In questo articolo parliamo della duration, ovvero la durata media finanziaria.
INDICE
DEFINIZIONE
La Duration è chiamata anche durata media di un titolo.
Matematicamente è la media dei tempi che viene ponderata per i flussi di cassa attualizzati
Nell’ambito del mercato delle obbligazioni è utilizzata come indicatore di rischio.
FORMULA
La formula per calcolare la duration è la seguente.
$$ \text{duration} = \frac{ \sum_{k=0}^n FC_k \cdot (1+i)^{-t_k} \cdot t_k}{\sum_{k=0}^n FC_k \cdot (1+i)^{-t_k} } $$
Potremmo anche afferamare che si tratta di un valore medio dei tempi dove i fattori di ponderazione sono i fattori di attualizzazione.
Al numeratore della frazione prendiamo ogni singolo flusso di cassa, li moltiplichiamo per il fattore attualizzante e poi per il rispettivo tempo.
Tra questi risultati facciamo la somma.
Al denominatore facciamo la somma tra i flussi di cassa attualizzati.
In altre parole il denominatore coincide con il Risultato Economico Attualizzato (REA).
MISURA DEL RISCHIO
La duration è un indicatore di rischio spesso associato ai titoli obbligazionari.
In generale si ritiene che una duration maggiore sia sinonimo di un più alto rischio finanziario (o volatilità) collegato al titolo.
Questo poiché maggiore è la duration maggiori sono le variazioni del prezzo del titolo ad opera di cambiamenti dei tassi di interesse nell’economia.
Tale variazione è dovutaa svariati fattori, tra cui come più importanti troviamo le politiche monetarie operate dalla banca centrale europea.
VARIAZIONI DEL PREZZO DEL TITOLO
Quando nell’economia i tassi di riferimento subiscono delle variazioni anche il prezzo del titolo subisce delle variazioni in senso opposto.
In particolare un aumento dei tassi di interesse determina una diminuzione del prezzo del titolo.
Mentre una diminuzione dei tassi di interesse determina un aumento del prezzo dei titoli.
È possibile approssimare tale variazione sfruttando il concetto di duration e di T.I.R. dell’obbligazione.
La variazione i termini assoluti del prezzo ∆P del titolo sarà:
$$ \Delta P = -P \cdot \frac{ \text{duration}}{ 1 + \text{TIR}} \cdot \Delta r $$
P è il prezzo iniziale dell’obbligazione
Il TIR è il tasso interno di rendimento.
∆r rappresenta la variazione del tasso di interesse.
Supponendo di chiamare P’ il nuovo prezzo dell’obbligazione la variazione ∆P del prezzo è data dalla differenza tra il prezzo finale e il prezzo P iniziale
$$ \Delta P = P’ – P $$
Sostituiamo dunque tale relazione nella formula per la variazione del prezzo
$$ P’ – P = -P \cdot \frac{ \text{duration}}{ 1 + \text{TIR}} \cdot \Delta r$$
Spostando a destra P e raccogliendolo avremo che il nuovo prezzo P’ sarà dato da :
$$ P’ = P \cdot \left( 1- \frac {\text{duration}}{1+ \text{TIR}} \cdot \Delta r \right) $$
Se volessimo calcolare la variazione relativa (o percentuale) del titolo avremo che:
$$ \Delta \% P = \frac {\Delta P}{P} = \ – \frac { \text{ duration}}{1+ \text{TIR}} \cdot \Delta r $$
(ricordiamo che la variazione relativa di una variabile è data dal rapporto tra la variazione in termini assoluti ed il suo valore iniziale)
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ESEMPIO
Vediamo un esempio concreto per calcolare la duration:
Calcolare la duration di un’obbligazione quinquennale dal valore nominale di 100, che distribuisce cedole annue al tasso cedolare del 6%.
Il tasso di mercato utilizzato per la valutazione è il 7%.
I dati che possiamo estrapolare dal testo sono i seguenti
DATI:
$$ VN=100 \ \text{valore nominale } \qquad \text{durata: 3 anni} $$
$$ r_C = 6\% \ \text{tasso cedolare} \qquad r=7% \ \text{tasso di mercato} $$
Per prima cosa calcoliamo la cedola annua moltiplicando il valore nominale del titolo per il tasso cedolare.
$$ \text {cedola} = C = VN \cdot r_C = 100 \cdot 0,06 = 6 $$
GRAFICO
Dopo di che disponiamo i flussi di cassa prodotti dal titoli sull’asse dei tempi.
Al tempo 1 e 2 mettiamo la sola cedola pari a 6.
