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funzione potenza, immagine introduttiva

La funzione potenza è una funzione che associa ad ogni numero reale una sua potenza di ordine n con n numero naturale.

Si presenta nella forma:

Si tratta di una potenza con base un numero reale x e per esponente un numero naturale n.

Possiamo distinguere due tipi principali di funzione potenza in base all’esponente n pari o dispari.

Quando è pari la funzione assume le sembianze di una parabola.

Esempi di funzioni potenza con esponente pari sono:

Mentre quando n è dispari l’aspetto è quello di una funzione cubica.

Esempi di funzioni potenza con esponente dispari sono:

funzione potenza, il caso n pari e n dispari, visualizzazione grafica

Andiamo a vedere meglio come costruire queste funzioni.

FUNZIONE POTENZA CON ESPONENTE PARI

Andiamo ora a costruire una funzione potenza con esponente pari.

Prendiamo una potenza con un esponente pari particolarmente semplice, il 2.

Questa è una funzione quadrato o parabola nella sua forma canonica.

Ora andiamo a costruire una tabella a due colonne, dove nella prima colonna mettiamo i numeri x e sulla seconda i loro quadrati.

funzione potenza, tabella dei numeri e dei quadrati

Come possiamo facilmente notare il quadrato di quantità positive e negative ha sempre valore positivo!

Solamente il quadrato di zero vale zero.

Ora andiamo ad associare a questo valori un grafico cartesiano dove possiamo rappresentare la nostra funzione quadrato:

In particolare sull’asse x mettiamo i valori delle basi, mentre sull’asse y delle y i valori delle potenze.

funzione potenza, rappresentazione grafica della funzione quadrato di x

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Come si può facilmente notare si tratta di una parabola simmetrica all’asse y.

La seconda cosa che notiamo  immediatamente è che la funzione passa per l’origine.

Questo significa che il quadrato di zero vale zero.

Da ultimo possiamo vedere che la funzione non va mai al di sotto dell’asse delle x.

Il significato è che un quadrato assume sempre valori non negativi nel campo dei numeri reali.

Ora che sappiamo come si costruisce e si visualizza una potenza con esponente  2, possiamo fare la stessa cosa per le potenze con esponente pari (2,4,6,8, …) 

Rappresentiamo ad esempio le funzioni potenza:

Riportiamo dapprima i valori della tabella

funzione potenza, tabella dei valori con potenze di numeri con esponente pari

Osserviamo subito che quando l’esponente pari diventa maggiore i valori delle potenze diventano molto alti quando la base aumentare.

Come evidenziato in figura vediamo che:

Graficamente vediamo che le funzioni con potenza maggiore sono più strette.

In termini di infinito diciamo che si trovano più in alto sulla scala degli infiniti.

funzione potenza, immagine grafica di potenza con esponenti pari. Confronto sulla scala degli infiniti

Quello che risulta un po’ meno chiaro da grafico è che tutte queste funzioni passante per tre punti.

Il primo punto è certamente l’origine (0,0), infatti:

Successivamente abbiamo il punto di coordinate (1,1) e questo perché se eleviamo 1 ad un qualsiasi esponente pari il risulto è 1.

Possiamo dire il quadrato di 1 vale 1.

Il terzo è il punto (-1;1) e questo perché se calcoliamo il quadrato di -1 otteniamo +1.

Segnaliamo inoltre che nell’intervallo (–1, +1) si trovano più in alto le potenze con esponente minore.

funzione potenza, quando l'esponente è pari , nell'intervallo da -1 a +1 prevalgono le potenze con esponente minore

FUNZIONE POTENZA CON ESPONENTE DISPARI

In modo analogo possiamo costruire la funzione potenza con esponente dispari.

Il caso certamente più significativo di questo tipo di questa tipologia di funzione è la funzione cubica o cubo di x.

Sotto ripetiamo la tabella con la relativa rappresentazione grafica

funzione potenza,, tavola e immagine cartesiana della funzione cubo di x

Anche in questo caso osserviamo il passaggio della funzione cubica per l’origine (0,0) del sistema cartesiano.

Questo significa che il cubo di zero vale zero.

Diversamente dal quadrato la funzione è negativa (sotto l’asse x)  quando la base x è negativa.

CARATTERISTICHE DELLA FUZIONE POTENZA

Andiamo ora ad elencare le caratteristiche generali valide per lo studio di funzione della funzione potenza

Tali caratteristiche sono:

  • Dominio 
  • Codominio 
  • Intersezioni con gli assi
  • Segno o positività
  • Limiti 
  • Derivata prima, crescenza e punti stazionari
  • Derivata seconda, concavità e flessi

DOMINIO DELLA FUNZIONE POTENZA

Il dominio della funzione potenza è R

CODOMINIO DELLA FUNZIONE POTENZA

Il codominio è R+ quando l’esponente è pari, mentre è R se l’esponente è dispari.

INTERSEZIONI

La funzione potenza interseca gli assi nell’origine (0,0)

Ciò significa in maniera biunivoca che:

  •  la potenza di zero vale zero e d’altro canto 
  • una potenza può valere zero se la sua base vale 

SEGNO O POSITIVITÀ DELLA FUNZIONE POTENZA

Quando l’esponente è pari la funzione risulta sempre positiva meno che nell’origine dove vale zero

Quando l’esponente è negativo il segno della funzione è identico al segno della base x.

