TEOREMA DI ROUCHE’-CAPELLI
Il Teorema di Rouchè-Capelli asserisce che un sistema lineare in cui il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa di sistema coincidono il sistema ammette soluzioni.
EUGENE ROUCHE’ E ALFREDO CAPELLI
CONCETTI PRELIMINARI
Prima di passare all’enunciato e alla dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli, vediamo insieme quali sono alcuni dei concetti fondamentali sui quali si fonda.
Ovviamente se queste cose vi sono già chiare vi consiglio di scorrere più in basso per vedere cosa dice il teorema.
Tra i concetti fondamentali ricordiamo:
- Sistema lineare
- Forma matriciale di un sistema lineare
- Lettura per colonne di un sistema lineare
- Matrice completa di sistema
SISTEMA LINEARE
Consideriamo un sistema lineare con m equazioni in n incognite.
Potremo scrivere questo sistema in questo modo.
m equazioni
n incognite
Se notate bene ogni coefficiente aij ha due indici:
i: identifica l’equazione di riferimento, l’i-esima equazione
j: identifica l’incognita di riferimento
Ad esempio il coefficiente a12 si riferisce nella prima equazione al numero che accompagna la seconda incognita.
FORMA MATRICIALE A X = B
Nell’algebra lineare il sistema può essere scritto nella forma matriciale AX=B, dove:
A è la matrice dei coefficienti aij
X è il vettore delle incognite con n componenti. In esso le n componenti sono le n incognite del sistema lineare.
B è il vettore dei termini noti. Ci sono m termini boti tante quante sono le equazioni del sistema lineare.
Nella Scrittura AX=B stiamo moltiplicando la matrice A (mxn) con m righe e n colonne, per il vettore colonna delle incognite X (nx1), con n componenti.
Il prodotto è fattibile in quanto il numero di colonne della prima matrice A è uguale al numero di righe del vettore
Il risultato della moltiplicazione ci restituisce il vettore dei termini noti B, che ha lo stesso numero di righe (m) della matrice A e lo stesso numero colonne (1) del vettore X.
Quando facciamo il prodotto AX moltiplichiamo ogni riga della matrice A, per la colonna del vettore X.
In questo modo otteniamo le equazioni del sistema lineare.
Ad esempio se moltiplichiamo la prima riga della matrice A per il vettore X otteniamo la prima equazione:
a11*x1 + a12*x2+ … +a1n*xn = b1
Dove b1 rappresenta la prima componente del vettore B
LETTURA PER COLONNE
Un altro modo interessante per poter leggere il sistema lineare è quello di vederlo per colonne.
Come si può notare dalla scrittura del sistema lineare tutti i coefficienti all’interno della prima colonna verde moltiplicano la prima incognita x1, cioè la prima componente del vettore incognito.
Tutti i coefficienti presenti nella seconda colonna moltiplicano x2, ovvero la seconda incognita, seconda componente del vettore incognito e così via.
Possiamo vedere dunque il sistema lineare come una combinazione lineare di colonne, con x1, x2, …, xn, che sono i coefficienti di tale combinazione lineare.
Il risultato di tale combinazione lineare da origine al vettore B dei termini noti
In questo senso possiamo vedere il vettore dei termini noti come una combinazione lineare delle n colonne della matrice A
MATRICE COMPLETA DI SISTEMA A|B
Se affianchiamo alla matrice dei coefficienti il vettore dei termini noti, otteniamo quella che viene chiamata la matrice completa di sistema.
Questa scrittura si legge A orlato (o accostato o affiancato) B, poiché il vettore B fa da “orlo”, o viene accostato o affiancato alla matrice A dei coefficienti
SCHEMA GENERALE DEL TEOREMA
Fino ad ora quando abbiamo visto gli esercizi di applicazione del Teorema di Rouché-Capelli abbiamo dato per scontato il seguente schema.
