In questo articolo diamo le risposte ai quiz sul regime anticipato.
INDICE
LIVELLO 1 – QUIZ SUL REGIME ANTICIPATO
DOMANDA 1 – valore attuale tempo intero
Il valore attuale di una cambiale (C) è l’attualizzazione del valore nominale (M) e si calcola con la formula:
$$ C = M \cdot (1+dt) $$
I dati di cui disponiamo sono:
$$ M = 200 \quad t= 2\ \text{ anni} \quad d = 3\% $$
Inseriamo i dati nella formula:
$$ C = M \cdot (1+dt) = 200 \cdot (1-0,03 \cdot 2) = 188$$
La risposta corretta è: 188.
DOMANDA 2 – valore attuale tempo frazionario
Il valore attuale di una cambiale (C) è l’attualizzazione del valore nominale (M) e si calcola con la formula:
$$ C = M \cdot (1+dt) $$
I dati di cui disponiamo sono:
$$ M = 200 \quad t= 2+ \frac{3}{12}\ \text{ anni} \quad d = 5\% $$
Inseriamo i dati nella formula:
$$ C = M \cdot (1+dt) = 200 \cdot \left( 1-0,05 \cdot \left( 2+ \frac{3}{12} \right) \right) = 177,5$$
La risposta corretta è: 177,50.
DOMANDA 3 – montante dato il tasso di interesse
La formula per il calcolo del montante nel regime ad interesse anticipato è:
$$ M = \frac{C}{1-dt} $$
I dati forniti dal testo sono:
$$ C = 200 \quad t = 3\ \text{ anni} \quad i = 6,383\% $$
Attenzione che il testo non ci fornica il tasso di sconto, ma il tasso di interesse.
Andiamo quindi a calcolare il corrispettivo tasso di sconto in funzione del tasso di interesse:
$$ i = \frac{i}{1+i} = \frac{0,06383}{1-0,06383} = 0,068182 $$
Ora possiamo calcolare il montante con la prima formula:
$$ M = \frac{C}{1-dt} = \frac{200}{ 1- 0,068182 \cdot 3} = 251,4288$$
Nello spazio scriviamo pertanto: 251,42 .
DOMANDA 4 – calcolo tempo
Dalla formula per il calcolo dello sconto (D) nel regime anticipato, possiamo ricavare la formula inversa per calcolare il tempo:
$$ D = M \cdot d \cdot t = \to t = \frac{D}{M \cdot d} $$
I dati che ci fornisce il testo sono:
$$ C = 134,78 \quad M = 150 \quad d = 5\% $$
Ricordiamo che possiamo leggere lo sconto come la differenza tra il montante M (valore nominale) e il capitale C (valore oggi o valore attuale)
$$ D = M-C = 150 – 134,78 = 15,22 $$
Completiamo dunque il quesito inserendo i dati nella formula:
$$ t = \frac{D}{M \cdot d} = \frac{15,22}{150 \cdot 0,05} = 2,0293 $$
La parte intera sono 2 anni, e possiamo calcolare il numero di mesi moltiplicando la parte decimale del numero per 12.
$$ \text{mesi} = 0,0293 \cdot 12 = 0,352 $$
Non arrivando al mese possiamo scegliere l’opzione: circa 2 anni.
DOMANDA 5 – tasso di interesse
Dalla formula per il calcolo dello sconto (D) nel regime anticipato, possiamo ricavare la formula inversa per calcolare il tasso di sconto:
$$ D = M \cdot d \cdot t = \to d = \frac{D}{M \cdot t} $$
I dati che fornisce il testo sono:
$$ M = 124 \quad C = 100 \quad t= 3 $$
Lo sconto (D) è dato dalla differenza tra il valore nominale (M) e il valore attuale (C)
$$ D = M- C = 124-100 = 24 $$
Inseriamo nella formula per trovare il tasso di sconto d:
$$ d = \frac{D}{M \cdot t} = \frac{24}{124 \cdot 3} = 0,064516$$
Attenzione che il testo ci chiede il tasso di interesse, dunque scriviamo la relazione che calcola il tasso di interesse a partire da quello relativo di sconto:
$$ i = \frac{d}{1-d} = \frac{0,064516}{1- 0,064516} = 0,0689655$$
Dunque la risposta corretta è: 6,897%.
