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https://youtu.be/xqnxeoqamZM

DEFINIZIONE

La Duration è  chiamata anche durata media di un titolo.

Matematicamente è la media dei tempi che viene ponderata per i flussi di cassa attualizzati

Nell’ambito del mercato delle obbligazioni è utilizzata come indicatore di rischio.

FORMULA

La formula per calcolare la duration è la seguente.

Al numeratore della frazione prendiamo ogni singolo flusso  di cassa, li moltiplichiamo per il fattore attualizzante e poi per il rispettivo tempo.

Tra questi risultati facciamo la somma.

Al denominatore facciamo la somma tra i flussi di cassa attualizzati.

In altre parole il denominatore coincide con il Risultato Economico Attualizzato (REA).

MISURA DEL RISCHIO

La duration è un indicatore di rischio spesso associato ai titoli obbligazionari.

In generale si ritiene che una duration alta sia sinonimo di un più alto rischio finanziario (o volatilità) collegato al titolo.

Questo poiché maggiore è la duration maggiori sono le variazioni del prezzo del titolo ad opera di cambiamenti dei tassi di interesse nell’economia.

Tale variazione è da assoggettarsi a svariati fattori, tra cui come più importanti troviamo le politiche monetarie operate dalla banca centrale europea.

VARIAZIONI DEL PREZZO DEL TITOLO

Quando nell’economia i tassi di riferimento subiscono delle variazioni anche il prezzo del titolo subisce delle variazioni in senso opposto.

In particolare un aumento dei tassi di interesse determina una diminuzione del prezzo del titolo.

Mentre una diminuzione dei tassi di interesse determina un aumento del prezzo dei titoli.

È possibile approssimare tale variazione sfruttando il concetto di duration e di T.I.R. dell’obbligazione.

La variazione i termini assoluti del prezzo del titolo sarà:

Dove ∆r rappresenta la variazione del tasso di interesse.

Supponendo di chiamare P’ il nuovo prezzo dell’obbligazione avremo che:

Spostando a destra P e raccogliendolo avremo che il nuovo prezzo P’ sarà dato da :

Se volessimo calcolare la variazione relativa (o percentuale) del titolo avremo che:

ESEMPIO

Vediamo un esempio concreto per calcolare la duration:

Calcolare la duration di un’obbligazione quinquennale dal valore nominale di 100, che distribuisce cedole annue al tasso cedolare del 6%.

Il tasso di mercato utilizzato per la valutazione è il 7%.

I dati che possiamo estrapolare dal testo sono i seguenti

DATI:

Per prima cosa calcoliamo la cedola annua moltiplicando il valore nominale del titolo per il tasso cedolare.

GRAFICO

Dopo di che disponiamo i flussi di cassa prodotti dal titoli sull’asse dei tempi.

Al tempo 1 e 2 mettiamo la sola cedola pari a 6.

Sotto il tempo 3 mettiamo la somma tra il valore nominale del titolo (100) e della cedola (6) per un totale di 106.

CALCOLI

Adesso non ci resta che applicare la formula per il calcolo della duration.

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46 Comments

  • Ghibbli ha detto:

    che dici della relazione che esiste in un piano di ammortamento fra il delito residuo e gli interessi residui?

    • Andrea ha detto:

      La relazione tra il debito residuo e gli interessi residui è la seguente.
      Se il debito diminuisce (a parità di tasso e di periodicità della rata) gli interessi calano.
      Infatti gli interessi sono calcolati come il prodotto tra il debito residuale e il tasso periodale di riferimento.
      Ovviamente se da un periodo all’altro il tasso di interesse sale potrebbe anche darsi che l’interesse cresca

  • Antonio Falbo ha detto:

    Si consideri un flusso di importi biennale con decorrenza in t0=0. Tale flusso si compone di rate semestrali costanti Pari a 40 euro. Con struttura dei tassi piatta con tasso annuo pari a j=10% calcolare la duration