Sotto il tempo 3 mettiamo la somma tra il valore nominale del titolo (100) e della cedola (6) per un totale di 106.
CALCOLI
Adesso non ci resta che applicare la formula per il calcolo della duration.
$$ \text{duration} = \frac{ \sum_{k=0}^n FC_k \cdot (1+i)^{-t_k} \cdot t_k}{\sum_{k=0}^n FC_k \cdot (1+i)^{-t_k} } $$
$$ \text{duration} = \frac{ 6 \cdot 1,07^{-1} \cdot 1 + 6 \cdot 1,07^{-2} \cdot 2 + 106 \cdot 1,07^{-3} \cdot 3}{6 \cdot 1,07^{-1} + 6 \cdot 1,07^{-2} + 106 \cdot 1,07^{-3} } $$
$$ \text{duration} = 2,83 $$
Possiamo anche pensare che il tempo medio finanziario (duration) di questo investimento ha una durata 2,83 anni.
Questa conclusione ha molto senso in quanto:
- la duration ha sempre un valore compreso tra 0 e il tempo massimo dell’investimento (in questo caso è compresa tra 0 e 3)
- La duration è più spostata verso il 3 in quanto vi è un maggior peso dei flussi di cassa nella parte finale (infatti viene restituito il valore nominale di 100 alla fine dopo tre anni)
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50 risposte
che dici della relazione che esiste in un piano di ammortamento fra il delito residuo e gli interessi residui?
La relazione tra il debito residuo e gli interessi residui è la seguente.
Se il debito diminuisce (a parità di tasso e di periodicità della rata) gli interessi calano.
Infatti gli interessi sono calcolati come il prodotto tra il debito residuale e il tasso periodale di riferimento.
Ovviamente se da un periodo all’altro il tasso di interesse sale potrebbe anche darsi che l’interesse cresca
Si consideri un flusso di importi biennale con decorrenza in t0=0. Tale flusso si compone di rate semestrali costanti Pari a 40 euro. Con struttura dei tassi piatta con tasso annuo pari a j=10% calcolare la duration
ciao,
Per calcolare la duration dell’operazione dobbiamo utilizzare la seguente formula:
D = ∑Fi·v(ti)·ti /∑Fi·ti
Dove:
Fi indica il flusso al tempo ti
v(ti) altro non è che il fattore attualizzante.
Ovviamente ci riferiamo al regime composto per semplicità
Se decidiamo di tenere il tempo e il tasso in anni il calcolo del numeratore della duration è:
40·(1,10^(-0,5)*0,5 + 1,10^(-1)*1 + 1,10^(-1,5)*1,5 +1,10^(-2)*2)
Da notare che ho raccolto a fattorizzeranno comune il 40 dal momento che le rate sono costanti.
Mentre il denominatore della frazione è:
40·(1,10^(-0,5) + 1,10^(-1) + 1,10^(-1,5) +1,10^(-2))
La Duration è dunque il rapporto tra il numeratore è il denominatore:
D = 1,22
Poco più che un anno e qualche mese
se ho un flusso finanziario:
scadenza 1.3 2.6 3.4 4.3
importo 5000 4000 3000 5000
calcolare la duration in anni del flusso al tempo t=0 e al tempo t=2
come si fa?
Ciao Andrea
Se non hai il tasso di interesse puoi calcolare la durata media con la seguente formula:
DUR = ∑(flussi*tempi)/∑flussi
Dove:
∑ è il simbolo di sommatoria
Nel tuo caso hai che:
DUR = (5.000 *1,3 + 4.000 *2,6 + 3.000 *3,4 +5.000 *4,3)/(5.000 + 4.000 + 3.000 + 5.000)
DUR = 2,85
Ovviamente questo non avrebbe senso con la richiesta che hai scritto, perché siccome indica dei tempi precisi è necessario anche il tasso di interesse.
Supponiamo quindi di avere un tasso del 10%.
La formula che utilizzi è:
DUR(t*) =t* + ∑(flussi*(-t*+t)*(1+i)^(-t*+t))/∑(flussi*(1+i)^(-t*+t)
Dove
t* è il tempo a cui vuoi portare i flussi
t sono i tempi riferiti ai flussi.
