Il Trinomio Speciale di secondo grado (o trinomio caratteristico) è un polinomio di secondo grado della forma $x^2 + sx + p$ e la sua scomposizione si basa sulla ricerca di due numeri, $a$ e $b$, tali che:
- La loro Somma sia uguale al coefficiente della $x$ (cioè $s$).
- Il loro Prodotto sia uguale al termine noto (cioè $p$).
Una volta trovati $n_1$ e $n_2$, la scomposizione è: $(x + a)(x + b)$.
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.
INDICE
Livello Base
Esercizio 1: Scomposizione del trinomio speciale di secondo grado – Somma e Prodotto Positivi
Domanda: Scomponi il trinomio $x^2 + 5x + 6$.
Risposta Corretta: $(x + 2)(x + 3)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Identifica S e P: Somma $S = +5$, Prodotto $P = +6$.
- Cerca i Numeri: Cerchiamo due numeri il cui prodotto è 6 (coppie: 1,6; 2,3).
- Verifica Somma: La coppia (2, 3) ha somma $2+3 = 5$.
- Risultato Finale: I numeri sono +2 e +3. La scomposizione è $(x + 2)(x + 3)$.
Esercizio 2: Scomposizione del trinomio speciale di secondo grado – Somma e Prodotto Positivi (Altra Variabile)
Domanda: Scomponi $a^2 + 7a + 10$.
Risposta Corretta: $(a + 2)(a + 5)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Identifica S e P: $S = +7$, $P = +10$.
- Cerca i Numeri: Prodotto 10 (coppie: 1,10; 2,5).
- Verifica Somma: La coppia (2, 5) ha somma $2+5 = 7$.
- Risultato Finale: $(a + 2)(a + 5)$.
Esercizio 3: Somma e Prodotto Positivi (Numeri Diversi)
Domanda: Scomponi $y^2 + 8y + 15$.
Risposta Corretta: $(y + 3)(y + 5)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Identifica S e P: $S = +8$, $P = +15$.
- Cerca i Numeri: Prodotto 15 (coppie: 1,15; 3,5).
- Verifica Somma: La coppia (3, 5) ha somma $3+5 = 8$.
- Risultato Finale: $(y + 3)(y + 5)$.
Livello Intermedio
Esercizio 4: Somma Negativa, Prodotto Positivo
Domanda: Scomponi $x^2 – 5x + 6$.
Risposta Corretta: $(x – 2)(x – 3)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Identifica S e P: $S = -5$, $P = +6$.
- Analisi Segni: Prodotto positivo e Somma negativa $\rightarrow$ entrambi i numeri sono negativi.
- Cerca i Numeri: Prodotto 6 (coppie: -1,-6; -2,-3).
- Verifica Somma: La coppia (-2, -3) ha somma $(-2)+(-3) = -5$.
- Risultato Finale: $(x – 2)(x – 3)$.
Esercizio 5: Somma Positiva, Prodotto Negativo
Domanda: Scomponi $x^2 + 3x – 10$.
Risposta Corretta: $(x + 5)(x – 2)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Identifica S e P: $S = +3$, $P = -10$.
- Analisi Segni: Prodotto negativo $\rightarrow$ un numero è positivo, l’altro è negativo. La somma è positiva, quindi il numero positivo è più grande (in valore assoluto).
- Cerca i Numeri: Prodotto -10 (coppie: -1,10; -2,5).
- Verifica Somma: La coppia (-2, 5) ha somma $-2+5 = +3$.
- Risultato Finale: $(x – 2)(x + 5)$.
Esercizio 6: Somma Negativa, Prodotto Negativo
Domanda: Scomponi $b^2 – 4b – 12$.
Risposta Corretta: $(b – 6)(b + 2)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Identifica S e P: $S = -4$, $P = -12$.
- Analisi Segni: Prodotto negativo $\rightarrow$ un numero positivo, uno negativo. Somma negativa $\rightarrow$ il numero negativo è più grande (in valore assoluto).
- Cerca i Numeri: Prodotto -12 (coppie: 1,-12; 2,-6; 3,-4).
- Verifica Somma: La coppia (2, -6) ha somma $2+(-6) = -4$.
- Risultato Finale: $(b + 2)(b – 6)$.
Livello Avanzato
Esercizio 7: Numeri più Grandi
Domanda: Scomponi $x^2 + 15x + 56$.
Risposta Corretta: $(x + 7)(x + 8)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Identifica S e P: $S = +15$, $P = +56$.
- Cerca i Numeri: Entrambi positivi. Cerchiamo le coppie del 56 (1,56; 2,28; 4,14; 7,8).
- Verifica Somma: La coppia (7, 8) ha somma $7+8 = 15$.
- Risultato Finale: $(x + 7)(x + 8)$.
Esercizio 8: Raccoglimento Totale (MCD) Iniziale
Domanda: Scomponi $3a^2 + 15a + 18$.
Risposta Corretta: $3(a + 2)(a + 3)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Raccoglimento Totale: Il trinomio non è “speciale” (ha un 3 davanti). Controlliamo l’MCD. L’MCD è 3.
- Esegui Raccoglimento: $3(a^2 + 5a + 6)$.
- Analizza la Parentesi: Ora scomponiamo il trinomio speciale $(a^2 + 5a + 6)$.
- Identifica S e P: $S = +5$, $P = +6$. I numeri sono (2, 3).
- Risultato Finale: $3(a + 2)(a + 3)$.
Esercizio 9: Numeri Negativi più Grandi
Domanda: Scomponi $x^2 – 12x + 35$.
Risposta Corretta: $(x – 5)(x – 7)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Identifica S e P: $S = -12$, $P = +35$.
- Analisi Segni: Prodotto positivo, Somma negativa $\rightarrow$ entrambi negativi.
- Cerca i Numeri: Prodotto 35 (coppie: -1,-35; -5,-7).
- Verifica Somma: La coppia (-5, -7) ha somma $(-5)+(-7) = -12$.
- Risultato Finale: $(x – 5)(x – 7)$.
Livello Molto Difficile
Esercizio 10: Raccoglimento Totale Negativo
Domanda: Scomponi $-x^2 + 7x – 10$.
Risposta Corretta: $-(x – 2)(x – 5)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
Per usare il metodo Somma-Prodotto, il termine $x^2$ deve essere positivo.
- Raccoglimento Totale: Raccogliamo $-1$ (o semplicemente “-“) da tutti i termini, invertendo tutti i segni.
- Esegui Raccoglimento: $-(x^2 – 7x + 10)$.
- Analizza la Parentesi: Scomponiamo $(x^2 – 7x + 10)$.
- Identifica S e P: $S = -7$, $P = +10$. Entrambi i numeri sono negativi.
- Cerca i Numeri: Prodotto 10 (coppie: -1,-10; -2,-5).
- Verifica Somma: La coppia (-2, -5) ha somma $(-2)+(-5) = -7$.
- Scomposizione Parziale: $(x – 2)(x – 5)$.
- Risultato Finale: Non dimentichiamo il $-1$ raccolto all’inizio: $-(x – 2)(x – 5)$.
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