CURVE DI LIVELLO DI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Uno degli argomenti più affascinanti dello studio delle funzioni a due variabili riguarda le curve di livello.

Tali curve sono ottenute intersecando un piano parallelo al piano di riferimento xoy con la funzione 

Detto in altre parole la curva di livello che si genera è una curva appartenente alla funzione in cui tutti i punti si trovano alla medesima quota.

Ora cerchiamo di parlare con un linguaggio più matematico.

Consideriamo una funzione a due variabili reali, dunque con dominio D contenuto in R² e codominio C contenuto in R

$$:\ D\subseteq\mathbb{R^2}\to\ C\subseteq\mathbb{R}:\ f(x,y)$$

Otteniamo la curva di livello k eguagliando la funzione f(x,y) alla costante k, ovvero dobbiamo risolvere l’equazione:

$$f(x,y)=k$$

Questo significa mettere a sistema l’equazione della funzione z=f(xy) con il piano parallelo al piano xoy z=k

$$\begin{cases}z=f(x,y)\\z=k \end{cases}$$

Per avere una visualizzazione immediata di una curva di livello osserviamo la figura.

ESEMPI DI CURVE DI LIVELLO PER FUNZIONI A DUE VARIABILI

Adesso che abbiamo preso un po’ di familiarità con il concetto di curva di livello scaldiamo veramente i motori con alcuni esempi.

Vedremo principalmente esempi che riguardano funzioni a due variabili 

• Polinomiali
• Fratte
• Irrazionali
• Logaritmiche

Le curve di livello presenti negli esempi riguardano principalmente rette e coniche del piano cartesiano: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Quindi se non avete familiarità con questi soggetti vi invito caldamente a scoprire il corso di geometria cartesiana.

ESEMPIO 1 – FUNZIONE LINEARE

Apriamo le danze con il più semplice esempio di funzione a due variabili: una funzione lineare, volgarmente detto piano.

$$f(x,y)=2x+y-3$$

Sarebbe sempre bene quando studiamo una qualsiasi funzione definirne il dominio.

In questo caso non ci sono particolari limitazioni in quanto non sono presenti frazioni, radici quadrate e logaritmi.

Dunque il dominio della funzione coincide con R².

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$2x+-3=k$$

Da questa equazione possiamo facilmente ricava la y in funzione della x (e delle costante k) 

$$y=-2x+(k-3)$$

Tratta certamente di un fascio di rette con pendenza –2 valida per ogni k reale.

Vediamo equazioni di specifiche per alcuni valori di k

$$\begin{array}{l} k=-2&\to&y=-2x-5\\ k=-1&\to&y=-2x-4\\ k=0&\to&y=-2x-3\\ k=1&\to&y=-2x-2\\ k=2&\to&y=-2x-1\\ k=3&\to&y=-2x\\ k=4&\to&y=-2x+1\end{array}$$

In questo caso possiamo facilmente notare che all’aumentare di k la retta si sposta in altodal momento che aumenta la sua ordinata all’origine

Rappresentiamole nel piano cartesiano alcune delle curve di livello

(da notare che la linea rossa attribuita a k=3 serve solamente da punto di riferimento) 

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Mostriamo anche la situazione nel grafico tridimensionale, dove ogni valore di k è rappresentato dal piano di quota k .

Tale piano interseca la nostra funzione f(x,y) ed in tale modo si creano lecurve di livello.

Tali curve di livello sono dunque l’intersezione tra i piani paralleli al piano xoy e la funzione.

ESEMPIO 2 – FUNZIONE PARABOLIDE – CURVE DI LIVELLO

Continuiamo con uno splendido esempio di funzione paraboloide

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

Sarebbe sempre bene quando studiamo una qualsiasi funzione definirne il dominio.

In questo caso non ci sono particolari limitazioni in quanto non sono presenti frazioni, radici quadrate e logaritmi.

Dunque il dominio della funzione coincide con R².

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$x^2+y^2=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per valori positivi di k.