Calcoliamo la duration in t*=0
DUT(t*=0) = (5.000 *1,3*1,10^(-1,3) + 4.000 *2,6*1,10^(-2,6) + 3.000 *3,4*1,10^(-3,4) +5.000 *4,3*1,10^(-4,3))/(5.000 *1,10^(-1,3) + 4.000*1,10^(-2,6) + 3.000*1,10^(-3,4) + 5.000*1,10^(-4,3))
DUT(t*=0) = 2,7255
Se vogliamo calcolare tutto al tempo 2
DUT(t*=0) = 2 + (5.000 *(-0,7)*1,10^0,7 + 4.000 *0,6*1,10^(-0,6) + 3.000 *1,4*1,10^(-1,4) +5.000 *2,3*1,10^(-2,3))/(5.000 *1,10^(0,7) + 4.000*1,10^(-0,6) + 3.000*1,10^(-1,4) + 5.000*1,10^(-2,3))
DUT(t*=0) = 2,7255
In pratica sono la stessa!!!!
Ciao Andrea, volevo farti una domanda circa il calcolo della duration finanziaria.
Nello svolgere i quesiti la mia prof. alcune volte usa la formula nota nel tuo video (riportata anche sul mio libro) altre invece utilizzata la somma tra a figurato n al tasso i, e il valore nominale attualizzato. Sapresti dirmi perché?
Ciao Giulia,
La formula della duration è sempre quella:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
Dove ∑x·v·t è la sommatoria dei flussi di cassa (che ho chiamato x) moltiplicata per i fattori attualizzanti (che ho chiamato v) moltiplicata a sua volta per i tempi (che ho chiamato t)
Mentre : ∑x·v è la sommatoria dei flussi di cassa per i fattori attualizzanti.
Questa seconda sommatoria coincide con il valore attuale dei flussi.
Tieni conto che la notazione che ho utilizzato è molto spiccia, e se sfogli diverso materiale (libri oppure in internet) troverai che ci sono almeno una dozzina di modi diversi per chiamare questo simbologia.
Ora tu mi chiedi perché in alcuni casi la duration può presentarsi un forma diversa da questa.
Considera questo fatto:
Quando le rate di una rendita sono COSTANTI nella formula generale vista prima:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
La x diventa un valore costante, dunque la formula della duration diventa semplicemente:
D = ∑v·t / ∑v
Se guarda il denominatore della frazione ∑v puoi vedere che si tratta semplicemente della somma dei valori attualizzanti.
Quando il pagamento delle rate è costante è posticipato il denominatore diventa semplicemente a figurato n al tasso i:
∑v = a(n;i)
In questo video trovi anche la dimostrazione di questo
https://www.youtube.com/watch?v=rsIrSMGU9HU&list=PLhjCd-4en3HjJ0IQlh3ca79f7VqsMtitp&index=5
Ti faccio un esempio molto semplice:
Calcola la duration della seguente rendite
T = (1,2,3) X = (10, 10, 10) tasso 10%
Con T vettore tempo, e X vettore flussi:
Se applichiamo la formula abbiamo che:
D = ∑x·v·t / ∑x·v
D = (10*1,1^(-1)*1 + 10*1,1^(-2)*2 + 10*1,1^(-3)*3) / (10*1,1^(-1) + 10*1,1^(-2) + 10*1,1^(-3)) = …
Siccome il 10 è un termine costante, possiamo semplicemente scrivere:
D = D = (1,1^(-1)*1 + 1,1^(-2)*2 + 1,1^(-3)*3) / (1,1^(-1) + 1,1^(-2) + 1,1^(-3)) = …
Il denominatore lo possiamo anche scrivere come: a(3; 0,10) “a figurato 3 al tasso del 10%)
Ciao Andrea spero di non essere off topic ma non riesco a trovare soluzione a questo esercizio…
“Data una obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo la scadenza media aritmetica risulta?”
Ciao Angelo
La durata finanziaria media di un titolo zero coupon bond, ovvero con rimborso è la scadenza del titolo stesso dunque nel tuo caso 10
Il calcolo sarebbe
Durata = 100*10/100=10
Ciao Andrea non riesco a risolvere questo quesito, se tu riuscissi a darmi delucidazioni te ne sarei molto grato. In realtà riesco a calcolare la duration, ho problemi con la seconda richiesta.
Sia dato il titolo x1che paga un flusso di importi{12,12,12,112}ai tempi t={0.5,1,1.5,2}. Con riferimento ad una struttura dei tassi a pronti data da i(0,0.5) = 10.75%, i=(0,1)=10.90% ,i(0,1.5) = 11.05% ,i(0,2) = 11.25%, determinare la duration del titolo x1. Indicato poi con x il portafoglio composto da una quota α1= 1 del titolo x1 e da una quota α2 di uno zero coupon bond x2che paga 100 lire in t= 0.5, determinare α2 in modo che D(0,x) = 1.
