Esercizi Svolti sulla Moltiplicazione tra Polinomi

La moltiplicazione tra polinomi è un’operazione fondamentale che si basa su due concetti chiave: la proprietà distributiva e le proprietà delle potenze (quando moltiplichi lettere uguali, sommi gli esponenti).

Analizzeremo due casi principali: la moltiplicazione di un monomio per un polinomio e la moltiplicazione tra due polinomi.

In questa guida, vedremo 5 esercizi svolti che corrispondono al nostro quiz.

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Esercizio 1: Monomio per Polinomio (Semplice)

Domanda: Qual è il risultato di $2a \cdot (3a + 5b)$?

Risposta Corretta: $6a^2 + 10ab$

Svolgimento e Commento:

Applichiamo la proprietà distributiva: moltiplichiamo il monomio esterno ($2a$) per ciascun termine all’interno della parentesi.

1. Primo Termine: $(2a) \cdot (3a)$
   • Numeri: $2 \cdot 3 = 6$
   • Lettere: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$
   • Risultato: $6a^2$
2. Secondo Termine: $(2a) \cdot (5b)$
   • Numeri: $2 \cdot 5 = 10$
   • Lettere: $a \cdot b = ab$
   • Risultato: $10ab$
3. Risultato Finale: Uniamo i risultati: $6a^2 + 10ab$.

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Esercizio 2: Monomio per Polinomio (con Segni)

Domanda: Calcola il prodotto $-3x^2 \cdot (2x^2 – 4x + 1)$.

Risposta Corretta: $-6x^4 + 12x^3 – 3x^2$

Svolgimento e Commento:

Massima attenzione alla regola dei segni (meno per meno fa più, meno per più fa meno).

1. Primo Termine: $(-3x^2) \cdot (2x^2)$
   • Segno: $(-) \cdot (+) = -$
   • Numeri: $3 \cdot 2 = 6$
   • Lettere: $x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4$
   • Risultato: $-6x^4$
2. Secondo Termine: $(-3x^2) \cdot (-4x)$
   • Segno: $(-) \cdot (-) = +$
   • Numeri: $3 \cdot 4 = 12$
   • Lettere: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$
   • Risultato: $+12x^3$
3. Terzo Termine: $(-3x^2) \cdot (+1)$
   • Risultato: $-3x^2$
4. Risultato Finale: $-6x^4 + 12x^3 – 3x^2$.

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Esercizio 3: Polinomio per Polinomio (Binomio per Binomio)

Domanda: Qual è il risultato di $(x + 2) \cdot (y + 3)$?

Risposta Corretta: $xy + 3x + 2y + 6$

Svolgimento e Commento:

Dobbiamo moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo. Spesso si usa l’acronimo F.O.I.L. (First, Outer, Inner, Last), ma è sufficiente essere ordinati.

1. Primo termine (x) per il secondo binomio:
   • $(x) \cdot (y) = xy$
   • $(x) \cdot (+3) = +3x$
2. Secondo termine (+2) per il secondo binomio:
   • $(+2) \cdot (y) = +2y$
   • $(+2) \cdot (+3) = +6$
3. Risultato Finale: Uniamo tutti i pezzi. Nessuno di questi è un monomio simile, quindi non possiamo sommare oltre.
   • $xy + 3x + 2y + 6$

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Esercizio 4: Polinomio per Polinomio (con Monomi Simili)

Domanda: Calcola $(2a + 3) \cdot (a – 5)$.

Risposta Corretta: $2a^2 – 7a – 15$

Svolgimento e Commento:

Questo è il caso più comune. Dopo la moltiplicazione, dovremo ridurre i monomi simili.

1. Primo termine (2a) per il secondo binomio:
   • $(2a) \cdot (a) = 2a^2$
   • $(2a) \cdot (-5) = -10a$
2. Secondo termine (+3) per il secondo binomio:
   • $(+3) \cdot (a) = +3a$
   • $(+3) \cdot (-5) = -15$
3. Unisci e Riduci: Mettiamo tutto insieme:
   • $2a^2 – 10a + 3a – 15$
4. Somma i Monomi Simili: I termini centrali ($-10a$ e $+3a$) sono simili.
   • $(-10 + 3)a = -7a$
5. Risultato Finale: $2a^2 – 7a – 15$.

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Esercizio 5: Polinomio per Polinomio (Binomio per Trinomio)

Domanda: Calcola il prodotto $(x – 1) \cdot (x^2 + x + 1)$.

Risposta Corretta: $x^3 – 1$

Svolgimento e Commento:

Stesso identico procedimento. Il primo polinomio ha 2 termini, il secondo ne ha 3. Il risultato avrà $2 \times 3 = 6$ termini, prima della riduzione.

1. Primo termine (x) per il trinomio:
   • $(x) \cdot (x^2) = x^3$
   • $(x) \cdot (x) = +x^2$
   • $(x) \cdot (1) = +x$
2. Secondo termine (-1) per il trinomio:
   • $(-1) \cdot (x^2) = -x^2$
   • $(-1) \cdot (x) = -x$
   • $(-1) \cdot (1) = -1$
3. Unisci e Riduci: Mettiamo tutto in fila:
   • $x^3 + x^2 + x – x^2 – x – 1$
4. Somma i Monomi Simili: Osserva cosa succede:
   • $+x^2$ e $-x^2$ si annullano (fanno 0).
   • $+x$ e $-x$ si annullano (fanno 0).
5. Risultato Finale: Rimangono solo il primo e l’ultimo termine: $x^3 – 1$. (Questo, tra l’altro, è il prodotto notevole “Differenza di Cubi” che vedremo nelle scomposizioni!)

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