Esercizi sulla Moltiplicazione e Divisione di Frazioni Algebriche

La moltiplicazione e la divisione di frazioni algebriche si basano interamente sulla scomposizione e sulla semplificazione.

La strategia è:

1. Scomposizione Totale: Scomporre in fattori tutti i numeratori e tutti i denominatori di tutte le frazioni.
2. Capovolgere (per la Divisione): Se c’è una divisione, si trasforma in moltiplicazione capovolgendo la frazione che segue il segno di divisione.
3. Semplificazione (in Croce): Eliminare (barrare) i fattori identici tra qualsiasi numeratore e qualsiasi denominatore (anche in diagonale).
4. Moltiplicazione: Moltiplicare i fattori rimanenti “in linea”: tutti i numeratori tra loro e tutti i denominatori tra loro.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Moltiplicazione e Divisione di Frazioni Algebriche(Scomposizioni Semplici)

Esercizio 1: Moltiplicazione (MCD)

Domanda: Calcola $\frac{5x + 10}{x^2} \cdot \frac{x}{x+2}$.

Risposta Corretta: $\frac{5}{x}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Scomposizione:
   • $5x + 10 = 5(x+2)$
   • $x^2 = x \cdot x$
2. Riscrivi: $\frac{5(x+2)}{x \cdot x} \cdot \frac{x}{x+2}$.
3. Semplifica (in Croce):
   • Eliminiamo $(x+2)$ (Num 1 con Den 2).
   • Eliminiamo $x$ (Num 2 con Den 1).
4. Risultato: $\frac{5}{x}$.

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Esercizio 2: Moltiplicazione (Differenza Quadrati)

Domanda: Calcola $\frac{a^2 – 4}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a+2}$.

Risposta Corretta: $2a(a-2)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Scomposizione:
   • $a^2 – 4 = (a-2)(a+2)$
   • $6a^2 = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot a$
2. Riscrivi: $\frac{(a-2)(a+2)}{3a} \cdot \frac{2 \cdot 3 \cdot a \cdot a}{a+2}$.
3. Semplifica:
   • Eliminiamo $(a+2)$ (Num 1 con Den 2).
   • Eliminiamo $3$ (Den 1 con Num 2).
   • Eliminiamo $a$ (Den 1 con Num 2).
4. Risultato: $\frac{(a-2)}{1} \cdot \frac{2a}{1} = 2a(a-2)$.

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Esercizio 3: Divisione (Quadrato Binomio)

Domanda: Calcola $\frac{x^2 – 6x + 9}{x} \div \frac{x-3}{x^2}$.

Risposta Corretta: $x(x-3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Capovolgi (Divisione): $\frac{x^2 – 6x + 9}{x} \cdot \frac{x^2}{x-3}$.
2. Scomposizione:
   • $x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2 = (x-3)(x-3)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x-3)(x-3)}{x} \cdot \frac{x \cdot x}{x-3}$.
4. Semplifica:
   • Eliminiamo $(x-3)$ (Num 1 con Den 2).
   • Eliminiamo $x$ (Den 1 con Num 2).
5. Risultato: $\frac{x-3}{1} \cdot \frac{x}{1} = x(x-3)$.

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Livello Intermedio – Moltiplicazione e Divisione di Frazioni Algebriche (Scomposizioni Miste)

Esercizio 4: Moltiplicazione (Trinomio Speciale)

Domanda: Calcola $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 – 9} \cdot \frac{x-3}{x+2}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione:
   • $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
   • $x^2 – 9 = (x-3)(x+3)$.
2. Riscrivi: $\frac{(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+2}$.
3. Semplifica:
   • Eliminiamo $(x+2)$ (Num 1 con Den 2).
   • Eliminiamo $(x+3)$ (Num 1 con Den 1).
   • Eliminiamo $(x-3)$ (Den 1 con Num 2).
4. Risultato: $\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$.

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Esercizio 5: Divisione (Raccoglimento Parziale)

Domanda: Calcola $\frac{ax + bx + 2a + 2b}{a+b} \div (x+2)$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Capovolgi: $\frac{ax + bx + 2a + 2b}{a+b} \cdot \frac{1}{x+2}$.
2. Scomposizione (Num 1): Racc. Parziale $\rightarrow x(a+b) + 2(a+b) = (a+b)(x+2)$.
3. Riscrivi: $\frac{(a+b)(x+2)}{a+b} \cdot \frac{1}{x+2}$.
4. Semplifica:
   • Eliminiamo $(a+b)$ (Num 1 con Den 1).
   • Eliminiamo $(x+2)$ (Num 1 con Den 2).
5. Risultato: $1$.

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Esercizio 6: Moltiplicazione (Somma/Differenza Cubi)

Domanda: Calcola $\frac{y^3 – 1}{y^2 + y} \cdot \frac{y^2}{y^2 + y + 1}$.

Risposta Corretta: $y-1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione:
   • $y^3 – 1 = (y-1)(y^2+y+1)$.
   • $y^2 + y = y(y+1)$.
   • $y^2 + y + 1$ (Falso quadrato, irriducibile).
2. Riscrivi: $\frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y(y+1)} \cdot \frac{y \cdot y}{y^2 + y + 1}$.
3. Semplifica:
   • Eliminiamo $(y^2+y+1)$ (Num 1 con Den 2).
   • Eliminiamo $y$ (Den 1 con Num 2).
4. Risultato: $\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y}{1} = \frac{y(y-1)}{y+1}$.(Errore mio, l’esercizio non si semplifica come previsto. Correggo l’esercizio).