Ciao Pasquale,
Dovresti impostare un equaziozione del tipo:
DUR1*V1*𝛼1 + DUR2*V2*𝛼2 = DURp*Vp
Dove
DUR1 è la duration del titolo 1
DUR2 è la duration del titolo 2
V1 è il valore del titolo 1
V2 è il valore del titolo 2
Vp è il valore del ptf
DUR è la duration del portafoglio totale
𝛼1 è la quota del titolo 1
𝛼2 è la quota del titolo 2
Ma la DUR2 come me la calcolo? Non so, mi sto confondendo.
Essendo uno zero coupon bond è pari alla sua scadenza ovvero 0,5
Ponendo l’equazione in quel modo ho un’unica incognita. Il problema è che il risultato non coincide. Scusa e grazie comunque
Secondo me quell 1 che nei dati è stato attribuito ad alfa1 prova a non considerarlo
Di certo la quota alfa2 puoi leggerla come 1-alfa1
Avresti comunque un’equazione ad una incognita
Ho provato in tutti i modi ma nulla. Ho alfa1= 1, D1=1,713122 D2= 0,5 ma comunque alfa2 non corrisponde al risultato che dovrebbe essere 1,89258
La DUR1 è 1,73122
Scusa se insisto, ma non c’è un modo per risolverlo secondo te?
Secondo me c’è qualche dato mancante o non corretto
In caso girami per mail il testo da cui l’hai preso
Non è la prima volta che mi capitano casi simili
Grazie te la invio subito
Ciao Andrea scusa il disturbo, ma la duration di un titolo a cedola fissa cresce o decresce all’aumentare del tasso cedolare, oppure è indipendente. Grazie, ed un’ultima cosa, qual’è secondo te la risposta a tale quesito, dato un flusso monetario con quantità non negative di cui almeno una positiva, la sua elasticità espressa in funzione del tasso d’interesse è pari:
A)ALL’OPPOSTO DEL PRODOTTO TRA LA DURATION DEL TITOLO ED IL TASSO D’INTERESSE.
B)È PARI ALL’OPPOSTO DEL RAPPORTO TRA LA DURATION DEL SECONDO ORDINE E LA SUA DURATION
C)NESSUNA DELLE PRECEDENTI.
Grazie e perdonami il disturbo.
Ciao Francesco
Quando il tasso cedolare cresce la duration diminuisce
Pensa al caso limite in cui il tasso cedolare è pari a zero: la duration coincide con la scadenza.
Da quel caso limite se tale tasso aumenta la duration diminuisce
Circa la seconda domanda sceglierei a occhio la prima opzione
Elasticità = var% flusso / var% tasso
=(dflusso/ flusso)/(dtasso/tasso)
=(dtasso/dflusso)*(tasso/flusso)
Siccome (dtasso/dflusso)*1/flusso dovrebbe essere la duration allora la moltiplico per il tasso
Ovviamente coi segni invertiti
Un’altra cosa se puoi se ti chiedessi di calcolare la duration di un portafoglio composto da quattro unità di un titolo che ha un flusso pari a:{7,150,220} e 2 ZCB unitari che scadono in t1, 5 ZCB che scadono in t2, come la faresti grazie mille e scusa ancora del disturbo.
Ciao Francesco,
Ricorda che la Duration di un ptf (portafoglio) (DURp) è collegata alla duration dei titoli presenti (supponiamo 2) mediante la seguente formula:
DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3
Dove:
DURp, DUR1, DUR2, DUR3: sono le duration del ptf e dei titoli nel ptf
Vp, V1, V2, V3: sono i valori attuali del ptf e dei titoli nel ptf
𝛼1 e 𝛼2 𝛼3 sono le quote dei titoli.
Ricorda inoltre che il Valore attuale del ptf è pari a:
Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3
Nel tuo caso conosci già le quote , che sono 𝛼1=4, 𝛼2=2, 𝛼3=5
Quindi devi determinare col tasso che hai a disposizione
V1 e V2 che sono i valori attuali dei titoli
(ti basta semplicemente attualizzare i flussi di cassa con la struttura dei tassi o con il tasso di cui disponi)
Da queste ti calcoli il valore attuale del portafoglio applicando la formula:
Vp = V1*𝛼1 + V2*𝛼2 + V3*𝛼3
Da qui imposti l’equazione generale per la duration:
DURp·Vp = DUR1·V1·𝛼1 + DUR2·V2·𝛼2 + DUR3·V3·𝛼3
Dove l’unica incognita è la duration del ptf
una domanda per favore, se ho uno 0 coupon a 10 anni che mi ammortizza il 10% all’anno a quanto ammonta la duration?
