Esercizi Svolti sul Cubo di Binomio

Il Cubo di Binomio è un prodotto notevole che espande $(A+B)$ o $(A-B)$ alla terza potenza. Il risultato è sempre un quadrinomio (un polinomio con quattro termini).

Le due formule generali sono:

• Somma: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$
• Differenza: $(A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3$

In sintesi, il risultato è dato da:

1. Il cubo del primo termine ($A^3$).
2. Il cubo del secondo termine ($\pm B^3$).
3. Il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo ($\pm 3A^2B$).
4. Il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo ($+ 3AB^2$).

Vengono presentati 5 esercizi che rappresentano le casistiche del quiz associato.

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Esercizio 1: Caso Base di Cubo di binomio (Somma)

Domanda: Calcola il risultato di $(x + 2)^3$.

Risposta Corretta: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

Applichiamo la formula $(A + B)^3$, dove $A=x$ e $B=2$.

1. Cubo del primo (A³): $x^3$
2. Cubo del secondo (B³): $2^3 = +8$
3. Triplo prodotto (3A²B): $3 \cdot (x)^2 \cdot (2) = +6x^2$
4. Triplo prodotto (3AB²): $3 \cdot (x) \cdot (2)^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = +12x$
5. Risultato Finale: Mettendo in ordine: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

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Esercizio 2: Caso Base (Differenza)

Domanda: Calcola il risultato di $(a – 3)^3$.

Risposta Corretta: $a^3 – 9a^2 + 27a – 27$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Applichiamo la formula $(A – B)^3$, dove $A=a$ e $B=3$. Attenzione ai segni.

1. Cubo del primo (A³): $a^3$
2. Cubo del secondo (-B³): $(-3)^3 = -27$
3. Triplo prodotto (-3A²B): $-3 \cdot (a)^2 \cdot (3) = -9a^2$
4. Triplo prodotto (+3AB²): $+3 \cdot (a) \cdot (3)^2 = 3 \cdot a \cdot 9 = +27a$
5. Risultato Finale: $a^3 – 9a^2 + 27a – 27$.

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Esercizio 3: Con Coefficienti e Lettere

Domanda: Qual è il risultato di $(2x + y)^3$?

Risposta Corretta: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Applichiamo la formula $(A + B)^3$, dove $A=2x$ e $B=y$.

1. Cubo del primo (A³): $(2x)^3 = 8x^3$
2. Cubo del secondo (B³): $y^3$
3. Triplo prodotto (3A²B): $3 \cdot (2x)^2 \cdot (y) = 3 \cdot (4x^2) \cdot y = +12x^2y$
4. Triplo prodotto (3AB²): $3 \cdot (2x) \cdot (y)^2 = +6xy^2$
5. Risultato Finale: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$.

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Esercizio 4: Con Segno Negativo Iniziale

Domanda: Calcola $(-b + 1)^3$.

Risposta Corretta: $-b^3 + 3b^2 – 3b + 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Applichiamo la formula $(A + B)^3$, dove $A=-b$ e $B=1$.

1. Cubo del primo (A³): $(-b)^3 = -b^3$
2. Cubo del secondo (B³): $1^3 = +1$
3. Triplo prodotto (3A²B): $3 \cdot (-b)^2 \cdot (1) = 3 \cdot (b^2) \cdot 1 = +3b^2$
4. Triplo prodotto (3AB²): $3 \cdot (-b) \cdot (1)^2 = -3b$
5. Risultato Finale: Mettendo in ordine: $-b^3 + 3b^2 – 3b + 1$.

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Esercizio 5: Con Esponenti e Frazioni

Domanda: Risolvi $(a^2 – \frac{1}{2})^3$.

Risposta Corretta: $a^6 – \frac{3}{2}a^4 + \frac{3}{4}a^2 – \frac{1}{8}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Applichiamo la formula $(A – B)^3$, dove $A=a^2$ e $B=\frac{1}{2}$.

1. Cubo del primo (A³): $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
2. Cubo del secondo (-B³): $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$
3. Triplo prodotto (-3A²B): $-3 \cdot (a^2)^2 \cdot (\frac{1}{2}) = -3 \cdot a^4 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}a^4$
4. Triplo prodotto (+3AB²): $+3 \cdot (a^2) \cdot (\frac{1}{2})^2 = 3 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{4} = +\frac{3}{4}a^2$
5. Risultato Finale: $a^6 – \frac{3}{2}a^4 + \frac{3}{4}a^2 – \frac{1}{8}$.

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