Esercizi Svolti sul Prodotto Somma per Differenza

Il prodotto della Somma di due monomi per la loro Differenza è il più semplice tra i prodotti notevoli:

$$(A + B)(A – B) = A^2 – B^2$$

Questa formula è valida anche per blocchi complessi di termini, purché si identifichi correttamente il termine $A$ (che mantiene il segno) e il termine $B$ (che cambia segno).

Vengono presentati 8 esercizi che rappresentano tutte le casistiche del quiz associato.

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Esercizio 1: Caso Base di Somma per Differenza

Domanda: Calcola il risultato di $(x + 5)(x – 5)$.

Risposta Corretta: $x^2 – 25$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

$A=x$ e $B=5$. Risultato: $x^2 – 5^2 = x^2 – 25$.

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Esercizio 2: Con Coefficienti e Ordine Inverso

Domanda: Calcola il risultato di $(2a – 3b)(2a + 3b)$.

Risposta Corretta: $4a^2 – 9b^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

$A=2a$ e $B=3b$. Risultato: $(2a)^2 – (3b)^2 = 4a^2 – 9b^2$.

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Esercizio 3: Con Esponenti Maggiori

Domanda: Qual è il risultato di $(x^2 + 1)(x^2 – 1)$.

Risposta Corretta: $x^4 – 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

$A=x^2$ e $B=1$. Risultato: $(x^2)^2 – 1^2 = x^4 – 1$.

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Esercizio 4: Con Frazioni e Segni

Domanda: Risolvi $(\frac{1}{3}y + 2)(\frac{1}{3}y – 2)$.

Risposta Corretta: $\frac{1}{9}y^2 – 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

$A=\frac{1}{3}y$ e $B=2$. Risultato: $(\frac{1}{3}y)^2 – 2^2 = \frac{1}{9}y^2 – 4$.

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Esercizio 5: Termine Negativo Iniziale

Domanda: Calcola il risultato di $(-x + y)(-x – y)$.

Risposta Corposta: $x^2 – y^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

In questo caso, il termine $A$ (che mantiene il segno) è $-x$. Il termine $B$ (che cambia segno) è $y$.

Risultato: $A^2 – B^2 = (-x)^2 – (y)^2 = x^2 – y^2$.

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Esercizio 6: Ordine Cambiato e Segni

Domanda: Calcola il risultato di $(4a + b)(-b + 4a)$.

Risposta Corretta: $16a^2 – b^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Riorganizziamo il secondo binomio: $(-b + 4a)$ è equivalente a $(4a – b)$.

L’espressione è $(4a + b)(4a – b)$.

$A=4a$ e $B=b$. Risultato: $(4a)^2 – (b)^2 = 16a^2 – b^2$.

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Esercizio 7: Differenza di Quadrati di Ordine Superiore (Quattro Termini)

Domanda: Calcola il risultato di $(x + y – 3z + xy)(x – y – 3z – xy)$.

Risposta Corretta: $(x – 3z)^2 – (y + xy)^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

Identifichiamo i blocchi che costituiscono $A$ e $B$.

1. Blocco A (Segno Invariato): I termini con lo stesso segno sono $x$ e $-3z$. $\rightarrow$ $A = (x – 3z)$
2. Blocco B (Segno Cambiato): I termini con segni opposti sono $y$ (da $+y$ a $-y$) e $xy$ (da $+xy$ a $-xy$).$\rightarrow$ $B = (y + xy)$L’espressione è: $A^2 – B^2 = (x – 3z)^2 – (y + xy)^2$.

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Esercizio 8: Ordine Inverso e Parentesi Annidate

Domanda: Risolvi l’espressione $((a + b) + c) \cdot (c – (a + b))$.

Risposta Corretta: $c^2 – a^2 – 2ab – b^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Riconoscimento del Blocco A e B:
   • Termine A (Invariato): $c$ (positivo in entrambi i fattori). $\rightarrow A = c$
   • Termine B (Cambiato): $(a + b)$ (da $+(a + b)$ a $-(a + b)$). $\rightarrow B = (a + b)$
2. Applica la Formula: $A^2 – B^2 = c^2 – (a + b)^2$.
3. Espandi il Quadrato: Espandiamo il quadrato di binomio: $c^2 – (a^2 + 2ab + b^2)$.
4. Risultato Finale: Distribuzione del segno negativo: $c^2 – a^2 – 2ab – b^2$.

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