Si tratta di un fascio di circonferenze con centro C nell’origine e raggio R radice di k

$$C=(0,0)\quad R=\sqrt{k}$$

Mostriamo alcuni esempi di circonferenze specifiche indicando centro e raggio

$$\begin{array}{l} k=0&\to&x^2+y^2=0&\to&\text{origine $(0,0)$}\\ k=1&\to&x^2+y^2=1&\to&C(0,0)\quad R=1\\ k=2&\to&x^2+y^2=2&\to&C(0,0)\quad R=\sqrt{2}\\ k=3&\to&x^2+y^2=3&\to&C(0,0)\quad R=\sqrt{3}\\ k=4&\to&x^2+y^2=4&\to&C(0,0)\quad R=2\\ k=5&\to&x^2+y^2=5&\to&C(0,0)\quad R=\sqrt{5}\end{array}$$

In questo caso possiamo facilmente notare che all’aumentare di k la circonferenza aumenta il raggio

Rappresentiamole nel piano cartesiano alcune delle curve di livello

(da notare che la linea rossa attribuita a k=1 serve solamente da punto di riferimento) 

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Mostriamo anche la situazione nel grafico tridimensionale, dove ogni valore di k è rappresentato dal piano di quota k .

Tale piano interseca la nostra funzione f(x,y) ed in tale modo si creano le curve di livello.

Tali curve di livello sono dunque l’intersezione tra i piani paralleli al piano xoy e la funzione.

All’aumentare della quota del piano la circonferenza espande il proprio raggio 

Da notare che non esistono intersezioni tra la funzione e i valori di k negativi.

ESEMPIO 3 – FUNZIONE ELLISSOIDE – CURVE DI LIVELLO

Passiamo ora ad un esempio di funzione paraboloide

$$f(x,y)=x^2+9y^2$$

Sarebbe sempre bene quando studiamo una qualsiasi funzione definirne il dominio.

In questo caso non ci sono particolari limitazioni in quanto non sono presenti frazioni, radici quadrate e logaritmi.

Dunque il dominio della funzione coincide con R².

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$x^2+9y^2=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per valori positivi di k.

Possiamo riscrivere meglio questa equazione nel seguente modo dividendo tutto per k

$$\frac{x^2}{k}+\frac{y^2}{\frac{k}{9}}=1$$

Si tratta di un fascio di ellisse con centro C nell’origine e raggi a=√k e b=√k/3  radice di k

$$C(0,0)\quad a=\sqrt{k}\quad b=\frac{\sqrt{k}}{3}$$

Mostriamo alcuni esempi di circonferenze specifiche indicando centro e raggio

$$\begin{array}{l}k=0&\to& x^2+9y^2=0&\to&\text{origine $(0,0)$}\\ k=1&\to& x^2+\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1&\to C(0,0)\quad a=1\quad b=\frac{1}{3}\\ k=2&\to& \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{\frac{2}{9}}=1&\to C(0,0)\quad a=\sqrt{2}\quad b=\frac{\sqrt{2}}{3}\\ k=3&\to& \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{\frac{3}{9}}=1&\to C(0,0)\quad a=\sqrt{3}\quad b=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ k=4&\to& \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{4}{9}}=1&\to C(0,0)\quad a=2\quad b=\frac{2}{3}\\ \end{array}$$

In questo caso possiamo facilmente notare che all’aumentare di k l’ellisse aumenta la sua area

Rappresentiamole nel piano cartesiano alcune delle curve di livello

(da notare che la linea rossa attribuita a k=1 serve solamente da punto di riferimento) 

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Mostriamo anche la situazione nel grafico tridimensionale, dove ogni valore di k è rappresentato dal piano di quota k .

Tale piano interseca la nostra funzione f(x,y) ed in tale modo si creano le curve di livello.

Tali curve di livello sono dunque l’intersezione tra i piani paralleli al piano xoy e la funzione.

All’aumentare della quota del piano l’ellisse si espande 

Da notare che non esistono intersezioni tra la funzione e i valori di k negativi.

ESEMPIO 4 – IPERBOLOIDE

Calcoliamo le curve di livello della seguente funzione a due variabili ellissoide

$$f(x,y)=x^2-y^2$$

Sarebbe sempre bene quando studiamo una qualsiasi funzione definirne il dominio.

In questo caso non ci sono particolari limitazioni in quanto non sono presenti frazioni, radici quadrate e logaritmi.

Dunque il dominio della funzione coincide con R².

