DEFINIZIONE
La Duration è chiamata anche durata media di un titolo.
Matematicamente è la media dei tempi che viene ponderata per i flussi di cassa attualizzati
Nell’ambito del mercato delle obbligazioni è utilizzata come indicatore di rischio.
FORMULA
La formula per calcolare la duration è la seguente.
Al numeratore della frazione prendiamo ogni singolo flusso di cassa, li moltiplichiamo per il fattore attualizzante e poi per il rispettivo tempo.
Tra questi risultati facciamo la somma.
Al denominatore facciamo la somma tra i flussi di cassa attualizzati.
In altre parole il denominatore coincide con il Risultato Economico Attualizzato (REA).
MISURA DEL RISCHIO
La duration è un indicatore di rischio spesso associato ai titoli obbligazionari.
In generale si ritiene che una duration alta sia sinonimo di un più alto rischio finanziario (o volatilità) collegato al titolo.
Questo poiché maggiore è la duration maggiori sono le variazioni del prezzo del titolo ad opera di cambiamenti dei tassi di interesse nell’economia.
Tale variazione è da assoggettarsi a svariati fattori, tra cui come più importanti troviamo le politiche monetarie operate dalla banca centrale europea.
VARIAZIONI DEL PREZZO DEL TITOLO
Quando nell’economia i tassi di riferimento subiscono delle variazioni anche il prezzo del titolo subisce delle variazioni in senso opposto.
In particolare un aumento dei tassi di interesse determina una diminuzione del prezzo del titolo.
Mentre una diminuzione dei tassi di interesse determina un aumento del prezzo dei titoli.
È possibile approssimare tale variazione sfruttando il concetto di duration e di T.I.R. dell’obbligazione.
La variazione i termini assoluti del prezzo del titolo sarà:
Dove ∆r rappresenta la variazione del tasso di interesse.
Supponendo di chiamare P’ il nuovo prezzo dell’obbligazione avremo che:
Spostando a destra P e raccogliendolo avremo che il nuovo prezzo P’ sarà dato da :
Se volessimo calcolare la variazione relativa (o percentuale) del titolo avremo che:
ESEMPIO
Vediamo un esempio concreto per calcolare la duration:
Calcolare la duration di un’obbligazione quinquennale dal valore nominale di 100, che distribuisce cedole annue al tasso cedolare del 6%.
Il tasso di mercato utilizzato per la valutazione è il 7%.
I dati che possiamo estrapolare dal testo sono i seguenti
DATI:
Per prima cosa calcoliamo la cedola annua moltiplicando il valore nominale del titolo per il tasso cedolare.
GRAFICO
Dopo di che disponiamo i flussi di cassa prodotti dal titoli sull’asse dei tempi.
Al tempo 1 e 2 mettiamo la sola cedola pari a 6.
Sotto il tempo 3 mettiamo la somma tra il valore nominale del titolo (100) e della cedola (6) per un totale di 106.
CALCOLI
Adesso non ci resta che applicare la formula per il calcolo della duration.
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che dici della relazione che esiste in un piano di ammortamento fra il delito residuo e gli interessi residui?
La relazione tra il debito residuo e gli interessi residui è la seguente.
Se il debito diminuisce (a parità di tasso e di periodicità della rata) gli interessi calano.
Infatti gli interessi sono calcolati come il prodotto tra il debito residuale e il tasso periodale di riferimento.
Ovviamente se da un periodo all’altro il tasso di interesse sale potrebbe anche darsi che l’interesse cresca
Si consideri un flusso di importi biennale con decorrenza in t0=0. Tale flusso si compone di rate semestrali costanti Pari a 40 euro. Con struttura dei tassi piatta con tasso annuo pari a j=10% calcolare la duration
ciao,
Per calcolare la duration dell’operazione dobbiamo utilizzare la seguente formula:
D = ∑Fi·v(ti)·ti /∑Fi·ti
Dove:
Fi indica il flusso al tempo ti
v(ti) altro non è che il fattore attualizzante.
Ovviamente ci riferiamo al regime composto per semplicità
Se decidiamo di tenere il tempo e il tasso in anni il calcolo del numeratore della duration è:
40·(1,10^(-0,5)*0,5 + 1,10^(-1)*1 + 1,10^(-1,5)*1,5 +1,10^(-2)*2)
Da notare che ho raccolto a fattorizzeranno comune il 40 dal momento che le rate sono costanti.