Ciao Enrico
Cosa intendi esattamente con ammortizza il 10% all’anno???
cambia al cambiare del prezzo? se ipotizzo un prezzo di 80 eventualmente?
La duration non è influenzata in generale dal suo prezzo
L’importante è la distribuzione dei flussi di cassa nel tempo
Buongiorno,
puoi spiegarmi per favore la scadenza media aritmetica?
Questo l’esercizio:
Dato il flusso {10, 20, 30} secondo lo scadenzario {1; 2.5; 3.3}, la scadenza media aritmetica, in anni, al tempo t0=0 è
Attendo,
Grazie mille
Ciao Simone
Bisogna fare la MEDIA PONDERATA dei flussi con i flussi fattori di ponderazione
SCADENZA MEDIA = (somma(flussi*trmpi))/somma flussi
Nel caso particolare abbiamo
(10*1+20*2,5+30*3,3)/(10+20+30)= 2,65
In particolare trovi questa parte in questa pagina https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Nel MINICORSO criteri di valutazione (oltre che nel corso completo ed eserciziario
=
Ti ringrazio, sai aiutarmi anche per questo esercizio?
Data un’obbligazione di durata decennale a rimborso unico di capitale di valore nominale 100 al tasso del 5% annuo, la scadenza media aritmetica risulta?
Attendo
Grazie
Ciao Simone!
La scadenza aritmetica si calcola nel seguente modo:
SA = (∑xi*ti)/∑xi
Dove per xi intendiamo il flussi mentre con ti i tempi
L’obbligazione in questione è decennale con cedola annua del 5% e valore di 100
Dunque ogni anno darà una cedola pari a 5
i flussi saranno dunque (5 , 5, 5, …, 100+5) con scadenziario T = (1, 2, 3, …, 9, 10)
Dunque applicando la regola abbiamo che:
SA = (5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10) / ( 5+5+5+..+5+100) = 8,5
Ovviamo si poteva a che raccogliere al numeratore:
Dunque:
5*1 + 5*2 + …+ 5*10 + 100*10=
5*(1+2+3+4+…+9+10) + 100*10 =
applicando la formula della progressione aritmetica il numeratore diventa:
5*10*11/2 +100*10
Mentre al denominatore si poteva tranquillamente scrivere
5*10 + 100
dunque:
SA = (5*10*11/2 +100*10)/(5*10 + 100) =8,5
Mi raccomando scopri i corsi perché ci sono tutte queste cose!
Qui parliamo dei metodi di valutazione dei progetti!
MINI CORSO 4 a questa pagina!
https://andreailmatematico.it/corsi-matematica-finanziaria/
Anche altri due esercizi?
1- dato il progetto A (-100,20,20,58,36,23,11) secondo lo scadenzario (0,1,2,3,4,5,6), il tempo di recupero risulta?
2-Dato il flusso (1000, 2000, 3500, 5000) secondo lo scadenzario (espresso in mesi) (3,6,9,12), la duration al tempo t0-0 ed al tasso di valutazione del 4% è?
Attendo
Grazie
Ciao Simone!
Cominciamo col rispondere alla prima domanda.
Per prima cosa calcoliamo i flussi cumulati sempre allo stesso scadenzario:
T = (0,1,2,3,4,5,6)
che risultano:
∑FC = (-100, -80 , -60 , -2 , 34 , 57 , 68)
Dunque la positività viene tra il tempo 3 e 4
Il calcolo da fare è:
Tempo recupero = payback period = 3 + 2/36 = 3,055
Per approfondire la questione vai sul MINI CORSO 4
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Il secondo esercizio?
Ciao come si calcola la scadenza media finanziaria quando il tasso e Semplice
Esempio
Anni 1 2 3 4
Rate 760 1140 1900 1520
Al tasso semplice i=4%
Ciao Chiara
Il procedimento per la scadenza media finanziaria o duration è sempre quello di mettere
Al numeratore la somma dei flussi attualizzati per il tempo
Mentre al denominatore la somma dei flussi attualizzati
Dunque nel caso specifico il numeratore è
N= 760/(1+0,04*1)*1 + 1140/(1+0,04*2)*2 +1900/(1+0,04*3)*3 + 1520/(1+0,04*4)*4
Mentre al denominatore è lo stesso procedimento eccetto la moltiplicazione per i tempi dunque
D= 760/(1+0,04*1) + 1140/(1+0,04*2) +1900/(1+0,04*3) + 1520/(1+0,04*4)/4
Dividendo i due valori (N/D) trovi la scadenza media finanziaria o duration
Perfetto invece come si calcola la scadenza media finanziaria con sconto commerciale
Ad esempio “determinare con il regime dello sconto commerciale, al tasso di sconto commerciale composto del 5%
La scadenza media finanziaria della seguente rendita
T 1 2 4
Rate 156 255 336 “
Ciao Chiara
La definizione è sempre la stessa.