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$x^2-y^2=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale

Si tratta di un fascio di ellissi equilatere con centro C nell’origine e raggi pari a √k 

$$C(0,0)\quad a=b=\sqrt{k}$$

Mostriamo alcuni esempi di circonferenze specifiche indicando centro e raggio

Quando la costante k vale zero otteniamo le due bisettrici del sistema cartesiano

$$k=0\ \to x^2-y^2=0\ \to (x+y)(x-y)=0\ \to y=\pm x$$

Per i valori positivi di k i vertici reali sono sull’asse x

$$\begin{array}{l} k=1&\to&x^2-y^2=1&\to&C(0,0)\quad a=b=1\\ k=2&\to&x^2-y^2=2&\to&C(0,0)\quad a=b=\sqrt{2}\\ k=1&\to&x^2-y^2=3&\to&C(0,0)\quad a=b=\sqrt{3}\\ \end{array}$$

Invece per i valori negativi di k i vertici reali sono sull’asse y

$$\begin{array}{l} k=1&\to&x^2-y^2=-1&\to&C(0,0)\quad a=b=1\\ k=2&\to&x^2-y^2=-2&\to&C(0,0)\quad a=b=\sqrt{2}\\ k=1&\to&x^2-y^2=-3&\to&C(0,0)\quad a=b=\sqrt{3}\\ \end{array}$$

Mostriamo graficamente questi risultati nel sistema cartesiano

GRAFICO TRIDIMENSIONALE

Mostriamo anche la situazione nel grafico tridimensionale, dove ogni valore di k è rappresentato dal piano di quota k .

Tale piano interseca la nostra funzione f(x,y) ed in tale modo si creano le curve di livello.

Per i valori di k positivi si formano iperboli con i vertici sull’asse x

Mentre per i valori di k negativi le iperboli hanno il vertice in corrispondenza dell’asse y.

Quando k vale zero, ovvero intersechiamo il piano xoy con la funzione si formano le due rette bisettrici dei quadranti

ESEMPIO 5 – FUNZIONE A DUE VARIABILI – CURVE DI LIVELLO

Vediamo ora un altro esempio di funzione a due variabili

$$f(x,y)=xy$$

Il dominio della funzione coincide con R².

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$xy=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Dividiamo tutto per x e otteniamo un fascio di iperboli che hanno come asintoti gli assi cartesiani

$$y=\frac{k}{x}$$

Quando k vale zero troviamo proprio gli assi cartesiani che sono dunque la curva di livello che si determina intersecando la funzione con il piano xoy

$$k=0\quad\to\quad xy=0\quad\to\quad x=0\lor y=0$$

Se i valori di k sono positivi vediamo iperboli nel primo e terzo quadrante.

A mano a mano che il valore di k cresce vi è una espansione dell’iperbole

$$k=1\to y=\frac{1}{x}\quad k=2\to y=\frac{2}{x}\quad k=3\to y=\frac{3}{x}\quad \cdots$$

Mentre se i valori di k sono negativi vediamo iperboli nel secondo e quarto quadrante.

A mano a mano che il valore di k diminuisce (aumenta in valore assoluto) vi è una espansione dell’iperbole

$$k=-1\to y=-\frac{1}{x}\quad k=-2\to y=-\frac{2}{x}\quad k=-3\to y=-\frac{3}{x}\quad \cdots$$

Mostriamo questi risultati sul piano cartesiano

mostriamo tridimensionalmente i risultati.

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ESEMPIO 6 – FUNZIONE FRATTA – CURVE DI LIVELLO

Passiamo ad un esempio con una funzione fratta molto semplice nella forma

$$f(x,y)=\frac{y}{x}$$

Il dominio della funzione impone il denominatore diverso da zero

$$x\ne0$$

In altre parole escludiamo dal sistema cartesiano l’asse delle y

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\frac{y}{x}=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Moltiplicando tutto per x e otteniamo un fascio di rette passanti per l’origine

$$y=kx$$

Quando k vale zero troviamo proprio l’asse delle x

$$k=0\to y=0\quad\text{asse delle $x$}$$

Mentre se i valori di k sono positivi vediamo rette crescenti

A mano a mano che il valore di k cresce  le rette aumentano la loro pendenza

$$k=1\to y=x\quad k=2\to y=2x\quad k=3\to y=3x\quad \cdots$$

Mentre se i valori di k sono negativi le rette sono decrescenti

A mano a mano che il valore di k diminuisce (aumenta in valore assoluto) le rette hanno una pendenza sempre più negativa

$$k=-1\to y=-x\quad k=-2\to y=-2x\quad k=-3\to y=-3x\quad \cdots$$

Mostriamo questi risultati sul piano cartesiano

Guardiamo i risultati nel grafico tridimensionale

ESEMPIO 7 – FUNZIONE FRATTA – CURVE DI LIVELLO

Vediamo un esempio di una funzione fratta più complessa

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}$$

Il dominio della funzione impone il denominatore diverso da zero

$$x^2+y^2-1\ne0$$

Escludiamo dal sistema cartesiano la circonferenza di centro (0,0) e raggio uguale a 1

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Moltiplicando tutto per il denominatore comune otteniamo

$$x^2-y^2=k(x^2+y^2-1)$$

Possiamo rimodellare questa equazione in questo modo

$$(1-k)x^2-((1+k)y^2=-k$$

Cambiando i segno otteniamo 

$$(k-1)x^2+(k+1)y^2=k$$

Questa equazione ricorda molto sia l’equazione dell’ellisse sia quella dell’iperbole con centro nell’origine degli assi.