Mentre il denominatore della frazione è:
40·(1,10^(-0,5) + 1,10^(-1) + 1,10^(-1,5) +1,10^(-2))
La Duration è dunque il rapporto tra il numeratore è il denominatore:
D = 1,22
Poco più che un anno e qualche mese
se ho un flusso finanziario:
scadenza 1.3 2.6 3.4 4.3
importo 5000 4000 3000 5000
calcolare la duration in anni del flusso al tempo t=0 e al tempo t=2
come si fa?
Ciao Andrea
Se non hai il tasso di interesse puoi calcolare la durata media con la seguente formula:
DUR = ∑(flussi*tempi)/∑flussi
Dove:
∑ è il simbolo di sommatoria
Nel tuo caso hai che:
DUR = (5.000 *1,3 + 4.000 *2,6 + 3.000 *3,4 +5.000 *4,3)/(5.000 + 4.000 + 3.000 + 5.000)
DUR = 2,85
Ovviamente questo non avrebbe senso con la richiesta che hai scritto, perché siccome indica dei tempi precisi è necessario anche il tasso di interesse.
Supponiamo quindi di avere un tasso del 10%.
La formula che utilizzi è:
DUR(t*) =t* + ∑(flussi*(-t*+t)*(1+i)^(-t*+t))/∑(flussi*(1+i)^(-t*+t)
Dove
t* è il tempo a cui vuoi portare i flussi
t sono i tempi riferiti ai flussi.
Calcoliamo la duration in t*=0
DUT(t*=0) = (5.000 *1,3*1,10^(-1,3) + 4.000 *2,6*1,10^(-2,6) + 3.000 *3,4*1,10^(-3,4) +5.000 *4,3*1,10^(-4,3))/(5.000 *1,10^(-1,3) + 4.000*1,10^(-2,6) + 3.000*1,10^(-3,4) + 5.000*1,10^(-4,3))
DUT(t*=0) = 2,7255
Se vogliamo calcolare tutto al tempo 2
DUT(t*=0) = 2 + (5.000 *(-0,7)*1,10^0,7 + 4.000 *0,6*1,10^(-0,6) + 3.000 *1,4*1,10^(-1,4) +5.000 *2,3*1,10^(-2,3))/(5.000 *1,10^(0,7) + 4.000*1,10^(-0,6) + 3.000*1,10^(-1,4) + 5.000*1,10^(-2,3))
DUT(t*=0) = 2,7255
In pratica sono la stessa!!!!
Ciao Andrea, volevo farti una domanda circa il calcolo della duration finanziaria.
Nello svolgere i quesiti la mia prof. alcune volte usa la formula nota nel tuo video (riportata anche sul mio libro) altre invece utilizzata la somma tra a figurato n al tasso i, e il valore nominale attualizzato. Sapresti dirmi perché?
Ciao Giulia,
La formula della duration è sempre quella:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
Dove ∑x·v·t è la sommatoria dei flussi di cassa (che ho chiamato x) moltiplicata per i fattori attualizzanti (che ho chiamato v) moltiplicata a sua volta per i tempi (che ho chiamato t)
Mentre : ∑x·v è la sommatoria dei flussi di cassa per i fattori attualizzanti.
Questa seconda sommatoria coincide con il valore attuale dei flussi.
Tieni conto che la notazione che ho utilizzato è molto spiccia, e se sfogli diverso materiale (libri oppure in internet) troverai che ci sono almeno una dozzina di modi diversi per chiamare questo simbologia.
Ora tu mi chiedi perché in alcuni casi la duration può presentarsi un forma diversa da questa.
Considera questo fatto:
Quando le rate di una rendita sono COSTANTI nella formula generale vista prima:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
La x diventa un valore costante, dunque la formula della duration diventa semplicemente:
D = ∑v·t / ∑v
Se guarda il denominatore della frazione ∑v puoi vedere che si tratta semplicemente della somma dei valori attualizzanti.
Quando il pagamento delle rate è costante è posticipato il denominatore diventa semplicemente a figurato n al tasso i:
∑v = a(n;i)
In questo video trovi anche la dimostrazione di questo
https://www.youtube.com/watch?v=rsIrSMGU9HU&list=PLhjCd-4en3HjJ0IQlh3ca79f7VqsMtitp&index=5
Ti faccio un esempio molto semplice:
Calcola la duration della seguente rendite
T = (1,2,3) X = (10, 10, 10) tasso 10%
Con T vettore tempo, e X vettore flussi:
Se applichiamo la formula abbiamo che:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
D = (10*1,1^(-1)*1 + 10*1,1^(-2)*2 + 10*1,1^(-3)*3) / (10*1,1^(-1) + 10*1,1^(-2) + 10*1,1^(-3)) = …
Siccome il 10 è un termine costante, possiamo semplicemente scrivere:
D = D = (1,1^(-1)*1 + 1,1^(-2)*2 + 1,1^(-3)*3) / (1,1^(-1) + 1,1^(-2) + 1,1^(-3)) = …
Il denominatore lo possiamo anche scrivere come: a(3; 0,10) “a figurato 3 al tasso del 10%)
Ciao Andrea spero di non essere off topic ma non riesco a trovare soluzione a questo esercizio…
“Data una obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo la scadenza media aritmetica risulta?”
