QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

In questo articolo andiamo a vedere le soluzioni ai quiz sui tassi equivalenti del corso di matematica finanziaria

DOMANDA 1- QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

I tassi di interesse semestrale, bimestrale e mensile semplici risultano rispettivamente:

$$\begin{aligned}&i_2=\frac{i}{2}=\frac{0,05}{2}=0,025=2,50\%\\&i_6=\frac{i}{6}=\frac{0,05}{6}=0,00833333\simeq0,83\%\\&i_{12}=\frac{i}{12}=\frac{0,05}{12}=0,00416666\simeq0,41\%\end{aligned}$$

Da notare che nelle risposte inseriamo gli ultimi risultati, ovvero con due cifre decimali arrotondati per difetto ed il simbolo di percentuale (%).

DOMANDA 2- QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

Per ricavare i tassi di sconto semestrale, bimestrale e mensile nel regime semplice sfruttiamo la relazione che lega il tasso di sconto al tasso di interesse:

$$d_k=\frac{i_k}{1+i_k}$$

Utilizziamo pertanto il risultati che abbiamo già trovato nella domanda 1:

I particolare abbiamo che:

$$\begin{aligned}&d_2=\frac{i_2}{1+i_2}=\frac{0,025}{1+0,025}=0,02439=\simeq2,43\%\\&d_6=\frac{i_6}{1+i_6}=\frac{0,00833333}{1+0,00833333}=0,008264462\simeq0,82\%\\&d_{12}=\frac{i_{12}}{1+i_{12}}=\frac{0,00416666}{1+0,00416666}=0,041493\simeq0,41\% \end{aligned}$$

Da notare che nelle risposte inseriamo gli ultimi risultati, ovvero con due cifre decimali arrotondati per difetto ed il simbolo di percentuale (%).

DOMANDA 3- QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

Per trasformare il tasso di interesse annuo composto nei corrispettivi tassi di interesse equivalenti utilizziamo la seguente formula generale:

$$i_k=(1+i_k)^\frac{1}{k}-1$$

Dunque in ordine calcoliamo i tassi di interesse:

• semestrale (i₂)
• quadrimestrale (i₃)
• trimestrale (i₄)
• mensile (i₁₂)

$$\begin{aligned}&i_{2}=1,06^\frac{1}{2}-1=0,029563\simeq2,956\%\\&i_{3}=1,06^\frac{1}{3}-1=0,0196126\simeq1,961\%\\&i_{4}=1,06^\frac{1}{4}-1=0,0146738\simeq1,467\%\\&i_{12}=1,06^\frac{1}{12}-1=0,00486755\simeq0,486\%\end{aligned}$$

DOMANDA 4- QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

Per calcolare i tassi di sconto corrispondenti (nel regime composto) sfruttiamo i risultato dell’esercizio precedente e la seguente relazione che li lega al tasso di interesse:

$$d_k=\frac{i_k}{1+i_k}$$

Dunque in ordine abbiamo:

$$\begin{aligned}&d_{2}=\frac{i_{2}}{1+i_{2}}=\frac{0,029563}{1+0,029563}=0,028714\simeq2,871\%\\&d_{3}=\frac{i_{3}}{1+i_{3}}=\frac{0,0196126}{1+0,0196126}=0,0192355\simeq1,923\%\\&d_{4}=\frac{i_{4}}{1+i_{4}}=\frac{0,0146738}{1+0,0146738}=0,0144616\simeq1,446\%\\&d_{12}=\frac{i_{12}}{1+i_{12}}=\frac{0,00486755}{1+0,00486755}=0,00484397\simeq0,484\%\end{aligned}$$

DOMANDA 5- QUIZ SUI TASSI EQUIVALENTI

Il tasso di sconto quadrimestrale (d3) equivale a:

$$d_3=\frac{d}{3}=\frac{0,07}{3}=0,0533333\simeq5,333\%$$

Per trovare il tasso di interesse mensile (i12) dobbiamo prima trovare il tasso di sconto (d12)

$$d_{12}=\frac{d}{12}=\frac{0,07}{12}=0,00583333333$$

A questo punto sfruttiamo la relazione tra tasso di sconto e tasso di interesse:

$$i_{12}=\frac{d_{12}}{1-d_{12}}=\frac{0,00583333333}{1-0,00583333333}=0,00586756\simeq0,586\%$$

DOMANDA 6

Se ci troviamo nel regime semplice o nel regime composto per prima cosa dobbiamo determinare il tasso di interesse trimestrale equivalente (i4):

$$i_4=\frac{d_4}{1-d_4}=\frac{0,03}{1-0,03}=0,030927835$$

Nel regime semplice la formula per calcolare il tasso annuo è:

$$i=4\cdot i_4=4\cdot0,030927835=0,12371134\simeq12,3711\%$$

Mentre per il regime composto calcoliamo il tasso quadrimestrale equivalente nel seguente modo:

$$i_3=(1+i_4)^\frac{4}{3}-1=1,030927835^\frac{4}{3}-1=0,0414482333\simeq4,1446\%$$

Nel regime anticipato calcoliamo direttamente il tasso di sconto quadrimestrale (d3) a partire da quello trimestrale (d4) fornito dal testo:

$$d_3=\frac{4d_4}{3}=\frac{4\cdot0,03}{3}=0,04$$

Da qui possiamo calcolare il tasso di interesse quadrimestrale (i3) con la relazione che lo lega al tasso di sconto quadrimestrale (d3) appena calcolato:

$$i_3=\frac{d_3}{1-d_3}=\frac{0,04}{1-0,04}=0,041666666\simeq4,1666\%$$

DOMANDA 7

Dal testo abbiamo il tasso annuo nominale convertibile mensilmente (j12) pari al 6%, ovvero 0,06$

Sapendo che questo tasso è 12 volte quello effettivo mensile, calcoliamo il tasso effettivo mensile (i12) dividendo j12 per 12:

$$i_{12}=\frac{j_{12}}{12}=\frac{0,06}{12}=0,005=0,5000\%$$

Ora che possediamo i12 calcoliamo con le formule di trasformazione dei tassi nel regime composto il tasso di interesse effettivo annuo risulta pari a:

$$i=(1+i_{12})^{12}-1=1,005^{12}-1=0,06167781186\simeq6,1677\%$$

Per calcolare il tasso nominale convertibile semestralmente (j2) dobbiamo prima trovare il tasso effetivo annuo semestrale con la seguente relazione:

$$i_2=(1+i_{12})^\frac{12}{2}-1=1,005^6-1=0,030377509$$

Ora dobbiamo solamente moltiplicarlo per 2 per calcolare j2:

$$j_2=2\ i_2=2\cdot0,030377509=0,06075501879\simeq6,0755\%$$

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