Infatti se dividiamo per k entrambi i membri possiamo scrivere

$$\frac{k-1}{k}x^2+\frac{k+1}{k}y^2=1$$

Rimaneggiandola ancora un po’ possiamo anche riscriverla in questo modo

$$\frac{x^2}{\frac{k}{k-1}}+\frac{y^2}{\frac{k}{k+1}}=1$$

LA CURVA DI LIVELLO E’ UN’ELLISSE

Troviamo ora per quali valori della costante k questa può essere l’equazione di una ellisse.

Ricordiamo che l’equazione di una ellisse passante per il centro con i raggi paralleli agli assi è del tipo:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

I denominatori delle frazioni sono quadrati dunque per forza positivi.

Mettiamo quindi a sistema questa condizione della nostra espressione in k

$$\begin{cases} \frac{k}{k-1}>0\\\frac{k}{k+1}>0 \end{cases}$$

Supponendo che a questo punto dell’analisi matematica dovremmo essere in grado di risolvere le disequazioni del sistema (e il sistema stesso) mostriamo i risultati

$$\begin{cases} k<0\lor k>1\\k<-1\lor k>0\end{cases}\to\ k<-1\lor k>1\ \to\ \text{ellisse}$$

Per rassicurarci della correttezza dei risultati prendiamo a riferimento i valori k con le caratteristiche indicate

$$\begin{array}k=2&\to&\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{\frac{2}{3}}=1&\to&\text{ellisse}&\to&a=\sqrt{2}&b=\sqrt{\frac{2}{3}}\\ k=3&\to&\frac{x^2}{\frac{3}{2}}+\frac{y^2}{\frac{3}{4}}=1&\to&\text{ellisse}&\to&a=\sqrt{\frac{3}{2}}&b=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ k=-2&\to&\frac{x^2}{\frac{2}{3}}+\frac{y^2}{2}=1&\to&\text{ellisse}&\to&a=\sqrt{\frac{2}{3}}&b=\sqrt{2}\\ k=-3&\to&\frac{x^2}{\frac{3}{4}}+\frac{y^2}{\frac{3}{2}}=1&\to&\text{ellisse}&\to&a=\frac{\sqrt{3}}{2}&b=\sqrt{\frac{3}{2}}\\ \end{array}$$

LA CURVA DI LIVELLO E’ UN’IPERBOLE

Allo stesso modo ora determiniamo i valori di k per cui l’equazione in oggetto

$$\frac{x^2}{\frac{k}{k-1}}+\frac{y^2}{\frac{k}{k+1}}=1$$

 rappresenti un‘iperbole.

Ricordiamo che l’equazione generale dell’iperbole con centro nell’origine e vertici sull’asse delle x o delle y è

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1$$

Per ricreare queste condizioni possiamo anche imporre la moltiplicazione dei denominatori negativa

$$\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k}{k+1}<0$$

Ovvero risolviamo la disequazione fratta:

$$\frac{k^2}{(k-1)(k+1)}<0$$

La soluzione è

$$-1<k<1\land k\ne0\quad\to\quad\text{iperbole}$$

Vediamo alcuni esempi di valori che rispettano queste caratteristiche 

$$\begin{array}{l} k=\frac{1}{2}&\to&\frac{x^2}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}}+\frac{y^2}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}}&\to&x^2-\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=-1\\ k=\frac{2}{3}&\to&\frac{x^2}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-1}}+\frac{y^2}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+1}}&\to&\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{2}{5}}=-1\\ k=-\frac{1}{2}&\to&\frac{x^2}{\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-1}}+\frac{y^2}{\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+1}}&\to&\frac{x^2}{\frac{1}{3}}-y^2=1\\ k=-\frac{2}{3}&\to&\frac{x^2}{\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}-1}}+\frac{y^2}{\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{2}{2}+1}}&\to&\frac{x^2}{\frac{2}{5}}-\frac{y^2}{2}=1 \end{array}$$

Bisogna ora capire cosa accade per i valori di k pari a: 0, 1, –1.