Ciao Angelo
La durata finanziaria media di un titolo zero coupon bond, ovvero con rimborso è la scadenza del titolo stesso dunque nel tuo caso 10
Il calcolo sarebbe
Durata = 100*10/100=10
Ciao Andrea non riesco a risolvere questo quesito, se tu riuscissi a darmi delucidazioni te ne sarei molto grato. In realtà riesco a calcolare la duration, ho problemi con la seconda richiesta.
Sia dato il titolo x1che paga un flusso di importi{12,12,12,112}ai tempi t={0.5,1,1.5,2}. Con riferimento ad una struttura dei tassi a pronti data da i(0,0.5) = 10.75%, i=(0,1)=10.90% ,i(0,1.5) = 11.05% ,i(0,2) = 11.25%, determinare la duration del titolo x1. Indicato poi con x il portafoglio composto da una quota α1= 1 del titolo x1 e da una quota α2 di uno zero coupon bond x2che paga 100 lire in t= 0.5, determinare α2 in modo che D(0,x) = 1.
Ciao Pasquale,
Dovresti impostare un equaziozione del tipo:
DUR1*V1*𝛼1 + DUR2*V2*𝛼2 = DURp*Vp
Dove
DUR1 è la duration del titolo 1
DUR2 è la duration del titolo 2
V1 è il valore del titolo 1
V2 è il valore del titolo 2
Vp è il valore del ptf
DUR è la duration del portafoglio totale
𝛼1 è la quota del titolo 1
𝛼2 è la quota del titolo 2
Ma la DUR2 come me la calcolo? Non so, mi sto confondendo.
Essendo uno zero coupon bond è pari alla sua scadenza ovvero 0,5
Ponendo l’equazione in quel modo ho un’unica incognita. Il problema è che il risultato non coincide. Scusa e grazie comunque
Secondo me quell 1 che nei dati è stato attribuito ad alfa1 prova a non considerarlo
Di certo la quota alfa2 puoi leggerla come 1-alfa1
Avresti comunque un’equazione ad una incognita
Ho provato in tutti i modi ma nulla. Ho alfa1= 1, D1=1,713122 D2= 0,5 ma comunque alfa2 non corrisponde al risultato che dovrebbe essere 1,89258
La DUR1 è 1,73122
Scusa se insisto, ma non c’è un modo per risolverlo secondo te?
Secondo me c’è qualche dato mancante o non corretto
In caso girami per mail il testo da cui l’hai preso
Non è la prima volta che mi capitano casi simili
Grazie te la invio subito
Ciao Andrea scusa il disturbo, ma la duration di un titolo a cedola fissa cresce o decresce all’aumentare del tasso cedolare, oppure è indipendente. Grazie, ed un’ultima cosa, qual’è secondo te la risposta a tale quesito, dato un flusso monetario con quantità non negative di cui almeno una positiva, la sua elasticità espressa in funzione del tasso d’interesse è pari:
A)ALL’OPPOSTO DEL PRODOTTO TRA LA DURATION DEL TITOLO ED IL TASSO D’INTERESSE.
B)È PARI ALL’OPPOSTO DEL RAPPORTO TRA LA DURATION DEL SECONDO ORDINE E LA SUA DURATION
C)NESSUNA DELLE PRECEDENTI.
Grazie e perdonami il disturbo.
Ciao Francesco
Quando il tasso cedolare cresce la duration diminuisce
Pensa al caso limite in cui il tasso cedolare è pari a zero: la duration coincide con la scadenza.
Da quel caso limite se tale tasso aumenta la duration diminuisce
Circa la seconda domanda sceglierei a occhio la prima opzione
Elasticità = var% flusso / var% tasso
=(dflusso/ flusso)/(dtasso/tasso)
=(dtasso/dflusso)*(tasso/flusso)
Siccome (dtasso/dflusso)*1/flusso dovrebbe essere la duration allora la moltiplico per il tasso
Ovviamente coi segni invertiti
Un’altra cosa se puoi se ti chiedessi di calcolare la duration di un portafoglio composto da quattro unità di un titolo che ha un flusso pari a:{7,150,220} e 2 ZCB unitari che scadono in t1, 5 ZCB che scadono in t2, come la faresti grazie mille e scusa ancora del disturbo.