Al numeratore fai la sommatoria del prodotto tra (flussi, fattori attualizzanti e tempi)
Mentre al denominatore la sommatoria tra (flussi, fattori attualizzanti)
Nel caso specifico con i tempi T= (1,2,4) e i flussi (156, 255, 336) al tasso di sconto del 5% il calcolo è
DURATION = (156*(1-0,05*1)*1 +255*(1-0,05*2)*2 +336*(1-0,05*4)*4)/(156*(1-0,05*1) +255*(1-0,05*2) +336*(1-0,05*4))
Ciao Andrea,
Come calcolo la duration di un mutuo ipotecario a sal (stato avanzamento lavori) al tasso del 6,50% con i seguenti flussi (erogazioni) e durate?
500.000 per 6 mesi
2.000.000 per 9 mesi
3.800.000 per 6 mesi
5.000.000 per 6 mesi
6.000.000 per 6 mesi
6.600.000 per 6 mesi
Grazie
Paolo
Ciao Paolo
Ti conviene mettere i dati in Excel
Sulla prima colonna riporta i tempi in mesi (1,2,3)
Sulla seconda colonna i valori delle rate
Poi calcoli il tasso mensile
Suppongo che quel 6,50% sia nominale convertibile dunque dividilo per 12
Sulla terza colonna riporta i valori attualizzati
Ad esempio per il primo 500*(1+i)^(-1)
Dove il 500, il tasso i e il tempo lì clicchi (fissa il tasso)
Sulla quarta colonna moltiplica i valori attualizzati per il tempo
Ad esempio nel primo 500*(1+i)^(-1)*1
Poi fai la somma dei valori della terza colonna e della quarta
Ottieni la duration (in mesi) dividendo la somma della colonna 4 per la somma della colonna 3
buongiorno, ho un problema a risolvere questo quesito:
ho un titolo A con duration 2, un titolo C con duration 4 e un titolo B che ha un solo fluisso di cassa in t=3. devo trovare la duration del portafoglio che comprende i tre titoli.
grazie
Anna
Buongiorno Anna
Per risolvere i problemi della duration devi usare queste due equazioni
∑Vi*xi = VP
∑Vi*DURi*xi = VP * DURP
Dove Vi VP sono i valori attuali dei titoli e del portafoglio
DURi e DURP sono le duration dei titoli e del portafoglio
xi sono il numero di quote dei singoli titoli
La prima equazione afferma che la somma dei valori attuali dei titoli ponderata per le quote è pari al valore attuale del portafoglio
Mentre la seconda equazione afferma che la somma delle duration ponderata per leduration e per le quote dei titoli è il prodotto tra la duration del portafoglio la sua duration
Dunque nel tuo caso avrai
VA*xA + VB*xB + VC*xC = VP
VA*DURA*xA + VB*DURB*xB + VC*DURC*xC = DURP*VP
Le quote di A,B e C sono pari ad 1 (1 solo titolo per tipo)
Quindi le due equazioni diventano più semplici
VA + VB + VC = VP
VA*DURA + VB*DURB + VC*DURC = DURP*VP
Anche le duration sono note dal momento che vengono espressamente indicate nel testo
DURA = 2 DURB = 3 DURC=4
Da notare che nel titolo B la duration vale 2 poiché ha un solo flusso
Quindi ancora meglio perchè la seconda equazione diventa
2VA + 3VB + 4VC = VP*DURP
Da questa ultima relazione puoi estrapolare la duration
DURP = 2 VA/VP + 3 VB/VP + 4* 4 VC/VP
Da notare che i termini VA/VP VB/VP VC/VP rappresentano la percentuale di valore dei titoli nel portafoglio
Questo lo ricavi dal fatto che dalla seconda equazione hai che
VA + VB + VC = VP
L’ingrediente che ti manca a finire il calcolo sono proprio i valori attuale dei titoli
Supponendo ad esempio che il portafoglio sia equiponderato (ovvero che i valori attuali dei tre titoli siano identici potresti concedere che
DURP = 1/3 (2+3+4) = 3
Ma se ad esempio le quote fossero 20% 30% 50% dovresti adeguare le ponderazioni
DURP = 0,2*2 + 0,3*3 +0,5*4 = 3,3
ANDREA, TI RINGRAZIO TANTISSIMO. ORA MI è TUTTO MOLTO CHIARO. GRAZIE MILLE!
