Esercizi Svolti con le Frazioni Algebriche

La risoluzione di espressioni complesse con frazioni algebriche richiede la padronanza di tutte le regole viste finora. La gerarchia delle operazioni è fondamentale:

1. Parentesi Tonde: Si risolvono prima le operazioni all’interno delle parentesi (spesso somme o sottrazioni che richiedono l’m.c.m.).
2. Moltiplicazioni e Divisioni: Si eseguono nell’ordine in cui appaiono, dopo aver scomposto tutto e capovolto le frazioni per cui si divide.
3. Somme e Sottrazioni: Si eseguono per ultime, trovando l’m.c.m. globale.
4. Semplificazione Finale: Si scompone il numeratore finale per un’ultima semplificazione.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi con le Frazioni Algebriche (Operazioni Singole Miste)

Esercizio 1: Semplificazione + Somma

Domanda: Calcola $\frac{x^2-4}{x^2+2x} + \frac{x-1}{x}$.

Risposta Corretta: $\frac{2x-3}{x}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Semplifica Frazione 1: Scomponi $\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}$.
2. Riscrivi: $\frac{x-2}{x} + \frac{x-1}{x}$.
3. Calcolo (m.c.m. è x): $\frac{(x-2) + (x-1)}{x} = \frac{x-2+x-1}{x}$.
4. Risultato: $\frac{2x-3}{x}$.

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Esercizio 2: Semplificazione + Moltiplicazione

Domanda: Calcola $\frac{a^2+a}{a^2-1} \cdot \frac{a-1}{a}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Scomposizione Totale:
   • Num 1: $a(a+1)$
   • Den 1: $(a-1)(a+1)$
2. Riscrivi: $\frac{a(a+1)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a-1}{a}$.
3. Semplifica (in Croce):
   • $a$ (Num 1 con Den 2)
   • $(a+1)$ (Num 1 con Den 1)
   • $(a-1)$ (Den 1 con Num 2)
4. Risultato: $1$.

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Esercizio 3: Semplificazione + Divisione

Domanda: Calcola $\frac{x^2+4x+4}{x+1} \div \frac{x+2}{x+1}$.

Risposta Corretta: $x+2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Capovolgi: $\frac{x^2+4x+4}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x+2}$.
2. Scomposizione (Num 1): Quadrato Binomio $\rightarrow (x+2)^2$.
3. Riscrivi: $\frac{(x+2)^2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x+2}$.
4. Semplifica:
   • $(x+1)$ (Den 1 con Num 2)
   • Un $(x+2)$ (Num 1 con Den 2)
5. Risultato: $x+2$.

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Livello Intermedio – Esercizi con le Frazioni Algebriche (Combinazione Semplice)

Esercizio 4: Moltiplicazione + Somma

Domanda: Calcola $\frac{3}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{x} + \frac{3}{x}$.

Risposta Corretta: $\frac{3x}{x}$ (che si semplifica in $3$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Priorità (Moltiplicazione): $\frac{3}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
2. Semplifica Moltiplicazione: Eliminiamo $(x+1)$. Rimane $\frac{3(x-1)}{x}$.
3. Riscrivi: $\frac{3(x-1)}{x} + \frac{3}{x} = \frac{3x-3}{x} + \frac{3}{x}$.
4. Calcolo (Somma): $\frac{(3x-3) + 3}{x} = \frac{3x}{x}$.
5. Risultato: $3$.

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Esercizio 5: Divisione + Sottrazione

Domanda: Calcola $\frac{a^2+ab}{a} – \frac{a^2-b^2}{a} \div \frac{a-b}{b}$.

Risposta Corretta: $a$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Priorità (Divisione): $\frac{a^2-b^2}{a} \cdot \frac{b}{a-b}$.
2. Scomposizione: $\frac{(a-b)(a+b)}{a} \cdot \frac{b}{a-b}$.
3. Semplifica Divisione: Eliminiamo $(a-b)$. Rimane $\frac{b(a+b)}{a} = \frac{ab+b^2}{a}$.
4. Riscrivi: $\frac{a^2+ab}{a} – \frac{ab+b^2}{a}$.
5. Calcolo (Sottrazione): $\frac{(a^2+ab) – (ab+b^2)}{a} = \frac{a^2+ab-ab-b^2}{a} = \frac{a^2-b^2}{a}$.(Errore mio, l’esercizio non si semplifica come previsto. Correggo l’esercizio.)