Ciao Francesco,
Ricorda che la Duration di un ptf (portafoglio) (DURp) è collegata alla duration dei titoli presenti (supponiamo 2) mediante la seguente formula:
DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3
Dove:
DURp, DUR1, DUR2, DUR3: sono le duration del ptf e dei titoli nel ptf
Vp, V1, V2, V3: sono i valori attuali del ptf e dei titoli nel ptf
𝛼1 e 𝛼2 𝛼3 sono le quote dei titoli.
Ricorda inoltre che il Valore attuale del ptf è pari a:
Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3
Nel tuo caso conosci già le quote , che sono 𝛼1=4, 𝛼2=2, 𝛼3=5
Quindi devi determinare col tasso che hai a disposizione
V1 e V2 che sono i valori attuali dei titoli
(ti basta semplicemente attualizzare i flussi di cassa con la struttura dei tassi o con il tasso di cui disponi)
Da queste ti calcoli il valore attuale del portafoglio applicando la formula:
Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3
Da qui imposti l’equazione generale per la duration:
DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3
Dove l’unica incognita è la duration del ptf
una domanda per favore, se ho uno 0 coupon a 10 anni che mi ammortizza il 10% all’anno a quanto ammonta la duration?
Ciao Enrico
Cosa intendi esattamente con ammortizza il 10% all’anno???
cambia al cambiare del prezzo? se ipotizzo un prezzo di 80 eventualmente?
La duration non è influenzata in generale dal suo prezzo
L’importante è la distribuzione dei flussi di cassa nel tempo
Buongiorno,
puoi spiegarmi per favore la scadenza media aritmetica?
Questo l’esercizio:
Dato il flusso {10, 20, 30} secondo lo scadenzario {1; 2.5; 3.3}, la scadenza media aritmetica, in anni, al tempo t0=0 è
Attendo,
Grazie mille
Ciao Simone
Bisogna fare la MEDIA PONDERATA dei flussi con i flussi fattori di ponderazione
SCADENZA MEDIA = (somma(flussi*trmpi))/somma flussi
Nel caso particolare abbiamo
(10*1+20*2,5+30*3,3)/(10+20+30)= 2,65
In particolare trovi questa parte in questa pagina https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Nel MINICORSO criteri di valutazione (oltre che nel corso completo ed eserciziario
=
Ti ringrazio, sai aiutarmi anche per questo esercizio?
Data un’obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo, la scadenza media aritmetica risulta?
Attendo
Grazie
Ciao Simone!
La scadenza aritmetica si calcola nel seguente modo:
SA = (∑xi*ti)/∑xi
Dove per xi intendiamo il flussi mentre con ti i tempi
L’obbligazione in questione è decennale con cedola annua del 5% e valore di 100
Dunque ogni anno darà una cedola pari a 5
i flussi saranno dunque (5 , 5, 5, …, 100+5) con scadenziario T = (1, 2, 3, …, 9, 10)
Dunque applicando la regola abbiamo che:
SA = (5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10) / ( 5+5+5+..+5+100) = 8,5
Ovviamo si poteva a che raccogliere al numeratore:
Dunque:
5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10=
5*(1+2+3+4+…+9+10) + 100*10 =
applicando la formula della progressione aritmetica il numeratore diventa:
5*10*11/2 +100*10
Mentre al denominatore si poteva tranquillamente scrivere
5*10 + 100
dunque:
SA = (5*10*11/2 +100*10)/(5*10 + 100) =8,5
Mi raccomando scopri i corsi perché ci sono tutte queste cose!
Qui parliamo dei metodi di valutazione dei progetti!
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https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Anche altri due esercizi?
1- dato il progetto A (-100,20,20,58,36,23,11) secondo lo scadenzario (0,1,2,3,4,5,6), il tempo di recupero risulta?
2-Dato il flusso (1000, 2000, 3500, 5000) secondo lo scadenzario (espresso in mesi) (3,6,9,12), la duration al tempo t0-0 ed al tasso di valutazione del 4% è?
Attendo
Grazie
Ciao Simone!
Cominciamo col rispondere alla prima domanda.
Per prima cosa calcoliamo i flussi cumulati sempre allo stesso scadenzario:
T = (0,1,2,3,4,5,6)
che risultano:
∑FC = (-100, -80 , -60 , -2 , 34 , 57 , 68)
Dunque la positività viene tra il tempo 3 e 4
Il calcolo da fare è:
Tempo recupero = payback period = 3 + 2/36 = 3,055
Per approfondire la questione vai sul MINI CORSO 4
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Il secondo esercizio?