LIVELLO 2 – QUIZ SUL REGIME ANTICIPATO
DOMANDA 1 – valore attuale – cambio tasso
Il valore attuale (C) di una cambiale dal valore nominale (M) quando cambia il tasso di sconto è:
$$ C = M \cdot (1 – \sum d_k \cdot t_k) $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, dunque possiamo scrivere:
$$ C = M \cdot ( 1- d_1 \cdot t_1 -d_2 \cdot t_2 ) $$
Riportiamo i dati del testo che sono:
$$ M = 130 \quad t_1= 2 \quad t_2= 3 \quad d_1= 3\% \quad d_2= 4\% $$
Inseriamo quindi i dati per trovare il valore attuale (C), ovvero la cifra da pagare per estinguere il debito:
$$ C = 130 \cdot ( 1- 0,03 \cdot 2 – 0,04 \cdot 3 ) = 106,6 $$
L’opzione che scegliamo è dunque: 106,60 .
DOMANDA 2 – capitale – cambio tasso
Il valore attuale (C) di una cambiale dal valore nominale (M) quando cambia il tasso di sconto è:
$$ C = M \cdot (1 – \sum d_k \cdot t_k) $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, dunque possiamo scrivere:
$$ C = M \cdot ( 1- d_1 \cdot t_1 -d_2 \cdot t_2 ) $$
Riportiamo i dati del testo che sono:
$$ M =209,10 \quad t_1= 3+ \frac{4}{12} \quad t_2= 1+ \frac{8}{12} \quad d_1= 7\% \quad d_2= 5\% $$
(il secondo tempo t2 è la differenza tra 5 anni ed il primo tempo)
Inseriamo quindi i dati per trovare il valore attuale (C), ovvero la cifra da pagare per estinguere il debito:
$$ C = 209,10 \cdot \left( 1- 0,03 \cdot \left( 3+ \frac{4}{12} \right) – 0,04 \cdot \left( 1+ \frac{8}{12} \right) \right) = 142,885 $$
L’opzione che scegliamo è dunque: 142,88 .
DOMANDA 3 – tasso di sconto – cambio tasso
Il valore attuale (C) di una cambiale dal valore nominale (M) quando cambia il tasso di sconto è:
$$ C = M \cdot (1 – \sum d_k \cdot t_k) $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, dunque possiamo scrivere:
$$ C = M \cdot ( 1- d_1 \cdot t_1 -d_2 \cdot t_2 ) $$
Applicando la formula inversa possiamo trovare il secondo tasso di sconto, mostriamo alcuni passaggi:
$$ \frac{C}{M} = 1- d_1 \cdot t_1 -d_2 \cdot t_2 \\ \frac{C}{M} -1+ d_1 \cdot t_1= -d_2 \cdot t_2 \\ d_2 \cdot t_2 = 1- \frac{C}{M} – d_1 \cdot t_1 \\ d_2 = \frac{ 1- \frac{C}{M} – d_1 \cdot t_1}{t_2} $$
I dati disponibili sono:
$$ M = 135 \quad C = 100 \quad d_1 = 5\% \quad t_1= 2,5 \quad t_2 = 2 $$
Inseriamo i dati per trovare il secondo tasso di sconto d2:
$$ d_2 = \frac{ 1- \frac{100}{135} – 0,05 \cdot 2,5}{2} = 0,06713 $$
Quindi l’opzione corretta è: 6,713%.
DOMANDA 4 – tempo – cambio tasso
Partiamo sempre dalla formula di base per calcolare il valore attuale dell’obbligazione nel regime anticipato o a sconto commerciale
$$ C = M \cdot ( 1- d_1 \cdot t_1 -d_2 \cdot t_2 ) $$
Riportiamo i dati:
$$ M= 135 \quad C = 100 \quad d_1= 6\% \quad d_2 = 5\% \quad t_1+t_2= 4,5 \text{ anni} $$
Chiamiamo t il tempo t1 e dunque il tempo t2 vale (4,5- t)
$$ t_1 = t \to t_2 = 4,5 – t_2 $$
Inseriamo i dati nella formula di base:
$$ 100 = 135 \cdot ( 1- 0,06 \cdot t -0,05 \cdot (4,5 -t) ) $$
Non ci resta che risolvere una equazione di primo grado, mostriamo i passaggi:
$$ \frac{100}{135} = 1-0,06t – 0,225 +0,05 t \\ 0,01t = 1- 0,225 -\frac{135}{100} \\ t = \frac{1- 0,225 -\frac{100}{135}}{0,01} = 3,4259 $$
La risposta corretta è quindi: 3,426 anni.