Esercizio 5 (Riformulato): Calcola $\frac{a^2+ab}{a} – \frac{a^2-b^2}{a-b}$.

Risposta Corretta (Riformulata): $b$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Semplifica Frazione 1 (MCD): $\frac{a(a+b)}{a} = a+b$.
2. Semplifica Frazione 2 (Diff. Quad): $\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$.
3. Riscrivi: $(a+b) – (a+b)$.
4. Risultato: $0$. (Ancora non interessante. Terzo tentativo)

Esercizio 5 (Riformulato Correttamente): Calcola $\frac{a^2+ab}{a} – \frac{ab-b^2}{b}$.

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Semplifica Frazione 1 (MCD): $\frac{a(a+b)}{a} = a+b$.
2. Semplifica Frazione 2 (MCD): $\frac{b(a-b)}{b} = a-b$.
3. Riscrivi: $(a+b) – (a-b) = a+b-a+b$.
4. Risultato: $2b$.

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Esercizio 6: Parentesi Tonda (Somma) + Moltiplicazione

Domanda: Calcola $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{xy}{x+y}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Priorità (Parentesi Tonda): $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.
2. Calcolo Somma: m.c.m. è $xy$. $\rightarrow \frac{y+x}{xy}$.
3. Riscrivi: $\frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{x+y}$.
4. Semplifica:
   • $(y+x)$ è uguale a $(x+y)$. Eliminiamo.
   • $xy$. Eliminiamo.
5. Risultato: $1$.

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Livello Avanzato – Esercizi con le Frazioni Algebriche (Metodi Combinati Complessi)

Esercizio 7: Parentesi (Somma) + Divisione

Domanda: Calcola $(\frac{x}{x-1} – \frac{1}{x^2-1}) \div \frac{x+1}{x-1}$.

Risposta Corretta: $\frac{x^2+x-1}{(x+1)^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Priorità (Parentesi Tonda): $\frac{x}{x-1} – \frac{1}{(x-1)(x+1)}$.
2. Calcolo Somma: m.c.m. è $(x-1)(x+1)$.
   • $\frac{x(x+1) – 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+1)}$.
3. Capovolgi (Divisione): $\frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x-1}{x+1}$.
4. Semplifica: Eliminiamo $(x-1)$.
5. Risultato: $\frac{x^2+x-1}{(x+1)(x+1)} = \frac{x^2+x-1}{(x+1)^2}$.

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Esercizio 8: Tre Frazioni Miste (Segni e Semplificazione Finale)

Domanda: Calcola $\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{2-x} – \frac{1}{x+2}$.

Risposta Corretta: $\frac{-4}{(x-2)(x+2)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione e Segni:
   • $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
   • $2-x = -(x-2)$. Invertiamo il segno $\rightarrow -\frac{1}{x-2}$.
2. Riscrivi: $\frac{x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+2}$.
3. m.c.m.: $(x-2)(x+2)$.
4. Calcolo: $\frac{x – 1(x+2) – 1(x-2)}{(x-2)(x+2)}$.
5. Riduci Num: $\frac{x – x – 2 – x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-x}{(x-2)(x+2)}$.(Errore mio, $x-x-2-x+2 = -x$. Correggo l’esercizio per renderlo più interessante).

Esercizio 8 (Riformulato): Calcola $\frac{2x}{x^2-4} + \frac{1}{2-x} – \frac{1}{x+2}$.

Risposta Corretta (Riformulata): $\frac{-4}{(x-2)(x+2)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Riscrivi (Segni): $\frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+2}$.
2. m.c.m.: $(x-2)(x+2)$.
3. Calcolo: $\frac{2x – 1(x+2) – 1(x-2)}{(x-2)(x+2)}$.
4. Riduci Num: $\frac{2x – x – 2 – x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{0}{(x-2)(x+2)} = 0$.(Ancora non ideale. Terzo tentativo.)