Esercizio 6 (Riformulato): Calcola $\frac{y^3 – 1}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2 + y + 1}$.

Risposta Corretta (Riformulata): $y-1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione (Num 1): $y^3 – 1 = (y-1)(y^2+y+1)$.
2. Riscrivi: $\frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2 + y + 1}$.
3. Semplifica: Eliminiamo $(y+1)$ e $(y^2+y+1)$.
4. Risultato: $y-1$.

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Livello Avanzato – Moltiplicazione e Divisione di Frazioni Algebriche (Metodi Combinati)

Esercizio 7: Tre Frazioni (Miste)

Domanda: Calcola $\frac{x^2-4}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+2} \div \frac{x-2}{x+1}$.

Risposta Corretta: $x+1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Capovolgi (Divisione): $\frac{x^2-4}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x+1}{x-2}$.
2. Scomposizione (Num 1): $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x+1}{x-2}$.
4. Semplifica:
   • $(x-1)$ (Den 1 con Num 2).
   • $(x+2)$ (Num 1 con Den 2).
   • $(x-2)$ (Num 1 con Den 3).
5. Risultato: Rimane solo $x+1$.

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Esercizio 8: Ruffini

Domanda: Calcola $\frac{x^3 + 2x^2 – 5x – 6}{x^2 – 4} \cdot \frac{x-2}{x+1}$.

Risposta Corretta: $x-3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione (Num 1 – Ruffini): $P(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0$. Divisibile per $(x+1)$.
   • (Con Ruffini) $\rightarrow (x+1)(x^2 + x – 6)$.
   • Scomponiamo $x^2 + x – 6$ (S=1, P=-6 $\rightarrow$ +3, -2) $\rightarrow (x+1)(x+3)(x-2)$.
2. Scomposizione (Den 1): $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x+1)(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{x+1}$.
4. Semplifica:
   • $(x+1)$ (Num 1 con Den 2).
   • $(x-2)$ (Num 1 con Den 1).
5. Risultato: $\frac{x+3}{x+2} \cdot (x-2) = \frac{(x+3)(x-2)}{x+2}$.(Errore mio, non si semplifica. Correggo l’esercizio.)

Esercizio 8 (Riformulato): Calcola $\frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x^2 – 1} \cdot \frac{x+1}{x-2}$.

Risposta Corretta (Riformulata): $x+1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione (Num 1 – Ruffini): $P(1) = 1-2-1+2=0 \rightarrow (x-1)$.
   • (Con Ruffini) $\rightarrow (x-1)(x^2-x-2) \rightarrow (x-1)(x-2)(x+1)$.
2. Scomposizione (Den 1): $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x-1)(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x-2}$.
4. Semplifica:
   • $(x-1)$ (Num 1 con Den 1).
   • $(x+1)$ (Num 1 con Den 1).
   • $(x-2)$ (Num 1 con Den 2).
5. Risultato: Rimane solo $x+1$.

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Esercizio 9: Divisione con Ruffini (Doppia)

Domanda: Calcola $\frac{a^3 – 7a + 6}{a^2 – 3a + 2} \div \frac{a+3}{a-1}$.

Risposta Corretta: $a-1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Capovolgi: $\frac{a^3 – 7a + 6}{a^2 – 3a + 2} \cdot \frac{a-1}{a+3}$.
2. Scomposizione (Num 1 – Ruffini): $P(1) = 1-7+6=0 \rightarrow (a-1)$.
   • (Con Ruffini, attenti allo 0 per $a^2$) $\rightarrow (a-1)(a^2+a-6)$.
   • Scomponiamo $a^2+a-6$ (S=1, P=-6 $\rightarrow$ +3, -2) $\rightarrow (a-1)(a+3)(a-2)$.
3. Scomposizione (Den 1 – Trinomio): $a^2 – 3a + 2$ (S=-3, P=2 $\rightarrow$ -1, -2) $\rightarrow (a-1)(a-2)$.
4. Riscrivi: $\frac{(a-1)(a+3)(a-2)}{(a-1)(a-2)} \cdot \frac{a-1}{a+3}$.
5. Semplifica:
   • $(a-1)$ (Num 1 con Den 1).
   • $(a-2)$ (Num 1 con Den 1).
   • $(a+3)$ (Num 1 con Den 2).
6. Risultato: Rimane solo $a-1$.

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Livello Molto Difficile

Esercizio 10: Espressione Complessa (MCD + Cubi + Trinomio)

Domanda: Calcola $\frac{x^2 – 4xy + 4y^2}{x^3 + 8y^3} \cdot \frac{x^2 – 2xy + 4y^2}{x-2y}$.

Risposta Corretta: $\frac{x-2y}{x+2y}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Scomposizione (Num 1): Quadrato Binomio $\rightarrow (x – 2y)^2$.
2. Scomposizione (Den 1): Somma di Cubi $\rightarrow (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$.
3. Scomposizione (Num 2): $x^2 – 2xy + 4y^2$ (Falso quadrato, irriducibile).
4. Scomposizione (Den 2): $(x-2y)$.
5. Riscrivi: $\frac{(x – 2y)^2}{(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)} \cdot \frac{x^2 – 2xy + 4y^2}{x-2y}$.
6. Semplifica:
   • $(x^2 – 2xy + 4y^2)$ (Den 1 con Num 2).
   • $(x – 2y)$ (Den 2 con uno dei Num 1).
7. Risultato: $\frac{x-2y}{x+2y}$.

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