Duration e Convexity: Misurare e Gestire il Rischio di Tasso

La duration e la convexity sono pilastri della finanza quantitativa, strumenti indispensabili per analizzare e gestire la sensibilità dei prezzi degli strumenti finanziari (in particolare obbligazioni) alle variazioni dei tassi di interesse. La loro comprensione è cruciale per investitori e gestori di portafoglio al fine di navigare il rischio di tasso e ottimizzare le strategie di investimento.

La Duration: La Sensibilità al Tasso e la Scadenza Media Ponderata

La duration è una misura della sensibilità percentuale del prezzo di un’obbligazione (o di un flusso di cassa) ad una variazione unitaria (1%) del tasso di interesse. In termini più concreti, essa indica quanto il prezzo di un titolo si muoverà in reazione a un cambiamento nei rendimenti.

Parallelamente, la duration è interpretabile come la scadenza media ponderata dei flussi di cassa di un titolo, dove i pesi sono dati dal valore attuale di ciascun flusso di cassa rispetto al prezzo totale del titolo.

Un’obbligazione con una duration più elevata è intrinsecamente più rischiosa in termini di tasso di interesse: un aumento dei tassi ne causerà una diminuzione del prezzo più marcata, e viceversa, rispetto a un’obbligazione con duration inferiore.

Le due varianti più comuni sono la Macaulay Duration e la Modified Duration.

Formula della Macaulay Duration ($D_M$)

La Macaulay Duration calcola la media ponderata dei tempi di ricezione dei flussi di cassa, con pesi determinati dal valore attuale di ciascun flusso rispetto al prezzo totale dell’obbligazione.

$D_M = \sum_{t=1}^{n} \frac{t \times CF_t / (1+y)^t}{P}$

Dove:

• $t$ = tempo alla ricezione del flusso di cassa
• $CF_t$ = flusso di cassa al tempo $t$
• $y$ = tasso di rendimento a scadenza (yield to maturity) o tasso di sconto
• $P$ = prezzo attuale dell’obbligazione (valore attuale di tutti i flussi di cassa)

Formula della Modified Duration ($D_M^*$)

La Modified Duration deriva dalla Macaulay Duration ed è ampiamente utilizzata per stimare la variazione percentuale del prezzo di un’obbligazione a fronte di una variazione del tasso di interesse.

$D_M^* = \frac{D_M}{1+y}$

La variazione percentuale del prezzo ($\Delta P / P$) può essere approssimata come:

$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_M^* \times \Delta y$

Dove:

• $\Delta y$ = variazione del tasso di interesse (in decimale)

La Convexity: La Curvatura della Relazione Prezzo-Rendimento

La duration offre una buona approssimazione per piccole variazioni dei tassi, ma la relazione tra prezzo di un’obbligazione e tassi di interesse non è lineare, bensì convessa.

Ciò significa che la duration tende a sottostimare i guadagni di prezzo quando i tassi scendono e a sovrastimare le perdite di prezzo quando i tassi salgono. La convexity interviene per correggere questo errore.

La convexity misura la curvatura di questa relazione prezzo-rendimento. Un’obbligazione con una maggiore convexity è più desiderabile: beneficerà di più da un calo dei tassi e sarà meno penalizzata da un aumento dei tassi, a parità di duration. Essa rappresenta un beneficio aggiuntivo in termini di rischio/rendimento.

Formula della Convexity ($C$)

La formula della convexity è la seguente:

$C = \frac{1}{P \times (1+y)^2} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \times (t+1) \times CF_t}{(1+y)^t}$

La variazione percentuale del prezzo, che include l’effetto della convexity, è più precisa:

$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_M^* \times \Delta y + \frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2$

Esempio Pratico: Calcolo per un Titolo Semplice

Consideriamo un titolo (o un investimento) con i seguenti flussi di cassa e un tasso di sconto ($y$) del 5% (0.05):

• Flusso di cassa al tempo $t=1$: $CF_1 = 100$
• Flusso di cassa al tempo $t=2$: $CF_2 = 200$
• Flusso di cassa al tempo $t=5$: $CF_5 = 300$

1. Calcolo del Valore Attuale ($P$)

Il valore attuale (prezzo) è la somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa:

$P = \frac{100}{(1+0.05)^1} + \frac{200}{(1+0.05)^2} + \frac{300}{(1+0.05)^5}$
$P = 95.2381 + 181.4966 + 235.0506 = 511.7853$

Valore Attuale ($P$) = 511.7853

2. Calcolo della Macaulay Duration ($D_M$)

Calcoliamo il contributo di ogni flusso di cassa alla duration:

