in questo articolo rispondiamo alle domande sul quiz relativo alle rendite perpetue.
INDICE
DOMANDA 1- QUIZ SULLE RENDITE PERPETUE
Ricordiamo che il valore attuale di una rendita perpetua immediata e posticipata è:
$$V=\frac{R}{i}$$
Applicando immediatamente la formula troviamo:
$$V=\frac{120}{0,06}=2.000$$
DOMANDA 2- QUIZ SULLE RENDITE PERPETUE
Il valore attuale di una rendita perpetua immediata e anticipata è:
$$V=\frac{R}{i}(1+i)$$
Possiamo dunque applicare immediatamente la formula dal momento che la rata e il tasso di interesse seguono la stessa periodicità annua:
$$V=\frac{120}{0,06}\cdot1,06=2.120$$
DOMANDA 3- QUIZ SULLE RENDITE PERPETUE
Per prima cosa dobbiamo calcolare il tasso di interesse semestrale utilizzando le formula di trasformazione dei tassi nel regime composto:
$$i_2=(1+i)^\frac{1}{2}-1=1,06^\frac{1}{2}-1=0,029563$$
A questo punto applichiamo la formula del valore attuale della rendita perpetua immediata e posticipata:
$$V=\frac{R}{i_2}=\frac{120}{0,029563}=4.059,13$$
DOMANDA 4
Dalla formula del valore attuale della rendita perpetua immediata e posticipata, ricaviamo il valore della rata:
$$V=\frac{R}{i}\to R=V\cdot i=3.000\cdot0,08=240$$
DOMANDA 5
Invertendo la formula del valore attuale della rendita perpetua immediata e anticipata ricaviamo il valore della rata:
$$V=\frac{R}{i}(1+i)\ \to\ R=V\cdot\frac{i}{1+i}$$
A questo punto ricordiamoci che siccome dobbiamo ricavare la rata trimestrale ci serve il tasso effettivo trimestrale (i4) dal tasso nominale convertibile trimestralmente (j4).
$$i_4=\frac{j_4}{4}=\frac{0,12}{4}=0,03$$
Ritorniamo quindi alla nostra formula della rata:
$$R=4.000\cdot\frac{0,03}{1,03}=87,38$$
DOMANDA 6
Dalla formula del valore attuale della rendita perpetua, ci ricaviamo facilmente il tasso di interesse quadrimestrale (ricordiamo che la rata è quadrimestrale).
$$V=\frac{R}{i_3}\ \to\ i_3=\frac{R}{V}=\frac{50}{3.000}=0,016666667$$
Possiamo dunque facilmente ricavare il tasso effettivo annuo con la formula di trasformazione dei tassi nel regime composto:
$$i=(1+i_3)^3-1=1,016666667^3-1=0,0508379\simeq5,084\%$$
DOMANDA 7
Si tratta certamente del quesito più complesso di questo quiz.
In questo caso dobbiamo tenere presente che la rata è semestrale e che la prima rata viene pagata tra un anno, quindi al tempo 2semestri.
Il valore attuale si determina dividendo la rata semestrale (che per comodità chiameremo i) per il tasso semestrale e successivamente attualizzando di un semestre.
$$V=\frac{R}{i}(1+i)^{-1}$$
Possiamo anche riscrivere tale valore attuale nel seguente modo:
$$V=\frac{R}{i(1+i)}$$
Moltiplichiamo a destra e sinistra per il denominatore comune:
$$Vi(1+i)=R$$
Svolgiamo i conti fino a ricavare un’equazione di secondo grado rispetto all’incognita i (tasso effettivo semestrale!).
$$Vi+Vi^2=R\ \to\ Vi^2+Vi-R=0$$
Inseriamo i dato e risolviamo l’equazione “salvando” solamente la soluzione positiva.
$$3.000i^2+3.000i-60=0\overset{\div60}{\longrightarrow}50i^2+50i-1=0$$
La soluzione (tasso semestrale) è:
$$i_2=\frac{-50+\sqrt{50^2-4\cdot50\cdot(-1)}}{2\cdot50}=0,01961524$$
Se vogliamo ricavare il tasso annuo nominale convertibile semestralmente (j2) moltiplichiamo per 2 il tasso effettivo semestrale (i2):
$$j_2=2\cdot i_2=2\cdot0,01961524=0,03923048$$
Tale ultimo tasso di interesse nominale risulta certamente (anche se di poco) inferiore al corrispondente tasso annuo effettivo i:
$$i=(1+i_2)^2-1=1,01961524^2-1=0,0396152422$$
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