Semplice)
Due tassi, $i$ (interesse) e $d$ (sconto), sono equivalenti se, applicati per lo stesso tempo $t$, producono lo stesso valore attuale.
- Dato $i$, calcolare $d$ (per $t=1$):
$$d = \frac{i}{1 + i}$$ - Dato $d$, calcolare $i$ (per $t=1$):
$$i = \frac{d}{1 – d}$$
Conversione Tassi tra Periodicità (Passaggio per lo Sconto)
Per convertire un tasso di interesse $i$ annuo a un tasso $i_k$ quadrimestrale (dove $k=3$ quadrimestri in un anno), è necessario mantenere l’equivalenza del valore attuale passando per il tasso di sconto.
Esempio: Abbiamo $i = 0,10$ (10% annuo). Vogliamo trovare $i_{quadrimestrale}$. Sia $k=3$.
- Trasformiamo il tasso di interesse annuo ($i_{annuo}$) nel tasso di sconto annuo ($d_{annuo}$):
$$d_{annuo} = \frac{i_{annuo}}{1 + i_{annuo}} = \frac{0,10}{1 + 0,10} \approx 0,09091$$ - Convertiamo il tasso di sconto annuo ($d_{annuo}$) nel corrispondente tasso di sconto quadrimestrale ($d_{quadrimestrale}$):
Nel regime semplice, il tasso di sconto si divide per il numero di periodi ($k$):
$$d_{quadrimestrale} = \frac{d_{annuo}}{k} = \frac{0,09091}{3} \approx 0,03030$$ - Convertiamo il tasso di sconto quadrimestrale ($d_{quadrimestrale}$) nel tasso di interesse quadrimestrale ($i_{quadrimestrale}$):
$$i_{quadrimestrale} = \frac{d_{quadrimestrale}}{1 – d_{quadrimestrale}} = \frac{0,03030}{1 – 0,03030} \approx 0,03125$$
Il tasso di interesse quadrimestrale equivalente è circa 3,125%.
Valore Attuale al Variare del Tasso di Sconto
Quando un’operazione finanziaria è regolata da diversi tassi di sconto ($d_1, d_2, \dots$) in periodi successivi ($t_1, t_2, \dots$):
$$C = M(1 – d_1 t_1 – d_2 t_2 – d_3 t_3 – \dots)$$
Esempio: Montante $M=10.000€$ per $T=1$ anno, con $t_1=0,5$ anni al $d_1=0,08$ e $t_2=0,5$ anni al $d_2=0,09$.
$$C = 10.000 \cdot [1 – (0,08 \cdot 0,5) – (0,09 \cdot 0,5)]$$
$$C = 10.000 \cdot 0,915 = 9.150€$$
Tasso di Sconto Medio ($\overline{d}$)
Il tasso di sconto medio è il tasso costante che, applicato per il tempo totale $T = t_1 + t_2 + \dots$, darebbe lo stesso valore attuale $C$:
$$\overline{d} = \frac{M – C}{M \cdot T}$$
Usando l’esempio precedente, $M=10.000€$, $C=9.150€$ e $T=1$ anno:
$$\overline{d} = \frac{10.000 – 9.150}{10.000 \cdot 1} = 0,085$$
Il tasso di sconto medio è dell’8,5%.
La Non Scindibilità del Regime Anticipato
Il Regime dello Sconto Commerciale non è scindibile (o non è associativo).
La non scindibilità significa che il montante accumulato al termine di un periodo è dipendente dalla suddivisione temporale intermedia. Per due intervalli di tempo consecutivi $t_1$ e $t_2$, il fattore di montante non soddisfa la proprietà:
$$m(t_1 + t_2) \ne m(t_1) \cdot m(t_2)$$
Questa incoerenza temporale è il motivo per cui l’uso di questo regime è limitato a periodi brevi e specifici contesti commerciali (come lo sconto di un singolo titolo).
IMPARA LA MATEMATICA FINANZIARIA
Scopri tutti i segreti della matematica finanziaria
Un percorso che parte dall’attualizzazione e la capitalizzazione nei regimi finanziari. Passando per le le rendite, le operazioni finanziarie, i piani di ammortamento e i criteri di scelta dei progetti. Per fine nella matematica attuariale delle assicurazioni.