PREGO 😉
Si considerino i due seguenti titoli: (1) BOT a due anni, (2) BTP a
due anni, cedola annua 8. Sia dato un tasso di mercato costante
i = 0.05.
(a) Misurare al sensitivit`a del prezzo a variazioni infinitesimali del
tasso stabilendo quale dei due titoli `e pi`u sensibile.
(b) Stimare nei due casi la variazione relativa del prezzo nel caso in
cui il tasso diminuisca di un punto percentuale. E la variazione
assoluta del prezzo del titolo (2)?
Ciao Federico
Partiamo dal PUNTO A)
Per calcolare la sensibilità del prezzo rispetto alle variazioni del tassi di interesse, dobbiamo utilizzare la seguente formula:
$$ \Delta P =- P_0 \cdot \frac{\text{dur}}{1+\text{TIR}} \cdot \Delta i $$
dove in particolare:
$$ \Delta P = \text{variazione del prezzo assoluto} $$
$$ P_0= \text{prezzo iniziale}$$
$$ \text{dur}= \text{duration} $$
$$ \text{TIR}= \text{tasso interno di rendimento del titolo}$$
$$\Delta i = \text{variazione del tasso}$$
La variazione del prezzo in termini percentuali risulta dalla formula:
$$ \Delta \% P = \frac{\Delta P}{P_0} = – \ \frac{\text{dur}}{1+\text{TIR}} \cdot \Delta i $$
Cominciamo dunque calcolando i due prezzi dei titoli, che chiamiamo P1 e P2 al tasso di mercato del 5%.
Supponiamo il loro valore nominale di 100.
$$ P_1 = 100 \cdot 1,05^{-2} = 90,703$$
$$ P_2 = 8 \cdot 1,05^{-1} + 8 \cdot 1,05^{-2} +108 \cdot 1,05^{-3} = 105,578$$
Procediamo quindi con il calcolo delle duration dei due titoli:
Ricordiamo che la formula generale per il calcolo della duration di un titolo è
$$ \text{dur} = \frac{\sum x_t \cdot v^t \cdot t}{\sum x_t \cdot v^t } $$
Dove v rappresenta il fattore attualizzante.
Il denominatore della frazione è dunque il prezzo del titolo.
Mentre il numeratore è la sommatoria dei flussi di cassa futuri x attualizzati e ponderati per i tempi.
Quindi:
$$ \text{dur}_1 = \frac{100 \cdot 1,05^{-2}\cdot 2}{90,703} = 2 $$
Essendo che il titolo è un BOT (rimborso unico) la sua duration coincide con la sua scadenza.
$$ \text{dur}_1 = \frac{8 \cdot 1,05^{-1}\cdot 1 +108 \cdot 1,05^{-2}\cdot 1 }{105,578} = 1,928 $$
La sua duration è inferiore ovviamente alla scadenza poiché vi sono flussi intermedi
Data la formula riportata prima della variazione percentuale del prezzo:
$$ \Delta \% P = \frac{\Delta P}{P_0} = – \ \frac{\text{dur}}{1+\text{TIR}} \cdot \Delta i $$
(il TIR è il 5%)
Capiamo immediatamente che il primo titolo presenta una sensibilità maggiore del secondo a parità di tutti gli elementi.
Da notare che potevamo giungere alla stessa conclusione anche senza svolgere i calcoli.
Siccome la duration del secondo titolo è inferiore a quella del primo presenta una minore sensibilità del prezzo rispetto al secondo.
PUNTO B)
Riportiamo ancora una volta la variazione percentuale del prezzo in riferimento alla variazione del tasso:
$$ \Delta \% P = \frac{\Delta P}{P_0} = – \ \frac{\text{dur}}{1+\text{TIR}} \cdot \Delta i $$
I dati cui facciamo riferimento sono:
$$ \text{dur}_1 = 2 \quad \text{dur}_2 = 1,928 \quad \text{tir}_1 = 0,05 \quad \Delta (i) = -0,01 $$
Inserendo nella formula troviamo le due seguenti variazioni:
$$ \Delta \% P_1 = 0,019047 \quad \Delta \% P_2 = 0,018362 $$
Il che significa che quando il tasso cala dell’1%, il primo titolo aumenta il suo prezzo dell’1,90407%, mentre il secondo del 1,8362%.
Per calcolare la variazione di prezzo in termini assoluti basta che moltiplichiamo quella percentuale per il prezzo del titolo.
$$ \Delta P_2 = \Delta \% P_2 \cdot P_2 = 0,018362 \cdot 105,578 = 1,9386 $$
Cioè quando il tasso diminuisce di un punto percentuale il prezzo del secondo titolo aumenta di 1,9386 euro.
