Finora abbiamo esplorato tecniche per serie a termini positivi o per serie che, grazie al Criterio del Valore Assoluto, possono essere trattate come tali. Ma cosa accade quando una serie cambia segno regolarmente, alternando un termine positivo e uno negativo, e non converge assolutamente?
Siamo nel territorio delle serie a termini alterni (o a segni alterni), riconoscibili dalla presenza del fattore $(-1)^n$.
La forma tipica è:
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$$
dove la parte $a_n$ è positiva ($a_n \ge 0$).
Per queste serie esiste un criterio specifico, elegante e potente, formulato da uno dei padri del calcolo infinitesimale: il Criterio di Leibniz.
INDICE
Le Due Condizioni di Leibniz
Il criterio afferma che una serie a segni alterni converge se la successione $a_n$ (la parte senza il segno) soddisfa contemporaneamente due condizioni:
- Condizione di Infinitesimo: Il limite del termine generale deve tendere a zero.$$\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$$
- Condizione di Decrescenza: La successione $a_n$ deve essere decrescente, ovvero ogni termine deve essere più piccolo o uguale al precedente.$$a_{n+1} \le a_n \quad \forall n$$
Se entrambe le condizioni sono verificate, la serie converge. È importante notare che se manca la prima condizione (il limite non è 0), la serie non converge mai (spesso è irregolare).
Esercizi Svolti: Verifica delle Condizioni
Vediamo due esempi tratti dagli appunti, uno semplice e uno più insidioso.
Esercizio 1: Il Fattoriale Alterno
Studiamo la serie:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$$
Qui $a_n = \frac{1}{n!}$. Verifichiamo le due ipotesi di Leibniz:
- Limite: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0$. (Verificata)
- Decrescenza: È vero che $\frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{n!}$? Sì, perché il denominatore cresce sempre, quindi la frazione diminuisce. Entrambe le condizioni sono soddisfatte: la serie converge.
Esercizio 2: Logaritmo e Decrescenza (Il “Trucco” della Derivata)
Analizziamo un caso più interessante:
$$\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\log n}{n}$$
Qui $a_n = \frac{\log n}{n}$.
- Limite: Per la gerarchia degli infiniti, $n$ vince su $\log n$, quindi il limite è 0. (Verificata)
- Decrescenza: Dobbiamo verificare se $\frac{\log(n+1)}{n+1} \le \frac{\log n}{n}$. Disuguaglianze di questo tipo sono difficili da risolvere algebricamente.
Lo Stratagemma: Passiamo alla funzione reale associata $f(x) = \frac{\log x}{x}$ e studiamone la derivata prima.$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \log x}{x^2}$$
La derivata è negativa quando $1 – \log x < 0$, ovvero per $x > e$.Poiché $e \approx 2,71$, la funzione (e quindi la nostra successione) è decrescente per tutti gli $n \ge 3$.
La condizione di decrescenza è soddisfatta definitivamente.
Conclusione: La serie converge per il criterio di Leibniz.
Trafiletto Storico
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) è, insieme a Newton, il padre del Calcolo Infinitesimale. La disputa su chi dei due avesse inventato per primo derivate e integrali fu asprissima. Il criterio che porta il suo nome fu pubblicato nel 1682 negli Acta Eruditorum, la rivista scientifica da lui fondata.
Una curiosità: Leibniz usava questo criterio per calcolare approssimazioni di $\pi$ (pi-greco), sfruttando la famosa serie $\sum (-1)^n \frac{1}{2n+1} = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 \dots = \pi/4$.
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