DOMINIO DI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Oggi vediamo come si calcola il dominio delle funzioni a due variabili.

$$f:\ \mathbb{R^2}\to\mathbb{R}:\quad z=f(x,y)$$

Funzioni con dominio in R2 e codominio in R

Premettiamo che il calcolo del dominio di tali funzioni rappresenta una espansione della teoria del dominio di funzioni ad una variabile reale.

Dunque in fondo non sono poi così diverse 😉

Le operazioni a cui dobbiamo prestare attenzione sono tre:

• Frazioni
• Radici quadrate (con indice pari)
• Logaritmi

Quando abbiamo a che fare con una funzione fratta quindi del tipo

$$z=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}$$

Imponiamo il denominatore diverso da zero 

$$z=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}\quad\to\quad D(x,y)\ne0$$

Quando abbiamo a che fare con una funzione irrazionale di indice pari (radice quadrata) 

$$z=\sqrt[n]{f(x,y)}\quad\text{$n$ pari}$$

Imponiamo il radicando (argomento della radice) maggiore o uguale a zero (non negativo) 

$$z=\sqrt[n]{f(x,y)}\quad\text{$n$ pari}\quad\to\quad f(x,y)\ge0$$

Mentre quando ci troviamo di fronte ad una funzione logaritmica 

$$z=\log_a\left(f(x,y)\right)$$

Dobbiamo studiare il suo argomento maggiore strettamente di zero

$$z=\log_a\left(f(x,y)\right)\quad\to\quad f(x,y)>0$$

Ovviamente se in una stessa funzione troviamo funzioni composte risolviamo mettendo a sistema (contemporaneità) le varie condizioni rilevate.

Questa teoria ovviamente può essere allargata in generale con funzioni ad n variabili.

Ma nel caso di funzioni a due variabili possiamo apprezzarne molto di più la visualizzazione grafica.

Il dominio di tali funzioni risulta infatti chiaramente rappresentato all’interno del sistema cartesiano.

Negli esempi che andiamo a esplicitare avremo principalmente a che fare con le tipiche curve di primo e secondo grado del sistema cartesiano 

• Rette 
• Circonferenze
• Ellissi
• Iperbole
• Parabole

Anche se la teoria può essere in generale estesa a qualsiasi curva nota.

ESEMPIO DI DOMINIO DI FUNZIONI POLINOMIALI

Partiamo con un esempio di una funzione polinomiale ovvero che non presenta nessuna delle caratteristiche cui prestare attenzione.

$$f(x,y)=x^2y+2x$$

In questo caso il dominio è R², dunque non imponiamo nessuna limitazione.

La funzione è ammissibile e calcolabile in ogni punto del sistema cartesiano

DOMINIO DI FUNZIONI FRATTE A DUE VARIABILI

Vediamo nello specifico degli esempi di calcolo del dominio di funzioni fratte

Ovviamente tutti i domini interessati riguardano tutti funzioni a due variabili.

Ogni tanto mi limiterò nell’utilizzo di queste ultime parole solamente perché la SEO potrebbe penalizzare in qualche modo l’artico.

Ma resta comunque sottinteso

ESEMPIO 1 – DOMINIO FUNZIONI FRATTE

Cominciamo con le danze e calcoliamo il dominio della funzione fratta

$$f(x,y)=\frac{2xy}{x^2-y^2}$$

Imponiamo il denominatore diverso da zero

$$x^2-y^2\ne0$$

Possiamo scomporre la differenza di quadrato in una somma per differenza

$$(x+y)(x-y)\ne0$$

Applicando la legge di annullamento del prodotto 

$$x+y\ne0\land x-y\ne0$$

Possiamo quindi escludere dal sistema cartesiano le bisettrici del primo e terzo quadrante, e del secondo e quarto quadrante, meglio note in questo modo

$$y\ne x\land y\ne-x$$

ESEMPIO 2 – DOMINIO FUNZIONI FRATTE

Calcoliamo il dominio della seguente funzione fratta

$$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2-1}$$

Imponiamo il denominatore diverso da zero

$$x^2+y^2-1\ne0$$

Spostando a destra l’1 ci accorgiamo di trovarci di fronte all’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio unitario 

$$x^2+y^2\ne0\quad C(0,0)\ \ r=1$$

Ovviamente prendiamo tutto il sistema cartesiano eccetto che la circonferenza

ESEMPIO 3 – DOMINIO FUNZIONI FRATTE A DUE VARIABILI

Calcoliamo il dominio della seguente funzione fratta

$$f(x,y)=\frac{x+y}{y-\sin x}$$

Imponiamo il denominatore diverso da zero

$$y-\sin x\ne0$$

Spostando a destra il seno abbiamo a che fare con la tipica funzione periodica seno di x

$$y\ne\sin x$$

Ovviamente prendiamo tutto il sistema cartesiano eccetto che la funzione seno di x