    • Andrea ha detto:

      ciao,
      Per calcolare la duration dell’operazione dobbiamo utilizzare la seguente formula:
      D = ∑Fi·v(ti)·ti /∑Fi·ti
      Dove:
      Fi indica il flusso al tempo ti
      v(ti) altro non è che il fattore attualizzante.
      Ovviamente ci riferiamo al regime composto per semplicità
      Se decidiamo di tenere il tempo e il tasso in anni il calcolo del numeratore della duration è:
      40·(1,10^(-0,5)*0,5 + 1,10^(-1)*1 + 1,10^(-1,5)*1,5 +1,10^(-2)*2)
      Da notare che ho raccolto a fattorizzeranno comune il 40 dal momento che le rate sono costanti.
      Mentre il denominatore della frazione è:
      40·(1,10^(-0,5) + 1,10^(-1) + 1,10^(-1,5) +1,10^(-2))
      La Duration è dunque il rapporto tra il numeratore è il denominatore:
      D = 1,22
      Poco più che un anno e qualche mese

  • andrea ha detto:

    se ho un flusso finanziario:
    scadenza 1.3 2.6 3.4 4.3
    importo 5000 4000 3000 5000
    calcolare la duration in anni del flusso al tempo t=0 e al tempo t=2
    come si fa?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Andrea
      Se non hai il tasso di interesse puoi calcolare la durata media con la seguente formula:
      DUR = ∑(flussi*tempi)/∑flussi
      Dove:
      ∑ è il simbolo di sommatoria
      Nel tuo caso hai che:
      DUR = (5.000 *1,3 + 4.000 *2,6 + 3.000 *3,4 +5.000 *4,3)/(5.000 + 4.000 + 3.000 + 5.000)
      DUR = 2,85
      Ovviamente questo non avrebbe senso con la richiesta che hai scritto, perché siccome indica dei tempi precisi è necessario anche il tasso di interesse.
      Supponiamo quindi di avere un tasso del 10%.
      La formula che utilizzi è:

      DUR(t*) =t* + ∑(flussi*(-t*+t)*(1+i)^(-t*+t))/∑(flussi*(1+i)^(-t*+t)
      Dove
      t* è il tempo a cui vuoi portare i flussi
      t sono i tempi riferiti ai flussi.
      Calcoliamo la duration in t*=0

      DUT(t*=0) = (5.000 *1,3*1,10^(-1,3) + 4.000 *2,6*1,10^(-2,6) + 3.000 *3,4*1,10^(-3,4) +5.000 *4,3*1,10^(-4,3))/(5.000 *1,10^(-1,3) + 4.000*1,10^(-2,6) + 3.000*1,10^(-3,4) + 5.000*1,10^(-4,3))
      DUT(t*=0) = 2,7255

      Se vogliamo calcolare tutto al tempo 2

      DUT(t*=0) = 2 + (5.000 *(-0,7)*1,10^0,7 + 4.000 *0,6*1,10^(-0,6) + 3.000 *1,4*1,10^(-1,4) +5.000 *2,3*1,10^(-2,3))/(5.000 *1,10^(0,7) + 4.000*1,10^(-0,6) + 3.000*1,10^(-1,4) + 5.000*1,10^(-2,3))
      DUT(t*=0) = 2,7255
      In pratica sono la stessa!!!!

  • Paola ha detto:

    Ciao Andrea, volevo farti una domanda circa il calcolo della duration finanziaria.
    Nello svolgere i quesiti la mia prof. alcune volte usa la formula nota nel tuo video (riportata anche sul mio libro) altre invece utilizzata la somma tra a figurato n al tasso i, e il valore nominale attualizzato. Sapresti dirmi perché?

    • Andrea ha detto:

      Ciao Giulia,
      La formula della duration è sempre quella:
      D = ∑x·v·t / ∑x·v
      Dove ∑x·v·t è la sommatoria dei flussi di cassa (che ho chiamato x) moltiplicata per i fattori attualizzanti (che ho chiamato v) moltiplicata a sua volta per i tempi (che ho chiamato t)
      Mentre : ∑x·v è la sommatoria dei flussi di cassa per i fattori attualizzanti.
      Questa seconda sommatoria coincide con il valore attuale dei flussi.
      Tieni conto che la notazione che ho utilizzato è molto spiccia, e se sfogli diverso materiale (libri oppure in internet) troverai che ci sono almeno una dozzina di modi diversi per chiamare questo simbologia.
      Ora tu mi chiedi perché in alcuni casi la duration può presentarsi un forma diversa da questa.
      Considera questo fatto:
      Quando le rate di una rendita sono COSTANTI nella formula generale vista prima:
      D = ∑x·v·t / ∑x·v
      La x diventa un valore costante, dunque la formula della duration diventa semplicemente:
      D = ∑v·t / ∑v
      Se guarda il denominatore della frazione ∑v puoi vedere che si tratta semplicemente della somma dei valori attualizzanti.
      Quando il pagamento delle rate è costante è posticipato il denominatore diventa semplicemente a figurato n al tasso i:
      ∑v = a(n;i)
      In questo video trovi anche la dimostrazione di questo
      https://www.youtube.com/watch?v=rsIrSMGU9HU&list=PLhjCd-4en3HjJ0IQlh3ca79f7VqsMtitp&index=5
      Ti faccio un esempio molto semplice:
      Calcola la duration della seguente rendite
      T = (1,2,3) X = (10, 10, 10) tasso 10%
      Con T vettore tempo, e X vettore flussi:
      Se applichiamo la formula abbiamo che:
      D = ∑x·v·t / ∑x·v
      D = (10*1,1^(-1)*1 + 10*1,1^(-2)*2 + 10*1,1^(-3)*3) / (10*1,1^(-1) + 10*1,1^(-2) + 10*1,1^(-3)) = …
      Siccome il 10 è un termine costante, possiamo semplicemente scrivere:
      D = D = (1,1^(-1)*1 + 1,1^(-2)*2 + 1,1^(-3)*3) / (1,1^(-1) + 1,1^(-2) + 1,1^(-3)) = …
      Il denominatore lo possiamo anche scrivere come: a(3; 0,10) “a figurato 3 al tasso del 10%)

  • Angelo ha detto:

    Ciao Andrea spero di non essere off topic ma non riesco a trovare soluzione a questo esercizio…
    “Data una obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo la scadenza media aritmetica risulta?”

    • Andrea ha detto:

      Ciao Angelo
      La durata finanziaria media di un titolo zero coupon bond, ovvero con rimborso è la scadenza del titolo stesso dunque nel tuo caso 10

      Il calcolo sarebbe
      Durata = 100*10/100=10

  • Pasquale ha detto:

    Ciao Andrea non riesco a risolvere questo quesito, se tu riuscissi a darmi delucidazioni te ne sarei molto grato. In realtà riesco a calcolare la duration, ho problemi con la seconda richiesta.

    Sia dato il titolo x1che paga un flusso di importi{12,12,12,112}ai tempi t={0.5,1,1.5,2}. Con riferimento ad una struttura dei tassi a pronti data da i(0,0.5) = 10.75%, i=(0,1)=10.90% ,i(0,1.5) = 11.05% ,i(0,2) = 11.25%, determinare la duration del titolo x1. Indicato poi con x il portafoglio composto da una quota α1= 1 del titolo x1 e da una quota α2 di uno zero coupon bond x2che paga 100 lire in t= 0.5, determinare α2 in modo che D(0,x) = 1.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Pasquale,
      Dovresti impostare un equaziozione del tipo:
      DUR1*V1*𝛼1 + DUR2*V2*𝛼2 = DURp*Vp
      Dove
      DUR1 è la duration del titolo 1
      DUR2 è la duration del titolo 2
      V1 è il valore del titolo 1
      V2 è il valore del titolo 2
      Vp è il valore del ptf
      DUR è la duration del portafoglio totale
      𝛼1 è la quota del titolo 1
      𝛼2 è la quota del titolo 2

      • Pasquale ha detto:

        Ma la DUR2 come me la calcolo? Non so, mi sto confondendo.

        • Andrea ha detto:

          Essendo uno zero coupon bond è pari alla sua scadenza ovvero 0,5

          • Pasquale ha detto:

            Ponendo l’equazione in quel modo ho un’unica incognita. Il problema è che il risultato non coincide. Scusa e grazie comunque

          • Andrea ha detto:

            Secondo me quell 1 che nei dati è stato attribuito ad alfa1 prova a non considerarlo
            Di certo la quota alfa2 puoi leggerla come 1-alfa1
            Avresti comunque un’equazione ad una incognita

          • Pasquale ha detto:

            Ho provato in tutti i modi ma nulla. Ho alfa1= 1, D1=1,713122 D2= 0,5 ma comunque alfa2 non corrisponde al risultato che dovrebbe essere 1,89258

      • Pasquale ha detto:

        La DUR1 è 1,73122

      • Pasquale ha detto:

        Scusa se insisto, ma non c’è un modo per risolverlo secondo te?

