In questo articolo vediamo come si calcolano le radici n-esime dei numeri complessi.
Nel precedente articolo abbiamo imparato a calcolare le potenze dei numeri complessi con una facilità disarmante grazie alla formula di De Moivre. Ma in matematica, ogni operazione ha la sua inversa. Se sappiamo elevare alla $n$, dobbiamo saper fare la radice $n$-esima.
Qui ci aspetta una sorpresa fondamentale che distingue i numeri Reali dai Complessi.
In $\mathbb{R}$, la radice quadrata di 4 è 2 (o $\pm 2$ se risolviamo $x^2=4$). La radice cubica di 8 è solo 2.
In $\mathbb{C}$, invece, un numero complesso ha sempre esattamente $n$ radici $n$-esime diverse.
Questo significa che la radice cubica di 1 non è solo 1, ma ci sono tre soluzioni. La radice quarta ne ha quattro, e così via.
La Formula delle Radici n-esime
Per calcolare le radici, dobbiamo assolutamente usare la forma trigonometrica (o esponenziale). La forma algebrica qui è inutile.
Sia $z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)$ un numero complesso.
Le sue $n$ radici $n$-esime, che chiameremo $w_k$, sono date dalla seguente formula:
$$w_k = \sqrt[n]{\rho} \left[ \cos \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right]$$
Dove $k$ è un numero intero che varia da $0$ a $n-1$ (quindi $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$).
Analizziamo la formula:
- Il Modulo: Tutte le radici hanno lo stesso modulo, che è la radice $n$-esima aritmetica del modulo originale ($\sqrt[n]{\rho}$).
- L’Argomento: L’angolo viene diviso per $n$ ($\frac{\theta}{n}$), ma ad esso si aggiungono dei “giri” parziali ($\frac{2k\pi}{n}$).
Interpretazione Geometrica: Il Poligono Regolare
Questa è la parte più affascinante. Poiché tutte le radici hanno lo stesso modulo, si trovano tutte sulla stessa circonferenza di raggio $R = \sqrt[n]{\rho}$.
Inoltre, gli angoli delle radici sono equispaziati: ogni radice dista dalla successiva un angolo fisso di $\frac{360^\circ}{n}$ (o $\frac{2\pi}{n}$).
Risultato: Le $n$ radici $n$-esime di un numero complesso sono i vertici di un poligono regolare con $n$ lati inscritto nella circonferenza.
- Le radici cubiche formano un triangolo equilatero.
- Le radici quarte formano un quadrato.
- Le radici quinte un pentagono regolare, e così via.
Esempio Svolto: Le Radici Cubiche di -8
Calcoliamo le radici cubiche di $z = -8$.
Passo 1: Scrittura in forma trigonometrica
- Modulo: $\rho = 8$.
- Argomento: Il numero -8 sta sull’asse reale negativo, quindi $\theta = \pi$ ($180^\circ$).
- $z = 8 (\cos \pi + i \sin \pi)$.
Passo 2: Applicazione della formula ($n=3$)
Il modulo delle radici sarà $\sqrt[3]{8} = 2$.
Gli argomenti saranno $\frac{\pi + 2k\pi}{3}$ per $k=0, 1, 2$.
- Per $k=0$:Argomento: $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$).$w_0 = 2 (\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) = 2 (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.
- Per $k=1$:Argomento: $\frac{\pi + 2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$ ($180^\circ$).$w_1 = 2 (\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ) = 2 (-1 + 0) = -2$.(Questa è l’unica radice reale che conoscevamo già!).
- Per $k=2$:Argomento: $\frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ ($300^\circ$).$w_2 = 2 (\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ) = 2 (\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 – i\sqrt{3}$.
Se disegniamo questi tre punti ($w_0, w_1, w_2$) sul piano di Gauss, vedremo che formano un perfetto triangolo equilatero.
Le Radici dell’Unità
Un caso speciale fondamentale sono le radici $n$-esime del numero 1.
Essendo il modulo 1 e l’angolo 0, la formula si semplifica molto. Le radici dell’unità si dispongono sulla circonferenza goniometrica unitaria, partendo sempre dal punto $(1, 0)$. Sono fondamentali nella teoria dei numeri e nella trasformata di Fourier discreta (FFT).
Trafiletto Storico
La scoperta geometrica delle radici complesse si deve in gran parte a Carl Friedrich Gauss. Nel 1796, a soli 19 anni, Gauss dimostrò che era possibile costruire con riga e compasso un eptadecagono (poligono regolare di 17 lati). Come fece? Non disegnando, ma risolvendo l’equazione $z^{17} = 1$ e analizzando le proprietà algebriche delle sue radici. Fu così orgoglioso di questa scoperta che chiese di avere un poligono di 17 lati scolpito sulla sua lapide.