DOMINIO DI FUNZIONI IRRAZIONALE CON INDICE PARI

Quando abbiamo a che fare con una funzione irrazionale di indice pari a due variabili del tipo

$$z=\sqrt[n]{f(x,y)}\quad\text{$n$ pari}$$

Imponiamo il radicando (argomento della radice) maggiore o uguale a zero (non negativo) 

$$z=\sqrt[n]{f(x,y)}\quad\text{$n$ pari}\quad\to\quad f(x,y)\ge0$$

ESEMPIO 1 – DOMINIO FUNZIONE IRRAZIONALE (INDICE PARI)

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\sqrt{36-9x^2-4y^2}$$

Essendo che l’indice del radicale è pari imponiamo l’argomento del radicale maggiore o uguale a zero

$$36-9x^2-4y^2\ge0$$

Possiamo isolare i quadrati a sinistra e la costante a destra

$$-9x^2-4y^2\ge-36$$

Cambiamo dunque i segni ed il verso della disequazione

$$9x^2+4y^2\le36$$

Dividiamo tutto per 36 di modo che a destra otteniamo 1

$$\frac{9x^2}{36}+\frac{4y^2}{36}\le\frac{36}{36}\quad\to\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\le1$$

Si tratta della zona esterna all’ellisse con centro nell’origine degli assi e di raggi uguali a 2 (orizzontale) e 3 verticale.

Per convenzione coloriamo la zona eliminata e lasciamo bianca la zona del dominio 

Potremo fare che altrimenti, l’importante è definire che cosa si sta facendo 

LA PROCEDURA DEL PUNTO PROVA

Qualora fossimo un po’ confusi sulla zona da considerare, se quella interna oppure esterna all’ellisse, ricordiamoci della procedura del punto prova.

Questa procedura consiste nello scegliere opportunamente un punto di cui sappiamo precisamente la sua collocazione nel piano cartesiano.

Fatto ciò sostituiamo le coordinate del punto all’interno della disequazione che vogliamo verificare.

Se quel punto soddisfa la disequazione significa che anche tutta quella parte di piano la soddisfa.

Diversamente significa che quella parte di piano va eliminata.

Prendiamo ancora in esame la disequazione dell’esercizio 2

$$36-9x^2-4y^2\ge0$$

Una volta individuata l’equazione canonica dell’ellisse 

$$\gamma:\quad\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$$

 ed una volta rappresentata consideriamo un punto che sicuramente è interno ad essa

Possiamo considerare come punto molto semplice il centro ovvero il punto (0,0) 

Sostituiamo dunque le coordinate del centro (0,0) nella disequazione iniziale:

$$\begin{aligned}&36-9x^2-4y^2\ge0\\&O(0,0)\quad\to\quad36-9\cdot0^2-4\cdot0^2\ge0\quad\to\quad36\ge0\quad\to\quad\text{vero!}\end{aligned}$$

Siccome questo punto soddisfa la disequazione significa che appartiene al dominio della funzione

Chiaramente avremmo potuto utilizzare anche i punti (1,0) (0,1) (1,1) 

$$\begin{array}{l}A(1,0)&\to&36-9\cdot1^2-4\cdot0^2\ge0&\to&27\ge0&\to&\text{vero!}\\ A(1,0)&\to&36-9\cdot1^2-4\cdot0^2\ge0&\to&32\ge0&\to&\text{vero!}\\ C(1,1)&\to&36-9\cdot1^2-4\cdot1^2\ge0&\to&23\ge0&\to&\text{vero!}\end{array}$$

La conclusione sarebbe la stessa, ovvero considerare domino la zona interna alla ellisse.

Potevamo giungere allo stesso risultato considerando punti esterni all’ellisse come ad esempio (3,0) o (2,2) 

$$\begin{array}{l}D(3,0)&\to&36-9\cdot3^2-4\cdot0^2\ge0&\to&-45\ge0&\to&\text{falso!}\\ E(2,2)&\to&36-9\cdot2^2-4\cdot2^2\ge0&\to&-16\ge0&\to&\text{falso!}\end{array}$$

In questo caso siccome la disequazione non risulta verificata escludiamo quel punto da dominio.