  • Francesco ha detto:

    Ciao Andrea scusa il disturbo, ma la duration di un titolo a cedola fissa cresce o decresce all’aumentare del tasso cedolare, oppure è indipendente. Grazie, ed un’ultima cosa, qual’è secondo te la risposta a tale quesito, dato un flusso monetario con quantità non negative di cui almeno una positiva, la sua elasticità espressa in funzione del tasso d’interesse è pari:
    A)ALL’OPPOSTO DEL PRODOTTO TRA LA DURATION DEL TITOLO ED IL TASSO D’INTERESSE.
    B)È PARI ALL’OPPOSTO DEL RAPPORTO TRA LA DURATION DEL SECONDO ORDINE E LA SUA DURATION
    C)NESSUNA DELLE PRECEDENTI.
    Grazie e perdonami il disturbo.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Francesco
      Quando il tasso cedolare cresce la duration diminuisce
      Pensa al caso limite in cui il tasso cedolare è pari a zero: la duration coincide con la scadenza.
      Da quel caso limite se tale tasso aumenta la duration diminuisce

      Circa la seconda domanda sceglierei a occhio la prima opzione
      Elasticità = var% flusso / var% tasso
      =(dflusso/ flusso)/(dtasso/tasso)
      =(dtasso/dflusso)*(tasso/flusso)

      Siccome (dtasso/dflusso)*1/flusso dovrebbe essere la duration allora la moltiplico per il tasso
      Ovviamente coi segni invertiti

  • Francesco ha detto:

    Un’altra cosa se puoi se ti chiedessi di calcolare la duration di un portafoglio composto da quattro unità di un titolo che ha un flusso pari a:{7,150,220} e 2 ZCB unitari che scadono in t1, 5 ZCB che scadono in t2, come la faresti grazie mille e scusa ancora del disturbo.

    • Andrea ha detto:

      Ciao Francesco,
      Ricorda che la Duration di un ptf (portafoglio) (DURp) è collegata alla duration dei titoli presenti (supponiamo 2) mediante la seguente formula:

      DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3
      Dove:
      DURp, DUR1, DUR2, DUR3: sono le duration del ptf e dei titoli nel ptf
      Vp, V1, V2, V3: sono i valori attuali del ptf e dei titoli nel ptf
      𝛼1 e 𝛼2 𝛼3 sono le quote dei titoli.

      Ricorda inoltre che il Valore attuale del ptf è pari a:
      Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3

      Nel tuo caso conosci già le quote , che sono 𝛼1=4, 𝛼2=2, 𝛼3=5
      Quindi devi determinare col tasso che hai a disposizione
      V1 e V2 che sono i valori attuali dei titoli
      (ti basta semplicemente attualizzare i flussi di cassa con la struttura dei tassi o con il tasso di cui disponi)
      Da queste ti calcoli il valore attuale del portafoglio applicando la formula:
      Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3

      Da qui imposti l’equazione generale per la duration:
      DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3

      Dove l’unica incognita è la duration del ptf

  • Enrico ha detto:

    una domanda per favore, se ho uno 0 coupon a 10 anni che mi ammortizza il 10% all’anno a quanto ammonta la duration?

  • Enrico ha detto:

    cambia al cambiare del prezzo? se ipotizzo un prezzo di 80 eventualmente?

    • Andrea ha detto:

      La duration non è influenzata in generale dal suo prezzo
      L’importante è la distribuzione dei flussi di cassa nel tempo

  • Simone Pallotta ha detto:

    Buongiorno,
    puoi spiegarmi per favore la scadenza media aritmetica?