Per scoprirlo ripartiamo dall’equazione

$$(k-1)x^2+(k+1)y^2=k$$

Cominciamo dal valore nullo della costante k

$$k=0\quad\to\quad -x^2+y^2=0$$

Scomponiamo in fattori primi e usando la legge di annullamento del prodotto scopriamo che si tratta delle due bisettrici del sistema cartesiano

$$k=0\quad\to\quad (y+x)(y-x)=0\quad\to\quad y=\pm x$$

Vediamo cosa succede per gli altri due valori

$$\begin{array}{l}k=-1&\to&-2x^2=-1&\to&x^2=\frac{1}{2}&\to&x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}&\text{2 rette $\parallel$ asse $y$}\\ k=1&\to&2y^2=1&\to&y^2=\frac{1}{2}&\to&y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}&\text{2 rette $\parallel$ asse $x$}\end{array}$$

Mostriamo i risultati nel grafico tridimensionale

ESEMPIO 8 – FUNZIONE A DUE VARIABILI – CONO

Questo è un classico esempio di funzione conica

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

Studiamo il dominio della funzione: siccome c’è una radice imponiamo l’argomento maggiore o uguale a zero.

$$x^2+y^2\ge0\quad\to\quad\forall(x,y)\in\mathbb{R^2}$$

Il dominio della funzione coincide con R².

(da notare infatti che una somma di quadrati è sempre non negativa) 

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\sqrt{x^2+y^2}=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Eleviamo tutto al quadrato e scopriamo che ci troviamo di fronte a un fascio di circonferenze concentriche con centro nell’origine e raggio k

$$x^2+y^2=k^2$$

A parte il caso estremo dove se k=0 abbiamo come punto l’origine degli assi

$$k=0\quad\to\quad(0,0)$$

Mostriamo alcuni esempi di circonferenze per i vari livelli indicando centro e raggio 

$$\begin{array}{l} k=1&\to& x^2+y^2=1&C(0,0)&R=1\\k=2&\to& x^2+y^2=4&C(0,0)&R=2\\k=3&\to& x^2+y^2=9&C(0,0)&R=3 \end{array}$$

Da notare che ogni volta che ci innalziamo di una unità sull’asse z il raggio della circonferenza si espande di una unità.

Questo crea un cono le cui sezioni sono circonferenze

Mostriamo nel grafico in 3D l’andamento del cono

ESEMPIO 9 – FUNZIONE A DUE VARIABILI – CONO (2) 

Questo esempio è praticamente uguale al precedente ma le sezioni sono delle ellissi

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+4y^2}$$

Studiamo il dominio della funzione: siccome c’è una radice imponiamo l’argomento maggiore o uguale a zero.

$$x^2+4y^2\ge0\quad\to\quad\forall(x,y)\in\mathbb{R^2}$$

Il dominio della funzione coincide con R².

(da notare infatti che una somma di quadrati è sempre non negativa) 

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\sqrt{x^2+4y^2}=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Eleviamo tutto al quadrato e scopriamo che ci troviamo di fronte a un fascio di ellissi concentriche con centro nell’origine e raggi k e k/2 

$$x^2+4y^2=k^2$$

A parte il caso estremo dove se k=0 abbiamo come punto l’origine degli assi

$$k=0\quad\to\quad(0,0)$$

Mostriamo alcuni esempi di ellissi per i vari livelli indicando centro e raggi

$$\begin{array}{l} k=1&\to&x^2+4y^2=1&C(0,0)&a=1&b=\frac{1}{2}\\ k=2&\to&x^2+4y^2=4&C(0,0)&a=2&b=1\\ k=3&\to&x^2+4y^2=9&C(0,0)&a=3&b=\frac{3}{2}\end{array}$$

Si forma un cono le cui sezioni sono ellissi

Mostriamo nel grafico in 3D l’andamento del cono

ESEMPIO 10 – FUNZIONE A DUE VARIABILI – CONO (3) 

Anche questo esempio può essere associato ai due precedenti.

$$f(x,y)=\sqrt{x^2-y^2}$$

È come se vedessimo un cono esterno fatto di ellissi

Studiamo il dominio della funzione: siccome c’è una radice imponiamo l’argomento maggiore o uguale a zero.

$$x^2-y^2\ge0$$

Scomponiamo la differenza di quadrati 

$$(x+y)(x-y)\ge0$$

Studiandone i segni dal punto di vista grafico otteniamo due dei quattro quadranti delimitati della bisettrici

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\sqrt{x^2-y^2}=k$$

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per qualsiasi valore di k reale.