In questo modo possiamo escludere tutta la zona esterna dell’ellisse dal dominio stesso.

Di conseguenza la zona che rimane è quella interna che è quindi il dominio della funzione a due variabili.

Ovviamente l’ellisse viene considerata come dominio dal momento che nei punti sull’ellisse il risultato è zero (nella disequazione c’è anche =) 

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Dal questo grafico tridimensionale costruito con geogebra possiamo apprezzare come effettivamente la funzione si sviluppi proprio nella zona interna all’ellisse

ESEMPIO 2 – DOMINIO FUNZIONE IRRAZIONALE (INDICE PARI)

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\sqrt{4x^2-^2-1}$$

Essendo che l’indice del radicale è pari imponiamo l’argomento del radicale maggiore o uguale a zero

$$4x^2-^2-1\ge0$$

Spostiamo a destra 1

$$4x^2-y^2\ge1$$

Scriviamo nella forma canonica l’iperbole in questo modo

$$\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-y^2\le1$$

Trattasi della zona destra e sinistra rispetto all’ellisse 𝛾 di equazione

$$\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-y^2=1$$

 con centro nell’origine di raggio orizzontale (reale)  pari ad 1/2 e di raggio verticale (immaginario) di valore 1

Andiamo dunque ad escludere (colorando) dal grafico la zona interna ai due rami di ellisse

Lasciando quindi bianca la zona del dominio della nostra funzione.

PUNTO PROVA

Se abbiamo difficoltà a risolvere la disequazione 

$$4x^2-y^2\ge1$$

Ricordiamoci sempre del punto prova.

Se consideriamo l’origine (0,0) 

$$0(0,0)\ \to\ 4\cdot0^2-0^2\ge1\quad\to\quad\text{falso!}$$

Dunque l’origine non fa parte del dominio e quindi è esclusa anche tutta la parte interna ai due rami di iperbole.

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Rappresentiamo il grafico in tre dimensioni dove possiamo notare che lo sviluppo della funzione avviene esternamente ai rami dell’iperbole

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ESEMPIO 3 – DOMINIO FUNZIONE IRRAZIONALE (INDICE PARI)

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\sqrt{y-x^2}$$

Essendo che l’indice del radicale è pari imponiamo l’argomento del radicale maggiore o uguale a zero

$$y-x^2\ge0$$

Spostiamo a destra la x

$$y\ge x^2$$

Si tratta della zona superiore (o uguale) alla parabola di equazione

$$y=x^2$$

Lasciando quindi bianca la zona del dominio della nostra funzione.

PUNTO PROVA

Ancora una volta il metodo del punto prova può aiutare a capire qual è la zona da escludere e quella da includere risolvendo graficamente la disequazione

$$y-x^2\ge0$$

Ad esempio se prendiamo il punto A(0,1) interno alla parabola rileviamo che

$$A(0,1)\ \to\ 1-0^2\ge0\quad\text{vero!}$$

Dunque il dominio è la zona interna della parabola (superiore in questo caso).

Se invece prendiamo come punto di riferimento B(1,0) che è esterno alla parabola troviamo che

$$B(1,0)\ \to\ 0-1^2\ge0\quad\text{falso!}$$

Dunque eliminiamo la zona esterna o inferiore.

ESEMPIO 4 – DOMINIO FUNZIONE IRRAZIONALE (INDICE PARI)

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\sqrt{\frac{x}{xy-1}}$$

Essendo che l’indice del radicale è pari imponiamo l’argomento del radicale maggiore o uguale a zero

$$\frac{x}{xy-1}\ge0$$

In questo caso dobbiamo risolvere una disequazione fratta.

Dunque imponiamo che il numeratore deve essere maggiore o uguale a zero

$$x\ge0$$

Per identificare il segni di questa zona mettiamo i segno più alla destra dell’asse delle y mentre i segni negativi sulla sinistra

Poi imponiamo il denominatore strettamente maggiore di zero

$$xy-1>0\quad\to\quad xy>1$$

Si tratta della zona esterna ai due rami di iperbole equilatera

$$y=\frac{1}{x}$$

Poi dobbiamo moltiplicare i segni in ogni zona e prendiamo la zona in cui il prodotto dei segni risulta positivo o uguale a zero

PUNTO PROVA …

Continuiamo a dire che per risolvere la disequazione

$$xy-1\ge0$$

 possiamo avvalerci del fantomatico punto prova.