Esercizio 8 (Riformulato Correttamente): Calcola $\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{2-x}$.

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Riscrivi (Segni): $\frac{x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2}$.
2. m.c.m.: $(x-2)(x+2)$.
3. Calcolo: $\frac{x – 1(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x – x – 2}{(x-2)(x+2)}$.
4. Risultato: $\frac{-2}{(x-2)(x+2)}$. (Questo è un buon esercizio intermedio).

(Riscrivo l’articolo per 10 esercizi funzionanti, usando le versioni corrette)

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(Nota: Sto ricreando l’articolo da zero per assicurare 10 esercizi validi che si semplifichino correttamente come richiesto)

📝 Articolo: Esercizi di Riepilogo sulle Frazioni Algebriche (REVISIONE CORRETTA)

(Testo introduttivo omesso, vedi sopra)

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Livello Base

(Domanda 1) Calcola $\frac{x^2-4}{x^2+2x} + \frac{x-1}{x}$. (Risultato: $\frac{2x-3}{x}$)

(ID CSS: domanda-1) Svolgimento: $\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} + \frac{x-1}{x} = \frac{x-2}{x} + \frac{x-1}{x} = \frac{x-2+x-1}{x} = \frac{2x-3}{x}$.

(Domanda 2) Calcola $\frac{a^2+a}{a^2-1} \cdot \frac{a-1}{a}$. (Risultato: $1$)

(ID CSS: domanda-2) Svolgimento: $\frac{a(a+1)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a-1}{a}$. Si semplifica tutto.

(Domanda 3) Calcola $\frac{x^2+4x+4}{x+1} \div \frac{x+2}{x+1}$. (Risultato: $x+2$)

(ID CSS: domanda-3) Svolgimento: $\frac{(x+2)^2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x+2} = x+2$.

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Livello Intermedio

(Domanda 4) Calcola $\frac{3}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{x} + \frac{3}{x}$. (Risultato: $3$)

(ID CSS: domanda-4) Svolgimento: $\frac{3}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x} + \frac{3}{x} = \frac{3(x-1)}{x} + \frac{3}{x} = \frac{3x-3+3}{x} = \frac{3x}{x} = 3$.

(Domanda 5) Calcola $\frac{a^2+ab}{a} – \frac{ab-b^2}{b}$. (Risultato: $2b$)

(ID CSS: domanda-5) Svolgimento: $\frac{a(a+b)}{a} – \frac{b(a-b)}{b} = (a+b) – (a-b) = a+b-a+b = 2b$.

(Domanda 6) Calcola $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{xy}{x+y}$. (Risultato: $1$)

(ID CSS: domanda-6) Svolgimento: $(\frac{y+x}{xy}) \cdot \frac{xy}{x+y}$. Si semplifica tutto.

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Livello Avanzato

(Domanda 7) Calcola $(\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x^2-4}) \cdot \frac{x-2}{x+1}$.

Risposta Corretta: $\frac{x^2+2x+2}{(x+2)(x+1)}$

(ID CSS: domanda-7)

1. Parentesi: $\frac{x}{x-2} + \frac{2}{(x-2)(x+2)}$.
2. m.c.m.: $\frac{x(x+2) + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x+2}{(x-2)(x+2)}$.
3. Moltiplica: $\frac{x^2+2x+2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{x+1}$.
4. Semplifica: Elimina $(x-2)$.
5. Risultato: $\frac{x^2+2x+2}{(x+2)(x+1)}$.

(Domanda 8) Calcola $(\frac{a+1}{a-1} – 1) \div \frac{2}{a^2-1}$.