Eleviamo tutto al quadrato e scopriamo che ci troviamo di fronte a un fascio di ellissi concentriche con centro nell’origine e raggi k e k/2 

$$x^2-y^2=k^2$$

Quando k=0 troviamo proprio le bisettrici dei quadranti 

$$k=0\ \to\ x^2-y^2=0\ \to\ (x+y)(x-y)=0\ \to\ y=\pm x$$

Mostriamo alcuni esempi di iperboli per i vari livelli indicando centro e raggi

$$\begin{array}{l}k=1&\to&x^2-y^2=1&\to&C(0,0)&a=b=1\\ k=2&\to&x^2-y^2=4&\to&C(0,0)&a=b=2\\ k=3&\to&x^2-y^2=9&\to&C(0,0)&a=b=3\\ \end{array}$$

Vediamo tutto in grafica bidimensionale le curve di livello

Mostriamo nel grafico in 3D l’andamento del cono

ESEMPIO 11 – CURVE DI LIVELLO – FUNZIONE A DUE VARIABILI  

Determiniamo le curve di livello della seguente funzione a due variabili

$$f(x,y)=\sqrt{y-x^2}$$

Studiamo il dominio della funzione: siccome c’è una radice imponiamo l’argomento maggiore o uguale a zero.

$$y-x^2\ge0$$

Possiamo rileggerla anche in questo modo

$$y-x^2\ge0\quad\to\quad y\ge x^2$$

 dove vediamo la parte superiore alla funzione parabola con vertice nell’origine e parametro a uguale ad 1

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\sqrt{y-x^2}=k

In questo caso possiamo notare che l’equazione è soddisfatta solo per k reali positivi.

Eleviamo tutto al quadrato 

$$y-x^2=k^2$$

Possiamo facilmente riscrivere l’equazione in questo modo

$$y=x^2+k^2$$

Si tratta di un fascio di parabole traslate verso l’alto a partire dalla parabola base dove k è uguale a zero.

Quando k=0 troviamo proprio la parabola con vertice nell’origine detta anche funzione quadrato

Mostriamo altri esempi di parabole del fascio 

$$k=1\ \to\ y=x^2+1\quad k=2\ \to\ y=x^2+4\quad k=2\ \to\ y=x^2+9$$

Mostriamo in grafica bidimensionale le curve di livello

Andiamo a vedere come si visualizza nel grafico tridimensionale

ESEMPIO 12 – CURVE DI LIVELLO – FUNZIONE A DUE VARIABILI  

Passiamo ad un esempio di funzione a due variabili logaritmica

$$f(x,y)=\log(x^2+y^2+1)$$

Studiamo il dominio della funzione: siccome c’è una radice imponiamo l’argomento maggiore o uguale a zero.

$$x^2+y^2+1\ge0$$

Possiamo rileggerla anche in questo modo

$$x^2+y^2\ge1$$

Si tratta della parte esterna alla circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario 

Parliamo proprio della circonferenza goniometrica

Per studiare le curve di livello generate da questa funzione imponiamo l’equazione 

$$f(x,y)=k$$

Dunque nel caso in questione

$$\log(x^2+y^2-1)=k$$

Eliminiamo il logaritmo introducendo l’esponenziale

$$x^2+y^2-1=e^k$$

Possiamo facilmente riscrivere l’equazione in questo modo

$$x^2+y^2=e^k+1$$

Si tratta di un fascio di circonferenze con centro nell’origine e raggio ce varia in maniera esponenziale a meno di una costante

A questo punto è bene non confondersi sul concetto di dominio e di codominio della funzione.

Infatti l’equazione è verificata per ogni valore di k reale.

Ricordiamo infatti che il logaritmo può valere qualsiasi numero, mentre è il suo argomento che deve essere strettamente positivo

Facciamo alcuni esempi

$$\begin{array}{l}k=0&\to&x^2+y^2=2&&k=1&\to&x^2+y^2=1+e\\ k=2&\to&x^2+y^2=1+e^2&&k=3&\to&x^2+y^2=1+e^3\\ k=-1&\to&x^2+y^2=1+e^{-1}&&k=-2&\to&x^2+y^2=1+e^{-2} \end{array}$$

Mostriamo in grafica bidimensionale le curve di livello

Osserviamo anche nel grafico in 3D l’andamento del cono

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