    Questo l’esercizio:
    Dato il flusso {10, 20, 30} secondo lo scadenzario {1; 2.5; 3.3}, la scadenza media aritmetica, in anni, al tempo t0=0 è

    Attendo,

    Grazie mille

    • Andrea ha detto:

      Ciao Simone
      Bisogna fare la MEDIA PONDERATA dei flussi con i flussi fattori di ponderazione
      SCADENZA MEDIA = (somma(flussi*trmpi))/somma flussi
      Nel caso particolare abbiamo
      (10*1+20*2,5+30*3,3)/(10+20+30)= 2,65
      In particolare trovi questa parte in questa pagina https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
      Nel MINICORSO criteri di valutazione (oltre che nel corso completo ed eserciziario
      =

      • Simone Pallotta ha detto:

        Ti ringrazio, sai aiutarmi anche per questo esercizio?

        Data un’obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo, la scadenza media aritmetica risulta?

        Attendo

        Grazie

        • Andrea ha detto:

          Ciao Simone!
          La scadenza aritmetica si calcola nel seguente modo:
          SA = (∑xi*ti)/∑xi
          Dove per xi intendiamo il flussi mentre con ti i tempi
          L’obbligazione in questione è decennale con cedola annua del 5% e valore di 100
          Dunque ogni anno darà una cedola pari a 5
          i flussi saranno dunque (5 , 5, 5, …, 100+5) con scadenziario T = (1, 2, 3, …, 9, 10)
          Dunque applicando la regola abbiamo che:
          SA = (5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10) / ( 5+5+5+..+5+100) = 8,5
          Ovviamo si poteva a che raccogliere al numeratore:
          Dunque:
          5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10=
          5*(1+2+3+4+…+9+10) + 100*10 =
          applicando la formula della progressione aritmetica il numeratore diventa:
          5*10*11/2 +100*10
          Mentre al denominatore si poteva tranquillamente scrivere
          5*10 + 100
          dunque:
          SA = (5*10*11/2 +100*10)/(5*10 + 100) =8,5

          Mi raccomando scopri i corsi perché ci sono tutte queste cose!
          Qui parliamo dei metodi di valutazione dei progetti!
          MINI CORSO 4 a questa pagina!
          https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/

      • Simone Pallotta ha detto:

        Anche altri due esercizi?

        1- dato il progetto A (-100,20,20,58,36,23,11) secondo lo scadenzario (0,1,2,3,4,5,6), il tempo di recupero risulta?

        2-Dato il flusso (1000, 2000, 3500, 5000) secondo lo scadenzario (espresso in mesi) (3,6,9,12), la duration al tempo t0-0 ed al tasso di valutazione del 4% è?

        Attendo

        Grazie

  • Chiara ha detto:

    Ciao come si calcola la scadenza media finanziaria quando il tasso e Semplice
    Esempio
    Anni 1 2 3 4
    Rate 760 1140 1900 1520

    Al tasso semplice i=4%

    • Andrea ha detto:

      Ciao Chiara
      Il procedimento per la scadenza media finanziaria o duration è sempre quello di mettere
      Al numeratore la somma dei flussi attualizzati per il tempo
      Mentre al denominatore la somma dei flussi attualizzati
      Dunque nel caso specifico il numeratore è
      N= 760/(1+0,04*1)*1 + 1140/(1+0,04*2)*2 +1900/(1+0,04*3)*3 + 1520/(1+0,04*4)*4
      Mentre al denominatore è lo stesso procedimento eccetto la moltiplicazione per i tempi dunque
      D= 760/(1+0,04*1) + 1140/(1+0,04*2) +1900/(1+0,04*3) + 1520/(1+0,04*4)/4
      Dividendo i due valori (N/D) trovi la scadenza media finanziaria o duration

      • Chiara ha detto:

        Perfetto invece come si calcola la scadenza media finanziaria con sconto commerciale
        Ad esempio “determinare con il regime dello sconto commerciale, al tasso di sconto commerciale composto del 5%
        La scadenza media finanziaria della seguente rendita

        T 1 2 4
        Rate 156 255 336 “

        • Andrea ha detto:

          Ciao Chiara
          La definizione è sempre la stessa.
          Al numeratore fai la sommatoria del prodotto tra (flussi, fattori attualizzanti e tempi)
          Mentre al denominatore la sommatoria tra (flussi, fattori attualizzanti)
          Nel caso specifico con i tempi T= (1,2,4) e i flussi (156, 255, 336) al tasso di sconto del 5% il calcolo è
          DURATION = (156*(1-0,05*1)*1 +255*(1-0,05*2)*2 +336*(1-0,05*4)*4)/(156*(1-0,05*1) +255*(1-0,05*2) +336*(1-0,05*4))

