In questa lezione vediamo cosa sono i polinomi di Chebyshev.
Esiste un legame profondo tra la trigonometria e i polinomi.
Sappiamo che $\cos(2x)$ può essere scritto usando solo potenze di $\cos x$:
$$\cos(2x) = 2\cos^2 x – 1$$
E per $\cos(3x)$?
$$\cos(3x) = 4\cos^3 x – 3\cos x$$
Possiamo generalizzare? Sì. I Polinomi di Chebyshev (di prima specie), indicati con $T_n(t)$, sono quei polinomi unici tali che:
$$T_n(\cos x) = \cos(nx)$$
Costruzione con De Moivre
Questi polinomi nascono direttamente dalla Formula di De Moivre.
Sappiamo che:
$$\cos(nx) + i\sin(nx) = (\cos x + i\sin x)^n$$
Se sviluppiamo il binomio a destra e prendiamo solo la Parte Reale, otteniamo una formula per $\cos(nx)$ che dipende solo da potenze di $\cos x$ e $\sin^2 x$ (che convertiamo in $1-\cos^2 x$).
La Definizione Ricorsiva
Per evitare calcoli lunghi, gli ingegneri usano la relazione ricorsiva:
- $T_0(t) = 1$
- $T_1(t) = t$
- $T_{n+1}(t) = 2t T_n(t) – T_{n-1}(t)$
Esempio $n=2$:
$T_2(t) = 2t(t) – 1 = 2t^2 – 1$.
Sostituendo $t = \cos x$, ritroviamo $\cos(2x) = 2\cos^2 x – 1$.
Questi polinomi sono fondamentali nell’analisi numerica per approssimare funzioni complesse con il minimo errore possibile (migliori delle serie di Taylor in certi intervalli).