$D_M = \frac{1 \times 95.2381}{511.7853} + \frac{2 \times 181.4966}{511.7853} + \frac{5 \times 235.0506}{511.7853}$
$D_M = 0.1861 + 0.7092 + 2.2965 = 3.1918$

Macaulay Duration ($D_M$) = 3.1918 anni

3. Calcolo della Duration Modificata ($D_M^*$)

$D_M^* = \frac{3.1918}{1+0.05} = 3.0398$

Modified Duration ($D_M^*$) = 3.0398

4. Calcolo della Convexity ($C$)

Calcoliamo i termini per la sommatoria della convexity:

$C = \frac{1}{511.7853 \times (1.05)^2} \left( \frac{1 \times (1+1) \times 100}{(1.05)^1} + \frac{2 \times (2+1) \times 200}{(1.05)^2} + \frac{5 \times (5+1) \times 300}{(1.05)^5} \right)$
$C = \frac{1}{564.296} (190.4762 + 1088.4363 + 7051.7846)$
$C = \frac{1}{564.296} (8330.6971) = 14.7577$

Convexity ($C$) = 14.7577

Stima della Variazione del Prezzo con Variazione del Tasso del +2%

Assumiamo una variazione del tasso di interesse ($\Delta y$) del +2% (0.02 in forma decimale).

1. Variazione del Prezzo Stimata Usando la Sola Duration Modificata

La variazione percentuale del prezzo è:

$\frac{\Delta P}{P_0} \approx -D_M^* \times \Delta y$
$\frac{\Delta P}{511.7853} \approx -3.0398 \times 0.02 = -0.060796$

La variazione assoluta del prezzo è:

$\Delta P \approx -0.060796 \times 511.7853 = -31.1098$

Il nuovo prezzo stimato con sola duration è:

$P_{stimato} = 511.7853 – 31.1098 = 480.6755$

2. Variazione del Prezzo Stimata Usando Duration e Convexity

La variazione percentuale del prezzo è:

$\frac{\Delta P}{P_0} \approx -D_M^* \times \Delta y + \frac{1}{2} \times C \times (\Delta y)^2$
$\frac{\Delta P}{511.7853} \approx (-3.0398 \times 0.02) + \frac{1}{2} \times 14.7577 \times (0.02)^2$
$\frac{\Delta P}{511.7853} \approx -0.060796 + 0.00295154 = -0.05784446$

La variazione assoluta del prezzo è:

$\Delta P \approx -0.05784446 \times 511.7853 = -29.6240$

Il nuovo prezzo stimato con duration e convexity è:

$P_{stimato} = 511.7853 – 29.6240 = 482.1613$

Confronto: L’approssimazione con la sola duration ha stimato un prezzo di 480.6755, mentre l’approssimazione più precisa con la convexity ha dato 482.1613. La convexity ha corretto la stima della perdita di prezzo, attenuandola, il che è tipico quando i tassi aumentano.

Duration di un Portafoglio: Replicazione di un Titolo

La duration di un portafoglio è la media ponderata delle duration dei singoli titoli che lo compongono, dove i pesi sono dati dal valore attuale di ciascun titolo all’interno del portafoglio.

L’obiettivo è replicare le caratteristiche (Valore Attuale e Duration) di un Titolo Target utilizzando una combinazione di altri titoli.

Dati:

• Titolo 1: Valore Attuale per unità ($P_1$) = 100, Duration ($D_1$) = 2
• Titolo 2: Valore Attuale per unità ($P_2$) = 200, Duration ($D_2$) = 5
• Titolo Target: Valore Attuale totale ($P_{Target}$) = 500, Duration ($D_{Target}$) = 3

Variabili:

• $\alpha$ = Numero di unità del Titolo 1 da acquistare
• $\beta$ = Numero di unità del Titolo 2 da acquistare

Impostazione del Sistema di Equazioni:

1. Equazione del Valore Attuale Totale:
   $$100\alpha + 200\beta = 500$$
2. Equazione della Duration Ponderata:
   $$(100\alpha \times 2) + (200\beta \times 5) = 500 \times 3$$ $$200\alpha + 1000\beta = 1500$$

Valori Finali di $\alpha$ e $\beta$:

Risolvendo il sistema di equazioni, si ottengono i seguenti valori:

• Numero di unità del Titolo 1 ($\alpha$): $\frac{10}{3} \approx 3.33$ unità
• Numero di unità del Titolo 2 ($\beta$): $\frac{5}{6} \approx 0.83$ unità

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