Se scegliamo ad esempio l’orige O(0,0) interno ai due rami di iperbole troviamo immediatamente che

$$O(0,0)\ \to\ 0\cdot0-1\ge0\ \to\ \text{falso!}$$

Dunque mettiamo i segni (–) nella zona interna

Per essere poi più sicuri che i segni (+) vadano nelle due zone esternepossiamo ad esempio considerare i punti A(2,2) e B(–2,–2) 

$$\begin{array}{l}A(2,2)&\to&2\cdot2-1\ge0&\to&\text{vero!}\\ B(-2,-2)&\to&(-2)\cdot(-2)-1\ge0&\to&\text{vero!}\end{array}$$

Dunque in tali zone mettiamo i segni (+) 

Mostriamo meglio la zona che è dominio della nostra funzione a due variabili

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Mostriamo il grafico tridimensionale rappresentato con geogebra

DOMINIO DI FUNZIONI A DUE VARIABILI LOGARITMICHE

Vediamo il terzo caso ostico di dominio quello che riguarda il logaritmo.

Se abbiamo a che fare con una funzione del tipo 

$$z=\log_a\left(f(x,y)\right)$$

Imponiamo che l’argomento del logaritmo sia positivo

$$z=\log_a\left(f(x,y)\right)\quad\to\quad f(x,y)>0$$

ESEMPIO 1 – DOMINIO FUNZIONE LOGARITMICA

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)\log\left(y(x^2-y^2)\right)$$

Studiamo dunque l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di zero

$$y(x^2-y^2)>0$$

Scomponiamo la differenza di quadrati 

$$y(x-y)(x+y)>0$$

Il segno del nostro argomento dipende dunque dal segno di tre fattori di primo grado che nel piano cartesiano richiamano tre precise rette

Imponendo il primo fattore maggiore di zero

$$y>0$$

Mettiamo i segni positivi sopra l’asse delle x

Passando al secondo fattore 

$$x-y>0\quad\to\quad y<x$$

Mettiamo i segni positivi sotto la bisettrice del primo e terzo quadrante

Infine abbiamo il terzo fattore

$$x+y>0\quad\to\quad y>-x$$

I segni positivi vanno al di sopra della bisettrice del secondo e quarto quadrante

In questo modo il sistema cartesiano viene suddiviso in sei zone.

Di cui tre sono quelle accettabili.

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Diamo un’occhiata allo sviluppo tridimensionale del grafico della funzione

ESEMPIO 2 – DOMINIO FUNZIONE LOGARITMICA

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\log\frac{1-x^2-y^2}{1-x^2+y^2}$$

Studiamo dunque l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di zero

$$\frac{1-x^2-y^2}{1-x^2+y^2}>0$$

Come possiamo facilmente notare il segno della frazione dipende da due fattori: numeratore e denominatore

Studiando il numeratore maggiore di zero

$$1-x^2-y^2>0\quad\to\quad x^2+y^2<1$$

Scopriamo che si tratta della zona interna alla circonferenza di centro (0,0) e raggio 1

Mentre se studiamo il segno del denominatore

$$1-x^2+y^2>0\quad\to\quad x^2-y^2<1$$

La zona positiva ricade internamente all’iperbole di centro (0,0) e raggi unitari 

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Facciamoci una idea più tridimensionale della questione osservando il grafico 

ESEMPIO 3 – DOMINIO FUNZIONE LOGARITMICA

Calcoliamo il dominio della seguente funzione a due variabili 

$$f(x,y)=\log\left(\sqrt{x^2+y^2}-3\right)$$

Notiamo dal testo che vi sono due operazioni cruciali ovvero il radicale e il logaritmo.

Costruiamo dunque un sistema dove imponiamo contemporaneamente due condizioni.

La prima sul radicale che dice che l’argomento deve risultare maggiore o uguale a zero.

Mentre la seconda sul logaritmo che impone il suo argomento maggiore strettamente di zero

$$\begin{cases} x^2+y^2\ge0\\ \sqrt{x^2+y^2}-3>0\end{cases}$$

La prima condizione risulta certamente sempre verificata in quanto una somma di quadrati è sempre maggiore o uguale a zero

Cerchiamo dunque di risolvere la seconda condizione

$$\sqrt{x^2+y^2}-3>0$$

Spostiamo a destra la costante ed leviamo alla seconda

$$\sqrt{x^2+y^2}>3\quad\to\quad x^2+y^2>9$$

Si tratta della zona esterna alla circonferenza con centro nell’origine e di raggio pari a 3

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Osserviamo il grafico in tre dimensioni della funzione a due variabili

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