Possiamo anche dire che presenta lo stesso segno della funzione segno di x:

LIMITI DELLA FUNZIONE POTENZA

Passiamo ora ai limiti della funzione potenza:

Siccome il dominio della funzione è:

Studiamo il limiti agli estremi del dominio ovvero verso gli infiniti.

Per quanto riguarda la funzione potenza con esponente pari (quadrato) entrambi i limiti per x che tende a più o meno infinito danno più infinito:

Mentre quando l’esponente è dispari il segno dell’infinito segue il segno della base x.

Riassumendo possiamo scrivere:

DERIVATA PRIMA, PUNTI STAZIONARI E CRESCENZA

La derivata prima della funzione potenza 

Si ricava con la regola di derivazione propria della potenza, ovvero spostiamo davanti l’esponente e diminuiamo l’esponente di una unità:

Il punto stazionario è di ascissa nulla e cade perciò nell’origine.

Qui la retta tangente ha equazione:

Tuttavia per quanto riguarda la crescenza, dove dobbiamo studiare il segno della derivata prima abbiamo un comportamento diverso in base all’esponente.

Quando l’esponente è pari la funzione è decrescente in (-∞, 0) e crescente in (0, +∞)

Quando l’esponente è dispari invece la funzione è sempre crescente in R\{0}

EQUAZIONI CON LE FUNZIONI POTENZA

L’equazione base che ha per oggetto la funzione potenza è:

Il numero delle soluzioni dipende dalla costante reale k quando l’esponente n è pari.

Mentre rimane pari a una soluzione quando n è dispari.

In particolare possiamo riassumere le soluzione a questa tipologia di equazioni con questo schema:

Dal punto di vista grafico significa eguagliare le funzioni:

funzione potenza, equazioni del tipo potenza di x uguale a costante, rappresentate graficamente

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EQUAZIONI CON POTENZE AD ESPONENTE PARI

Consideriamo nelle equazioni del tipo:

Nel caso in cui l’esponente n è un numero pari la regola è:

COSTANTE POSITIVA

Quando la costante k è positiva esistono due soluzioni uguali e opposte di valore pari alla radice n-esima della cosante.

Per esempio:

Questo vale in generale per tutte le radici pari e per tutte le costanti positive:

COSTANTE NULLA

Quando la costante k è nulla la soluzione della base x è sempre unica e pari a zero:

Questo significa che una potenza vale zero quando la base di questa potenza vale zero.

COSTANTE NEGATIVA

Quando la costante è negativa l’equazione risulta impossibile nei numeri reali:

Questo avviene perché un numero elevato al quadrato è sempre positivo o nullo.

EQUAZIONI CON POTENZE AD ESPONENTE PARI

Quando l’esponente n nell’equazione base con potenza

È un numero dispari non ci sono problemi perché esiste sempre una soluzione pari alla radice ennesima del numero.

Ne sono alcuni esempi:

FUNZIONE INVERSA DELLA FUNZIONE POTENZA

La funzione inversa della funzione potenza

 è la funzione radice ennesima

Ricordiamo che dal punto di vista grafico la funzione inversa risulta simmetrica alla funzione di partenza rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero alla retta:

Chiaramente questa simmetria può avvenire solamente nei tratti in cui la funzione risulta invertibile.

Ad esempio per quanto riguarda la radice quadrata (inversa della potenza con esponente pari) tale simmetria si verifica solo nei reali positivi.

Nel grafico sottostante rappresentiamo le funzioni quadrato e radice quadrata:

funzione potenza, la funzione inversa del quadrato è la radice quadrata. 
Possiamo vedere nel primo quadrate la simmetria tra la parabola e la funzione radice quadrata di x

Quando l’esponente (o indice) è dispari allora non ci sono problemi perché la funzione è invertibile in tutto R.

Riportiamo nel grafico  l’esempio più significativo di questa casistica ovvero la radice cubica:

Che è inversa alla funzione cubica o potenza di ordine 3:

funzione potenza, la funzione inversa del cubo di x è la radice cubica di x.
Possiamo vedere la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante y=x su tutto R

FUNZIONE POTENZA IN SENSO ALLARGATO

Le funzioni potenze e le loro inverse funzioni radici possono essere assimilati ad un’unica grande famiglia  di funzioni quella delle potenze in senso allargato.

L’equazione cartesiana può essere riassunta così:

Fanno parte di questa famiglia tutte le funzioni potenza:

(Queste hanno l’esponente intero naturale).

Le funzioni radici:

(sono potenze con esponente frazionario e numeratore unitario)

In generale ci sono tutte quelle funzioni con esponente frazionario positivo:

O anche con esponente irrazionale, come ad esempio:

L’unico limite grafico è quello che possiamo vedere contemporaneamente queste funzioni nel primo quadrante

funzione potenza in senso allargato. la vediamo quando l'esponente è un numero reale positivo.
Possiamo confrontare l'andamento delle funzioni sulla base dell'andamento crescente dell'esponente.

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3 Comments

  • Mauro ha detto:

    Ciao, complimenti per il lavoro, mi sembra tutto molto ben fatto.
    Ho un dubbio per tutto quanto esposto sopra. Nella esposizione sui casi possibili di X^n , non manca il caso n=0 ? Non lo consideriamo a prescindere ? Consideriamo N privo dello zero ?

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