Risposta Corretta: $a+1$

(ID CSS: domanda-8)

1. Parentesi: $\frac{(a+1) – 1(a-1)}{a-1} = \frac{a+1-a+1}{a-1} = \frac{2}{a-1}$.
2. Capovolgi: $\frac{2}{a-1} \cdot \frac{a^2-1}{2}$.
3. Scomposizione: $\frac{2}{a-1} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{2}$.
4. Semplifica: Elimina $2$ e $(a-1)$.
5. Risultato: $a+1$.

(Domanda 9) Calcola $\frac{x^2+x-6}{x+1} \cdot (\frac{1}{x-2} – \frac{1}{x+3})$.

Risposta Corretta: $\frac{5}{x+1}$

(ID CSS: domanda-9)

1. Parentesi: m.c.m. $(x-2)(x+3)$.
   • $\frac{1(x+3) – 1(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x+3-x+2}{(x-2)(x+3)} = \frac{5}{(x-2)(x+3)}$.
2. Scomposizione Frazione 1: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
3. Riscrivi: $\frac{(x+3)(x-2)}{x+1} \cdot \frac{5}{(x-2)(x+3)}$.
4. Semplifica: Elimina $(x+3)$ e $(x-2)$.
5. Risultato: $\frac{5}{x+1}$.

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Livello Molto Difficile – Esercizi con le Frazioni Algebriche

Esercizio 10: Ruffini e Semplificazione Finale Complessa

Domanda: Calcola $\frac{x^3-1}{x^2-2x-3} \cdot \frac{x^2-9}{x^3-x^2} \div \frac{x^2+x+1}{x^2-x}$.

Risposta Corretta: $\frac{(x+3)(x-1)}{x^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Capovolgi: $\frac{x^3-1}{x^2-2x-3} \cdot \frac{x^2-9}{x^3-x^2} \cdot \frac{x^2-x}{x^2+x+1}$.
2. Scomposizione Totale:
   • $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$
   • $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$
   • $x^2-9 = (x-3)(x+3)$
   • $x^3-x^2 = x^2(x-1)$
   • $x^2-x = x(x-1)$
   • $x^2+x+1$ (Irriducibile)
3. Riscrivi e Semplifica:$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-3)(x+1)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x^2(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x^2+x+1}$$
   • $(x-1)$ (Num 1 con Den 2)
   • $(x^2+x+1)$ (Num 1 con Den 3)
   • $(x-3)$ (Den 1 con Num 2)
   • $x$ (Num 3 con $x^2$ in Den 2, che diventa $x$)
4. Rimanenti: $\frac{1}{x+1} \cdot \frac{x+3}{x} \cdot \frac{x-1}{1}$.
5. Risultato: $\frac{(x+3)(x-1)}{x(x+1)}$.(Errore mio, l’ho semplificato troppo. Ricalcolo.)

Svolgimento (Ricalcolato):

$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-3)(x+1)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x^2(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{x^2+x+1}$$

1. $(x-1)$ (Num 1) con $(x-1)$ (Den 2)
2. $(x^2+x+1)$ (Num 1) con $(x^2+x+1)$ (Den 3)
3. $(x-3)$ (Den 1) con $(x-3)$ (Num 2)
4. $x$ (Num 3) con $x^2$ (Den 2) $\rightarrow$ rimane $x$ al Den 2Rimanenti: $\frac{1}{x+1} \cdot \frac{x+3}{x} \cdot \frac{x-1}{1} = \frac{(x+3)(x-1)}{x(x+1)}$.(Questo è il risultato corretto per l’esercizio che ho scritto, ma non ha 4 opzioni semplici. Lo semplifico per il quiz.)

Esercizio 10 (Riformulato per Semplificazione Finale):

Calcola $(\frac{x}{x^2-x-2} + \frac{1}{x-2}) \div \frac{x+1}{x-2}$.

Risposta Corretta (Riformulata): $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Parentesi: $\frac{x}{(x-2)(x+1)} + \frac{1}{x-2}$.
2. m.c.m.: $\frac{x + 1(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+x+1}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}$.
3. Capovolgi: $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)} \cdot \frac{x-2}{x+1}$.
4. Semplifica: Elimina $(x-2)$.
5. Risultato: $\frac{2x+1}{(x+1)^2}$.

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