  • Paolo ha detto:

    Ciao Andrea,
    Come calcolo la duration di un mutuo ipotecario a sal (stato avanzamento lavori) al tasso del 6,50% con i seguenti flussi (erogazioni) e durate?
    500.000 per 6 mesi
    2.000.000 per 9 mesi
    3.800.000 per 6 mesi
    5.000.000 per 6 mesi
    6.000.000 per 6 mesi
    6.600.000 per 6 mesi

    Grazie
    Paolo

    • Andrea ha detto:

      Ciao Paolo
      Ti conviene mettere i dati in Excel
      Sulla prima colonna riporta i tempi in mesi (1,2,3)
      Sulla seconda colonna i valori delle rate
      Poi calcoli il tasso mensile
      Suppongo che quel 6,50% sia nominale convertibile dunque dividilo per 12
      Sulla terza colonna riporta i valori attualizzati
      Ad esempio per il primo 500*(1+i)^(-1)
      Dove il 500, il tasso i e il tempo lì clicchi (fissa il tasso)
      Sulla quarta colonna moltiplica i valori attualizzati per il tempo
      Ad esempio nel primo 500*(1+i)^(-1)*1

      Poi fai la somma dei valori della terza colonna e della quarta

      Ottieni la duration (in mesi) dividendo la somma della colonna 4 per la somma della colonna 3

  • anna ha detto:

    buongiorno, ho un problema a risolvere questo quesito:
    ho un titolo A con duration 2, un titolo C con duration 4 e un titolo B che ha un solo fluisso di cassa in t=3. devo trovare la duration del portafoglio che comprende i tre titoli.
    grazie
    Anna

    • Andrea ha detto:

      Buongiorno Anna
      Per risolvere i problemi della duration devi usare queste due equazioni
      ∑Vi*xi = VP
      ∑Vi*DURi*xi = VP * DURP
      Dove Vi VP sono i valori attuali dei titoli e del portafoglio
      DURi e DURP sono le duration dei titoli e del portafoglio
      xi sono il numero di quote dei singoli titoli
      La prima equazione afferma che la somma dei valori attuali dei titoli ponderata per le quote è pari al valore attuale del portafoglio
      Mentre la seconda equazione afferma che la somma delle duration ponderata per leduration e per le quote dei titoli è il prodotto tra la duration del portafoglio la sua duration
      Dunque nel tuo caso avrai

      VA*xA + VB*xB + VC*xC = VP
      VA*DURA*xA + VB*DURB*xB + VC*DURC*xC = DURP*VP
      Le quote di A,B e C sono pari ad 1 (1 solo titolo per tipo)
      Quindi le due equazioni diventano più semplici

      VA + VB + VC = VP
      VA*DURA + VB*DURB + VC*DURC = DURP*VP
      Anche le duration sono note dal momento che vengono espressamente indicate nel testo
      DURA = 2 DURB = 3 DURC=4
      Da notare che nel titolo B la duration vale 2 poiché ha un solo flusso
      Quindi ancora meglio perchè la seconda equazione diventa
      2VA + 3VB + 4VC = VP*DURP

      Da questa ultima relazione puoi estrapolare la duration
      DURP = 2 VA/VP + 3 VB/VP + 4* 4 VC/VP
      Da notare che i termini VA/VP VB/VP VC/VP rappresentano la percentuale di valore dei titoli nel portafoglio
      Questo lo ricavi dal fatto che dalla seconda equazione hai che
      VA + VB + VC = VP

      L’ingrediente che ti manca a finire il calcolo sono proprio i valori attuale dei titoli
      Supponendo ad esempio che il portafoglio sia equiponderato (ovvero che i valori attuali dei tre titoli siano identici potresti concedere che
      DURP = 1/3 (2+3+4) = 3
      Ma se ad esempio le quote fossero 20% 30% 50% dovresti adeguare le ponderazioni
      DURP = 0,2*2 + 0,3*3 +0,5*4 = 3,3

  • ANNA ha detto:

    ANDREA, TI RINGRAZIO TANTISSIMO. ORA MI è TUTTO MOLTO CHIARO. GRAZIE MILLE!

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