DOMANDA 5 – tasso medio
La formula per il tasso medio di sconto è la seguente:
$$ \bar d = \frac{\sum d_k \cdot t_k}{\sum t_k} $$
Nel nostro caso abbiamo tre tassi e tre tempi:
$$ \bar d = \frac{d_1 \cdot t_1 + d_2 \cdot t_2 + d_3 \cdot t_3}{t_1 + t_2 + t_3} $$
I dati che possediamo sono:
$$ t_1= 5 \quad t_2 = 3 \quad t_3 = 1 \\ d_1= 6\% \quad d_2= 5\% \quad i_3= 4\% $$
Attenzione che l’ultimo tasso che ci viene dato è quello di interesse, pertanto calcoliamo il relativo tasso di sconto con la seguente formula:
$$ d_3 = \frac{i_3}{ 1+ i_3} = \frac{0,04}{1+0,04} = 0,03846 $$
Calcoliamo quindi il tasso medio
$$ \bar d =\frac{0,06 \cdot 5 + 0,05 \cdot 3 + 0,03846 \cdot 1}{5+3+1} = 0,0542735 $$
Nello spazio scriviamo quindi: 5,42%.
DOMANDA 6 – capitale – disinvestimento
Il capitale (valore attuale) nel regime ad interesse anticipato si calcola nel seguente modo:
$$ C \cdot (1-dt) $$
Nel caso di reinvestimento in più fondi modifichiamo la scrittura nel seguente modo:
$$ C \cdot \prod (1-d_k \cdot t_k) $$
Sappiamo che dal testo emergono i seguenti dati:
$$ M = 500 \quad t_1 = 2 \quad t_2 = 3 \quad i_1= 5\% \quad i_2 = 6\% $$
Siccome ci servono i tassi di sconto utilizziamo la formula per convertire i tassi di interesse in tassi di sconto:
$$ d_k = \frac{i_k}{1+i_k} $$
Quindi avremo:
$$ d_1= \frac{0,05}{1+0,05}=0,04762 \quad d_2= \frac{0,06}{1+0,06}= 0,05660 $$
Dunque inseriamo tutti i dati nella formula del capitale:
$$ C = 500 \cdot (1-0,04762\cdot 2) \cdot (1-0,05660 \cdot 3) = 375,56 $$
Dunque l’opzione corretta è: 375,56.
LIVELLO 1 – QUIZ SUL REGIME ANTICIPATO
DOMANDA 1 – due cambiali – tempo di equivalenza
Per prima cosa possiamo impostare un sistema in cui identifichiamo i valori attuali (C) delle due cambiali:
$$ \begin{cases} C_1 = M_1 (1-d_1 t_1) \\ C_2 = M_2 (1-d_2 t_2) \end{cases}$$
Sappiamo che i capitali pagati devono coincidere alla medesima scadenza, perciò possiamo scrivere che:
$$ C_1= C_2= C \quad t_1= t_2 = t $$
Quindi possiamo scrivere il sistema:
$$ \begin{cases} C = M_1 (1-d_1 t) \\ C = M_2 (1-d_2 t) \end{cases}$$
Eguagliando i due capitali otteniamo la seguente equazione:
$$ M_1 (1-d_1 t) = M_2 (1-d_2 t) $$
In cui possiamo esplicitare la t:
$$ t = \frac{M_2 – M_1}{M_2 d_2 – M_1 d_1} $$
I dati che ci sono sonori sono i valori nominali (M) delle cambiali ed i tassi di sconto d:
$$ M_1= 100 \quad M_2= 120 \quad d_1= 0,03 \quad d_2= 0,06 $$
Inseriamo dunque questi dati nella formula:
$$ t = \frac{120-100}{120 \cdot 0,06 – 100 \cdot 0,03} = 4,71619$$
Dunque abbiamo 4 anni interi e se vogliamo calcolare il numero di mesi moltiplichiamo per 12 la parte decimale del numero:
$$ \text{mesi} = 0,71619 \cdot 12 = 8,59 $$
Quindi la risposa corretta è: 4 anni e 9 mesi circa.
DOMANDA 2 – due cambiali – tasso di equivalenza
Per prima cosa possiamo impostare un sistema in cui identifichiamo i valori attuali (C) delle due cambiali:
$$ \begin{cases} C_1 = M_1 (1+d_1 t_1) \\ C_2 = M_2 (1+d_2 t_2) \end{cases}$$
Sappiamo che i capitali pagati devono coincidere alla medesima scadenza, perciò possiamo scrivere che:
$$ C_1= C_2= C \quad t_1= t_2 = t $$
Quindi possiamo scrivere il sistema:
$$ \begin{cases} C = M_1 (1-d_1 t) \\ C = M_2 (1-d_2 t) \end{cases}$$
Eguagliando i due capitali otteniamo la seguente equazione:
$$ M_1 (1-d_1 t) = M_2 (1-d_2 t) $$
Cerchiamo ora di determina il tasso di sconto
$$ d_2 = \frac{1- \frac{M_1}{M_2} (1-d_1 t)}{t} $$
Ricordiamo i dati a nostra disposizione:
$$ M_1= 100 \quad M_2 = 120 \quad d_1= 0,03 t= 1+\frac{5}{12} $$
Inseriamo tutti i dati nella formula:
$$ d_2 = \frac{1- \frac{100}{120} \left( 1-0,03 \cdot \left( 1+\frac{5}{12} \right) \right)}{1+\frac{5}{12}} = 0,14647 $$
L’opzione corretta è dunque: 14,647%.
