Esercizi Svolti sulla Somma e Differenza di Frazioni Algebriche

Per sommare o sottrarre frazioni algebriche, il processo richiede cinque passaggi fondamentali:

1. Scomposizione: Scomporre in fattori tutti i denominatori.
2. Trovare l’m.c.m.: Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori (tutti i fattori, comuni e non, con l’esponente più alto).
3. Riscrivere le Frazioni: Trasformare ogni frazione in una equivalente con il nuovo m.c.m.
4. Sommare i Numeratori: Eseguire le somme e le sottrazioni al numeratore (richiede moltiplicazioni e prodotti notevoli).
5. Scomposizione Finale: Scomporre il numeratore risultante e semplificarlo con il denominatore.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base Somma e Differenza di Frazioni Algebriche- (2 Frazioni, Semplificazione Semplice)

Esercizio 1: Semplificazione (MCD)

Domanda: Calcola $\frac{3}{x} + \frac{6}{x^2}$.

Risposta Corretta: $\frac{3(x+2)}{x^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. m.c.m.: $x^2$.
2. Calcolo: $\frac{3(x) + 6(1)}{x^2} = \frac{3x + 6}{x^2}$.
3. Scomposizione Num: Raccogliamo 3 $\rightarrow 3(x + 2)$.
4. Risultato: $\frac{3(x+2)}{x^2}$. (Non si semplifica oltre).

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Esercizio 2: Semplificazione (MCD)

Domanda: Calcola $\frac{2x}{x-1} – \frac{2}{x+1}$.

Risposta Corretta: $\frac{2(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. m.c.m.: $(x-1)(x+1)$.
2. Calcolo: $\frac{2x(x+1) – 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(2x^2+2x) – (2x-2)}{(x-1)(x+1)}$.
3. Riduci Num: $\frac{2x^2+2x-2x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2+2}{(x-1)(x+1)}$.
4. Scomposizione Num: Raccogliamo 2 $\rightarrow 2(x^2 + 1)$.
5. Risultato: $\frac{2(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}$. (Non si semplifica).

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Esercizio 3: Semplificazione (Semplificazione Fattore)

Domanda: Calcola $\frac{x^2+4}{x^2-4} – \frac{x}{x+2}$.

Risposta Corretta: $\frac{2}{x-2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Scomposizione Den: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
2. m.c.m.: $(x-2)(x+2)$.
3. Calcolo: $\frac{(x^2+4) – x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+4 – x^2+2x}{(x-2)(x+2)}$.
4. Riduci Num: $\frac{2x+4}{(x-2)(x+2)}$.
5. Scomposizione Num: Raccogliamo 2 $\rightarrow 2(x+2)$.
6. Semplifica: $\frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}$. Eliminiamo $(x+2)$.
7. Risultato: $\frac{2}{x-2}$.

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Livello Intermedio – Somma e Differenza di Frazioni Algebriche (Scomposizioni Denominatori + Num)

Esercizio 4: Semplificazione (Trinomio Speciale)

Domanda: Calcola $\frac{x}{x-1} + \frac{-2x+2}{(x-1)^2}$.

Risposta Corretta: $\frac{x-2}{x-1}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione Den: $(x-1)$ e $(x-1)^2$.
2. m.c.m.: $(x-1)^2$.
3. Calcolo: $\frac{x(x-1) + (-2x+2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-x-2x+2}{(x-1)^2}$.
4. Riduci Num: $\frac{x^2-3x+2}{(x-1)^2}$.
5. Scomposizione Num: Trinomio Speciale (S=-3, P=2 $\rightarrow$ -1, -2) $\rightarrow (x-1)(x-2)$.
6. Semplifica: $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)^2}$. Eliminiamo un $(x-1)$.
7. Risultato: $\frac{x-2}{x-1}$.

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Esercizio 5: Semplificazione (MCD + Fattore)

Domanda: Calcola $\frac{3x+1}{x^2-x-6} + \frac{2}{x+2}$.

Risposta Corretta: $\frac{5(x-1)}{(x-3)(x+2)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Scomposizione Den: $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.
2. m.c.m.: $(x-3)(x+2)$.
3. Calcolo: $\frac{(3x+1) + 2(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x+1 + 2x-6}{(x-3)(x+2)}$.
4. Riduci Num: $\frac{5x-5}{(x-3)(x+2)}$.
5. Scomposizione Num: Raccogliamo 5 $\rightarrow 5(x-1)$.
6. Risultato: $\frac{5(x-1)}{(x-3)(x+2)}$. (Non si semplifica).

