La Divisione con Ruffini è un metodo efficiente per trovare il quoziente $Q(x)$ e il resto $R$ (che è sempre un numero) quando si divide per un binomio $(x – a)$.
La procedura richiede la creazione di una tabella specifica dove si inseriscono i coefficienti del polinomio dividendo e il valore $a$ (con segno opposto a quello nel divisore).
Vengono presentati 5 esercizi che rappresentano le casistiche principali.
Esercizio 1: (Divisione con Ruffini) Caso Base (Resto 0)
Domanda: Calcola il risultato di $(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2)$.
Risposta Corretta: $Q(x) = x + 3$; $R = 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Impostazione: Il divisore è $(x + 2)$. Cerchiamo il valore che lo annulla: $x = -2$. Inseriamo i coefficienti del dividendo (1, 5, 6) e il valore -2 nello schema.
- Calcolo (Tabella di Ruffini):
| 1 (per x2) | 5 (per x) | 6 (termine noto) | |
| -2 | -2 | -6 | |
| 1 | 3 | 0 |
- Lettura Risultato:
- L’ultimo numero in basso a destra è il Resto (R = 0).
- I numeri rimanenti (1, 3) sono i coefficienti del quoziente $Q(x)$. Poiché siamo partiti da un grado 2, il quoziente avrà grado 1.
- $Q(x) = 1x + 3$.
Esercizio 2: Divisione(Divisione con Ruffini) con Resto
Domanda: Calcola il risultato di $(2a^3 + 5a^2 – a – 5) \div (a – 1)$.
Risposta Corretta: $Q(a) = 2a^2 + 7a + 6$; $R = 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Impostazione: Il divisore è $(a – 1)$. Il valore da usare è $a = 1$. I coefficienti sono (2, 5, -1, -5).
- Calcolo (Tabella di Ruffini):
| 2 (per a3) | 5 (per a2) | -1 (per a) | -5 (termine noto) | |
| 1 | 2 | 7 | 6 | |
| 2 | 7 | 6 | 1 |
- Lettura Risultato:
- Resto R = 1.
- Quoziente (di grado 2): $Q(a) = 2a^2 + 7a + 6$.
Esercizio 3: Polinomio Incompleto (Termini Mancanti)
Domanda: Calcola $(y^3 – 8) \div (y – 2)$.
Risposta Corretta: $Q(y) = y^2 + 2y + 4$; $R = 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Impostazione: Il dividendo è incompleto. Dobbiamo inserire zero per i termini mancanti ($y^2$ e $y$). I coefficienti sono (1, 0, 0, -8).
- Il divisore è $(y – 2)$. Il valore da usare è $y = 2$.
- Calcolo (Tabella di Ruffini):
| 1 (per y3) | 0 (per y2) | 0 (per y) | -8 (termine noto) | |
| 2 | 2 | 4 | 8 | |
| 1 | 2 | 4 | 0 |
- Lettura Risultato:
- Resto R = 0.
- Quoziente (di grado 2): $Q(y) = y^2 + 2y + 4$.
Esercizio 4: Grado Superiore (Grado 4)
Domanda: Calcola $(x^4 – 3x^2 + 2x – 1) \div (x + 1)$.
Risposta Corretta: $Q(x) = x^3 – x^2 – 2x + 4$; $R = -5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Impostazione: Dividendo incompleto (manca $x^3$). Coefficienti: (1, 0, -3, 2, -1).
- Divisore $(x + 1)$. Valore da usare: $x = -1$.
- Calcolo (Tabella di Ruffini):
| 1 (per x4) | 0 (per x3) | -3 (per x2) | 2 (per x) | -1 (termine noto) | |
| -1 | -1 | 1 | 2 | -4 | |
| 1 | -1 | -2 | 4 | -5 |
- Lettura Risultato:
- Resto R = -5.
- Quoziente (di grado 3): $Q(x) = x^3 – x^2 – 2x + 4$.
Esercizio 5: Divisore con Frazione
Domanda: Calcola $(2x^2 – 5x + 2) \div (x – \frac{1}{2})$.
Risposta Corretta: $Q(x) = 2x – 4$; $R = 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Impostazione: Divisore $(x – \frac{1}{2})$. Valore da usare: $x = \frac{1}{2}$. Coefficienti: (2, -5, 2).
- Calcolo (Tabella di Ruffini):
| 2 (per x2) | -5 (per x) | 2 (termine noto) | |
| 1/2 | 1 | -2 | |
| 2 | -4 | 0 |
- Lettura Risultato:
- Resto R = 0.
- Quoziente (di grado 1): $Q(x) = 2x – 4$.
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