DOMANDA 3 – intensità istantanea di sconto
La formula dell’intensità istantanea di sconto nel regime anticipato è:
$$ \sigma (t) = \frac{d}{1-dt} $$
Stiamo attenti che il testo ci fornisce il tasso di interesse e non quello di sconto.
Applichiamo dunque la formula per convertire il tasso di interesse in tasso di sconto:
$$ d= \frac{i}{1+i} = \frac{0,07}{1,07}= 0,06542 $$
Ecco che possiamo calcolare la nostra intensità istantanea di sconto al tempo 1+2/12 (anni)
$$ \sigma (1 + \frac{2}{12}) = \frac{0,06542}{1-0,06542 \cdot \left(1+ \frac{2}{12} \right)} $$
DOMANDA 4 – tempo – cambio tasso
Cominciamo dicendo che il valore attuale C di una cambiale si calcola attualizzando il valore nominale M.
Nel caso in cui cambia il tasso la formula da utilizzare è:
C = M \cdot (1- \sum d_k \cdot t_k) $$
Da questa formula possiamo ricavare che
$$ \sum d_k t_t = 1 – \frac{C}{M} $$
Nel nostro caso abbiamo tre tassi e tre tempi, per cui:
$$ d_1 t_1 + d_2 t_2 +d_3 t_3 = 1 – \frac{C}{M} $$
I dati di cui disponiamo sono:
$$ M = 100 \quad C = 90 \quad d_1 = 10\% d_2 = 5\% \quad d_3 = 2,5 \% $$
Sappiamo inoltre che i tempi si raddoppiano ogni volta:
$$ t_1= t \quad t_2= 2t \quad t_3 = 4t $$
Inseriamo questi dati nella formula sopra:
$$0,10t+ 0,05 cdot 2t + 0,025 \cdot 4t = 1- \frac{90}{100} $$
Risolviamo pertanto l’equazione di primo grado per ricavare la t, che coincide con il primo tempo di riferimento t1:
$$ 0,10t +0,10 t + 0,10 t = 0,10 \to t = \frac{0,10}{0,30} = 0,3333$$
Nello spazio inseriamo 0,33 anni.
DOMANDA 5 – capitale – cambio tasso
Dalla formula per calcolare il valore attuale C di una singola cambiale dal valore nominale M
$$ C = M \cdot (1-dt) $$
Possiamo determinare il valore attuale C di più cambiali, usando la formula:
$$ C = \sum M_k \cdot (1-d_k t_k) $$
Nel nostro caso abbiamo due cambiali da scontare perciò:
$$ C = M_1 (1- d_1 t_1) + M_2 (1-d_2 t_2) $$
Sappiamo inoltre che il primo tasso d1 è doppio rispetto a d2:
$$ d_1 = 2d \quad d_2 = d $$
Perciò possiamo scrivere:
$$ C = M_1 (1- 2d t_1) + M_2 (1-d t_2) $$
Raccogliamo quindi a fattor comune la dt a sinistra e spostiamo il resto a destra:
$$ d (-2M_1 t_1 -M_2 t_2) = C-M_1 -M_2 $$
Da cui ricaviamo il tasso d (cambiando i segni):
$$ d = \frac{M_1+M_2-C}{2M_1 t_1 +M_2 t_2} $$
I dati di cui disponiamo sono:
$$ M_1= 100 \quad M_2 = 150 \quad C = 235 \quad t_1 = \frac{4}{12} \quad t_2= \frac{9}{12} $$
Inserendo i dati nella formula otteniamo il valore d che coincide con il secondo tasso di sconto d2:
$$ d= \frac{100+150-235}{2 \cdot 100 \cdot \left( \frac{4}{12} \right) +150 \cdot \left( \frac{9}{12} \right)} = 0,08372$$
Rispondiamo quindi che d1= 0,08372 e d2= 0,16744 $$
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