Dopo aver imparato a sommare, moltiplicare, elevare a potenza ed estrarre radici, siamo pronti per la sfida finale: trovare l’incognita $z$.
Risolvere equazioni nel campo complesso è molto più soddisfacente che nel campo reale. Perché? Perché grazie al Teorema Fondamentale dell’Algebra, siamo certi che un polinomio di grado $n$ avrà sempre esattamente $n$ soluzioni (contate con la loro molteplicità). Non esistono più “impossibili” o “nessuna soluzione reale”. Tutto si risolve.
Tuttavia, non tutte le equazioni sono uguali. Dobbiamo distinguere due grandi famiglie che richiedono strategie opposte.
INDICE
1. Equazioni Algebriche (Solo potenze di $z$)
Sono quelle in cui l’incognita appare solo come $z, z^2, z^3 \dots$ e non compaiono né moduli ($|z|$) né coniugati ($\bar{z}$).
Esempio: $z^3 + 2z^2 + z = 0$.
Strategia: Si risolvono esattamente come le equazioni reali, usando raccoglimenti, prodotti notevoli e la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. L’unica differenza è che se il $\Delta$ è negativo, non ci fermiamo!
Esempio Svolto:
$$z^2 – 2z + 5 = 0$$
- Calcoliamo il discriminante ridotto ($\Delta/4$):$$(\frac{b}{2})^2 – ac = (-1)^2 – (1)(5) = 1 – 5 = -4$$
- Nel campo reale ci fermeremmo. Nel campo complesso sappiamo che $\sqrt{-4} = \pm 2i$.
- Applichiamo la formula:$$z_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{\Delta/4}}{a} = \frac{1 \pm 2i}{1}$$
- Soluzioni: $z_1 = 1 + 2i, \quad z_2 = 1 – 2i$.
Nota: Se l’equazione è binomia pura, come $z^n = w$, si usa direttamente la formula delle radici n-esime.
2. Equazioni Non Algebriche (Con Moduli e Coniugati)
Queste sono le più temute dagli studenti. Se nell’equazione compaiono $|z|$ o $\bar{z}$, le regole dell’algebra classica saltano. Non puoi usare la formula del delta su $|z|^2 + z = 1$.
Strategia (“L’Arma Fine di Mondo”):
Dobbiamo smontare il numero complesso.
Sostituiamo $z = x + iy$ (e quindi $\bar{z} = x – iy$, $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$).
In questo modo trasformiamo un’equazione complessa in un sistema di due equazioni reali (una per la parte Reale, una per la parte Immaginaria).
Esempio Svolto:
$$|z| + z = 2 + i$$
Passo 1: Sostituzione
$$\sqrt{x^2+y^2} + (x + iy) = 2 + i$$
Passo 2: Separazione Reale/Immaginaria
Raggruppiamo i termini a sinistra:
$$(\sqrt{x^2+y^2} + x) + i(y) = 2 + i$$
Passo 3: Creazione del Sistema
Affinché due numeri complessi siano uguali, devono avere uguale parte reale e uguale parte immaginaria.
$$\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2} + x = 2 \quad (\text{Parte Reale}) \\ y = 1 \quad (\text{Parte Immaginaria}) \end{cases}$$
Passo 4: Risoluzione
La seconda equazione ci regala subito $y=1$. Sostituiamo nella prima:
$$\sqrt{x^2+1} + x = 2$$
$$\sqrt{x^2+1} = 2 – x$$
Eleviamo al quadrato (imponendo la condizione di esistenza $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$):
$$x^2 + 1 = 4 – 4x + x^2$$
Semplifichiamo $x^2$:
$$1 = 4 – 4x \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$$
Il valore $3/4$ è minore di 2, quindi è accettabile.
Soluzione: $z = \frac{3}{4} + i$.
3. Sistemi di Equazioni Complesse
I sistemi lineari (es. due equazioni in due incognite $z$ e $w$) si risolvono con i metodi classici: Sostituzione o Cramer.
L’unica accortezza è che i coefficienti sono numeri complessi, quindi i calcoli saranno un po’ più lunghi.
Consiglio: Se il sistema coinvolge coniugati ($\bar{z}$), non usare Cramer. Passa subito alla sostituzione $z=x+iy$.
Trafiletto Storico
Il Teorema Fondamentale dell’Algebra, che garantisce l’esistenza delle soluzioni, fu intuito nel XVII secolo ma dimostrato rigorosamente per la prima volta da Carl Friedrich Gauss nel 1799, nella sua tesi di dottorato. Gauss trovò la dimostrazione così importante che ne fornì altre tre diverse nel corso della sua vita, l’ultima delle quali nel 1849, a 72 anni, usando proprio i numeri complessi (mentre le prime erano più topologiche/reali).
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