Ciao Andrea, non riesco a risolvere un esercizio:
SI consideri a tempo t=0 un investimento iniziale di 6.000€ che genera nei successivi
tempi t=0.5, t=1, t=1,5, t=2 i seguenti flussi futuri in entrata, 1.100, 500, 3.000, 2.500
Determinare
il TIR dell’operazione, calcolare anche la scadenza media aritmetica, la Duration e la Convexity. Verificare inoltre che la Duration è l’epoca ottima di smobilizzo (ipotizzare a tal fine uno shift del TIR dello 0,4% sia in aumento, sia in diminuzione).
La cosa che non capisco è come calcolo la duration con tempi non unitari? Quando attualizzo i flussi di cassa mantengo il -1,-2,-3… oppure attualizzo per -0,5,-1,-1,5 ecc… Grazie in anticipo!
Ciao Giada,
Per calcolare il TIR, mantieni i tempi indicati nell’esercizio esattamente come sono (in anni o frazioni di anno).
Non devi usare numeri interi progressivi (1, 2, 3…), a meno che tu non converta il tasso annuale in semestrale, ma questo complicherebbe inutilmente le cose.
La regola d’oro è:
l’esponente a cui elevi il fattore di sconto $(1+i)$ deve essere sempre coerente con l’unità di misura del tasso.
Se cerchi un TIR annuale, usa i tempi in anni: 0,5, 1, 1,5 e 2.Ecco come procedere passo dopo passo per risolvere l’esercizio:
1.Calcolo del TIR
Imposta l’equazione del REA (o VAN) uguale a zero utilizzando i tempi frazionari:
$$-6.000 + 1.100(1+i)^{-0,5} + 500(1+i)^{-1} + 3.000(1+i)^{-1,5} + 2.500(1+i)^{-2} = 0$$
Risolvendo (per interpolazione o con Excel/calcolatrice finanziaria), ottieni un TIR annuo $\approx$ 12,18%.
2. Scadenza Media Aritmetica
Questa è la media ponderata dei tempi usando come pesi i flussi nominali (non attualizzati).
$$\bar{t} = \frac{(1.100 \cdot 0,5) + (500 \cdot 1) + (3.000 \cdot 1,5) + (2.500 \cdot 2)}{1.100+500+3.000+2.500}$$
$$\bar{t} = \frac{550 + 500 + 4.500 + 5.000}{7.100} = \frac{10.550}{7.100} \approx \mathbf{1,486 \text{ anni}}$$
3. Duration (Macaulay)Qui sta il tuo dubbio principale.
Usa sempre i tempi 0,5, 1, 1,5, 2 sia come moltiplicatori che come esponenti.
Poiché usiamo il TIR, la somma dei flussi attualizzati (il denominatore) è pari all’investimento iniziale (6.000).
$$D = \frac{1.100 \cdot 0,5 \cdot (1,1218)^{-0,5} + 500 \cdot 1 \cdot (1,1218)^{-1} + \dots}{6.000}$$
Facendo i calcoli, dovresti ottenere una Duration di circa 1,43 anni.
4. Verifica dell’Epoca Ottima di Smobilizzo
Questa parte richiede di dimostrare il Teorema dell’Immunizzazione.
La teoria dice che se disinvesti (vendi tutto) esattamente al tempo $t = \text{Duration}$ (quindi tra 1,43 anni),
il rendimento che hai ottenuto è “immune” a piccoli shock dei tassi.
Procedimento per la verifica:
Calcola il montante target che avresti ottenuto al tempo $t=1,43$ con il TIR originale (12,18%).
Ipotizza lo shift dei tassi:
Scenario A: Tasso aumenta a $12,58\%$ ($12,18 + 0,4$).
Scenario B: Tasso diminuisce a $11,78\%$ ($12,18 – 0,4$).
Calcola il valore reale del portafoglio al tempo $t=1,43$ con i nuovi tassi.
Questo valore è composto da:Montante dei flussi già incassati (1.100 e 500) capitalizzati al nuovo tasso fino a 1,43.
Valore attuale dei flussi futuri (3.000 e 2.500) scontati al nuovo tasso indietro fino a 1,43.
Vedrai che in entrambi gli scenari, il valore finale sarà quasi identico (o leggermente superiore a causa della convexity) al montante target calcolato al punto 1.
Questo dimostra che la Duration ha “immunizzato” il portafoglio.
Buono studio!