Esso ci dice che quando abbiamo un sistema lineare del tipo AX=B l’esistenza delle soluzioni dipende dai ranghi della matrice dei coefficienti A e dalla matrice completa di sistema A|B.
Ricordiamo al tal proposito che il rango in una matrice di qualsiasi ordine è il numero di righe che sono linearmente indipendenti, che coincide con il numero di colonne linearmente indipendenti.
In particolare abbiamo che:
- Se il rango della matrice A è uguale al rango della matrice A|B allora il sistema è consistente, ovvero ammette soluzioni
- Se il rango della matrice A è diverso dal rango della matrice A|B il sistema è inconsistente e dunque impossibile
Qualora ci troviamo nella prima situazione, ovvero nell’esistenza di soluzioni dobbiamo distinguere due ulteriori casi:
- Il Rango di sistema (R(A)=R(A|B)) coincide con il numero delle incognite n
- Il Rango di sistema è inferiore a n
Nel primo caso il vettore soluzione X è unico, quindi il sistema è determinato
Nel secondo caso avremo infinite soluzioni e il sistema è indeterminato.
In particolare avremo infinito elevato alla n-rango soluzioni, dove n-rango indica il numero di incognite libere del sistema.
Ciò che abbiamo detto è riassunto nel seguente schema:
In particolare, andremo a dimostrare che se i ranghi della matrice A dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa A|B allora il sistema ammette soluzioni.
TEOREMA DI ROUCHE CAPELLI
Sia AX = B un sistema lineare con m equazioni in n incognite, con
A matrice dei coefficienti m*n
X vettore incognito di n componenti
B vettore dei termini noti di m componenti
A|B matrice completa di sistema m*(n+1)
- Se il rango di A è uguale A|B allora allora il sistema lineare ammette soluzione
- Se il sistema lineare ammette soluzioni il rango di A è uguale al rango di A|B.
DIMOSTRAZIONE 1
IPOTESI
Sia AX = B un sistema lineare con m equazioni in n incognite, con
A matrice dei coefficienti m*n
X vettore incognito di n componenti
B vettore dei termini noti di m componenti
A|B matrice completa di sistema m*(n+1)
Rango(A) = Rango(A|B)
TESI
Il sistema lineare ammette soluzioni
DIMOSTRAZIONE
Sappiamo per ipotesi che:
Questo significa che il nero di vettori r (=rango) colonna linearmente indipendenti della matrice A coincidono con il numero di vettori linearmente indipendenti presenti nella matrice A|B
Nella matrice A tutte le n colonne possono essere viste come combinazione lineare delle r colonne lin. Indipendenti.
Nella matrice A|B tutte le n+1 colonne possono essere scritte come combinazione lineari delle r colonne lin. Indipendenti.
Dunque il vettore noto B può essere scritto come combinazione lineare delle r colonne indipendenti in A.
Quindi il vettore B può essere scritto come combinazione lineare di tutte le colonne di A.
Esiste perciò una ennupla di coefficienti lambda1, lambda2, …, lambdan, tale per cui.
Ricordando che il sistema lineare può essere scritto come:
La ennupla dei lambda deve per forza coincidere con una delle possibili soluzioni
Quindi il sistema deve ammettere per forza soluzioni!
DIMOSTRAZIONE 2
IPOTESI
Sia AX = B un sistema lineare con m equazioni in n incognite, con
A matrice dei coefficienti m*n
X vettore incognito di n componenti
B vettore dei termini noti di m componenti
A|B matrice completa di sistema m*(n+1)
Il sistema ammette soluzioni
TESI
Il rango della matrice A coincide con il rango della matrice A|B
DIMOSTRAZIONE
Ricordiamo che il sistema lineare AX = B, può essere visto nel seguente modo:
Se per ipotesi il sistema lineare ammette soluzioni, questo significa che il vettore B può essere cisto come una combinazione lineare delle n colonne di A.
Dunque il rango di A coincide con il rango di A|B.
Il vettore B è combinazione lineare delle n colonne di A.
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