Esercizi Svolti sul Quadrato di Binomio

Il Quadrato di Binomio è uno dei prodotti notevoli fondamentali. Riconoscerlo e applicare la sua formula velocizza notevolmente il calcolo delle espressioni.

La formula generale è:

$$(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$$

In sintesi, il risultato è dato da:

1. Il quadrato del primo termine ($A^2$).
2. Il quadrato del secondo termine ($+B^2$).
3. Il doppio prodotto del primo per il secondo termine ($\pm 2AB$).

Vengono presentati 5 esercizi che rappresentano le casistiche del quiz associato.

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Esercizio 1: Quadrato di binomio Semplice (Somma)

Domanda: Calcola il risultato di $(x + 4)^2$.

Risposta Corretta: $x^2 + 8x + 16$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

Applichiamo la formula $(A + B)^2$, dove $A=x$ e $B=4$.

1. Quadrato del primo (A²): $x^2$
2. Quadrato del secondo (B²): $4^2 = +16$
3. Doppio Prodotto (+2AB): $2 \cdot x \cdot 4 = +8x$
4. Risultato Finale: $x^2 + 8x + 16$.

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Esercizio 2: Quadrato di binomio Semplice (Differenza)

Domanda: Calcola il risultato di $(2a – 3)^2$.

Risposta Corretta: $4a^2 – 12a + 9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Applichiamo la formula $(A – B)^2$, dove $A=2a$ e $B=3$.

1. Quadrato del primo (A²): $(2a)^2 = 4a^2$
2. Quadrato del secondo (B²): $(-3)^2$ o $3^2 = +9$
3. Doppio Prodotto (-2AB): $-2 \cdot (2a) \cdot (3) = -12a$
4. Risultato Finale: $4a^2 – 12a + 9$.

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Esercizio 3: Quadrato con Lettere Miste ed Esponenti

Domanda: Qual è il risultato di $(x^3 + 5y)^2$?

Risposta Corretta: $x^6 + 10x^3y + 25y^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Applichiamo la formula con $A=x^3$ e $B=5y$.

1. Quadrato del primo (A²): $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$
2. Quadrato del secondo (B²): $(5y)^2 = +25y^2$
3. Doppio Prodotto (+2AB): $2 \cdot (x^3) \cdot (5y) = +10x^3y$
4. Risultato Finale: $x^6 + 10x^3y + 25y^2$.

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Esercizio 4: Quadrato con Frazioni

Domanda: Risolvi $(a – \frac{1}{2}b)^2$.

Risposta Corretta: $a^2 – ab + \frac{1}{4}b^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Applichiamo la formula con $A=a$ e $B=\frac{1}{2}b$.

1. Quadrato del primo (A²): $a^2$
2. Quadrato del secondo (B²): $(-\frac{1}{2}b)^2 = +(\frac{1}{2})^2 b^2 = +\frac{1}{4}b^2$
3. Doppio Prodotto (-2AB): $-2 \cdot (a) \cdot (\frac{1}{2}b) = -ab$ (il 2 si semplifica con il $\frac{1}{2}$)
4. Risultato Finale: $a^2 – ab + \frac{1}{4}b^2$.

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Esercizio 5: Quadrato con Segno Iniziale Negativo

Domanda: Calcola $(-4x + 1)^2$.

Risposta Corretta: $16x^2 – 8x + 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Possiamo risolvere direttamente con $A=-4x$ e $B=1$.

1. Quadrato del primo (A²): $(-4x)^2 = +16x^2$ (il quadrato rende sempre positivo)
2. Quadrato del secondo (B²): $1^2 = +1$
3. Doppio Prodotto (+2AB): $2 \cdot (-4x) \cdot (1) = -8x$
4. Risultato Finale: $16x^2 – 8x + 1$.

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