La Dimostrazione della Formula di Eulero (tramite Serie di Taylor)

Nell’articolo precedente abbiamo introdotto la Formula di Eulero:

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

Abbiamo visto quanto sia potente e “bella”, ma non abbiamo spiegato perché funziona. È una magia? No, è Analisi Matematica pura.

Per dimostrarla, dobbiamo usare uno strumento che abbiamo studiato nella sezione sulle serie: gli Sviluppi in Serie di Taylor (o Maclaurin).

Questa dimostrazione è una delle più eleganti di tutta la matematica perché svela una connessione nascosta tra funzioni che sembrano non avere nulla in comune: l’esponenziale (crescita) e le funzioni goniometriche (oscillazione).

Gli Ingredienti: I Tre Sviluppi Fondamentali

Ricordiamo gli sviluppi in serie di potenze centrati in $x=0$ per le tre funzioni protagoniste.

1. Esponenziale ($e^x$):$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$
   
2. Coseno ($\cos x$): (Solo potenze pari, segni alterni)$$\cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
   
3. Seno ($\sin x$): (Solo potenze dispari, segni alterni)$$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

La Dimostrazione Passo dopo Passo

L’idea geniale è prendere lo sviluppo dell’esponenziale $e^x$ e sostituire alla $x$ il numero immaginario $i\theta$.

Passo 1: Sostituzione

$$e^{i\theta} = 1 + (i\theta) + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \dots$$

Passo 2: Calcolo delle potenze di $i$

Qui sta il trucco. L’unità immaginaria $i$ ha un comportamento ciclico quando elevata a potenza:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
• $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$
• $i^5 = i$ … e il ciclo ricomincia.

Sostituiamo questi valori nella serie:

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta – \frac{\theta^2}{2!} – i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} – \dots$$

Passo 3: Separazione Reale e Immaginaria

Raggruppiamo i termini che non contengono la $i$ (parte reale) e quelli che contengono la $i$ (parte immaginaria):

Parte Reale:

$$\left( 1 – \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} – \dots \right)$$

Parte Immaginaria (raccogliendo la $i$):

$$+ i \left( \theta – \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} – \dots \right)$$

Passo 4: Riconoscimento

Guardiamo bene le parentesi.

• La prima parentesi è esattamente lo sviluppo di $\cos \theta$.
• La seconda parentesi è esattamente lo sviluppo di $\sin \theta$.

Quindi:

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare).

Cosa ci insegna questa dimostrazione?

Questa prova non è solo un esercizio di stile. Ci dimostra che nel campo complesso, l’esponenziale e le funzioni trigonometriche sono la stessa cosa.

Quando l’esponente è reale, $e^x$ cresce o decresce.

Quando l’esponente è immaginario, $e^{ix}$ ruota.

Questa intuizione è alla base della trasformata di Fourier e di tutta l’analisi dei segnali.

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Trafiletto Storico

Sebbene la formula porti il nome di Eulero, la prima apparizione di una relazione simile si deve all’inglese Roger Cotes nel 1714. Cotes però scrisse la formula usando i logaritmi ($\ln(\cos x + i \sin x) = ix$) e perse l’occasione di vedere la connessione esponenziale diretta. Fu Eulero nel 1748, nella sua opera monumentale Introductio in analysin infinitorum, a fissare la notazione standard e a renderla celebre.

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