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Esercizio 6: Semplificazione (Quadrato Binomio)

Domanda: Calcola $\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2} – \frac{2ab}{(a-b)^2}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. m.c.m.: I denominatori sono uguali $\rightarrow (a-b)^2$.
2. Calcolo: $\frac{(a^2+b^2) – (2ab)}{(a-b)^2} = \frac{a^2+b^2-2ab}{(a-b)^2}$.
3. Riduci Num: Riorganizziamo $\rightarrow a^2-2ab+b^2$.
4. Scomposizione Num: Riconosciamo il Quadrato di Binomio $\rightarrow (a-b)^2$.
5. Semplifica: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}$.
6. Risultato: $1$.

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Livello Avanzato – Somma e Differenza di Frazioni Algebriche (3 Frazioni, Metodi Misti)

Esercizio 7: Semplificazione (MCD + Fattore)

Domanda: Calcola $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} – \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$.

Risposta Corretta: $\frac{2b}{a-b}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Scomposizione Den: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
2. m.c.m.: $(a-b)(a+b)$.
3. Calcolo: $\frac{(a^2+b^2) – a(a-b) + b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$.
4. Riduci Num: $\frac{a^2+b^2 – a^2+ab + ab+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)}$.
5. Scomposizione Num: Raccogliamo $2b \rightarrow 2b(b + a)$ (o $2b(a+b)$).
6. Semplifica: $\frac{2b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$. Eliminiamo $(a+b)$.
7. Risultato: $\frac{2b}{a-b}$.

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Esercizio 8: Semplificazione (Somma Cubi + Quadrato Binomio)

Domanda: Calcola $\frac{a^2-ab}{a^3-b^3} – \frac{b}{a^2+ab+b^2}$.

Risposta Corretta: $\frac{a-b}{a^2+ab+b^2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione Den: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
2. m.c.m.: $(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
3. Calcolo: $\frac{(a^2-ab) – b(a-b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$.
4. Riduci Num: $\frac{a^2-ab – ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$.
5. Scomposizione Num: Riconosciamo il Quadrato di Binomio $\rightarrow (a-b)^2$.
6. Semplifica: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$. Eliminiamo un $(a-b)$.
7. Risultato: $\frac{a-b}{a^2+ab+b^2}$.

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Esercizio 9: Ruffini e Metodi Misti

Domanda: Calcola $\frac{x+1}{x^3-2x^2-x+2} + \frac{1}{x^2-3x+2}$.

Risposta Corretta: $\frac{2}{(x-1)(x-2)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Scomposizione Den 1 (Ruffini P(1)): $P(1)=1-2-1+2=0$. Dividendo per $(x-1)$ si ottiene $(x^2-x-2)$.
   • Scomponendo ancora: $(x-1)(x-2)(x+1)$.
2. Scomposizione Den 2 (Trinomio): $x^2-3x+2 \rightarrow (x-1)(x-2)$.
3. m.c.m.: $(x-1)(x-2)(x+1)$.
4. Calcolo: $\frac{(x+1) + 1(x+1)}{(x-1)(x-2)(x+1)}$.
5. Riduci Num: $\frac{x+1+x+1}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{2x+2}{(x-1)(x-2)(x+1)}$.
6. Scomposizione Num: Raccogliamo 2 $\rightarrow 2(x+1)$.
7. Semplifica: $\frac{2(x+1)}{(x-1)(x-2)(x+1)}$. Eliminiamo $(x+1)$.
8. Risultato: $\frac{2}{(x-1)(x-2)}$.

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Livello Molto Difficile

Esercizio 10: Gestione Segni e Scomposizione Finale

Domanda: Calcola $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} – \frac{1}{1-x} + \frac{2}{x^2-1}$.

Risposta Corretta: $\frac{3}{x-1}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Scomposizione e Segni:
   • $1-x = -(x-1)$. Invertiamo il segno della frazione $\rightarrow -\frac{1}{-(x-1)} = +\frac{1}{x-1}$.
   • $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
2. Riscrivi l’Espressione: $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)(x+1)}$.
3. m.c.m.: $(x-1)(x+1)$.
4. Calcolo: $\frac{1(x+1) + 1(x-1) + 1(x+1) + 2}{(x-1)(x+1)}$.
5. Riduci Num: $\frac{x+1 + x-1 + x+1 + 2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+3}{(x-1)(x+1)}$.
6. Scomposizione Num: Raccogliamo 3 $\rightarrow 3(x+1)$.
7. Semplifica: $\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}$. Eliminiamo $(x+1)$.
8. Risultato: $\frac{3}{x-1}$.

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