Esercizi Svolti sulla Divisione Polinomiale

La divisione polinomiale è un’operazione che permette di dividere un polinomio dividendo $D(x)$ per un polinomio divisore $d(x)$. Il risultato produce un polinomio quoziente $Q(x)$ e un polinomio resto $R(x)$, il cui grado è sempre inferiore a quello del divisore.

L’algoritmo è molto simile a quello della divisione in colonna con i numeri. Si procede dividendo il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore.

Vengono presentati 5 esercizi che rappresentano le casistiche principali.

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Esercizio 1: Divisione Polinomiale Semplice (Grado 2 / Grado 1, Resto 0)

Domanda: Calcola il risultato di $(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2)$.

Risposta Corretta: $x + 3$ (Resto 0)

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Primo Passaggio: Si divide il termine di grado massimo del dividendo ($x^2$) per il termine di grado massimo del divisore ($x$).
   • $x^2 \div x = x$. Questo è il primo termine del quoziente.
2. Moltiplicazione: Si moltiplica il termine trovato ($x$) per l’intero divisore $(x + 2)$:
   • $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$.
3. Sottrazione: Si sottrae il risultato dal dividendo (cambiando i segni):
   • $(x^2 + 5x + 6) – (x^2 + 2x) = x^2 + 5x + 6 – x^2 – 2x = 3x + 6$.
4. Secondo Passaggio: Si ripete il processo con il nuovo resto parziale ($3x + 6$).
   • $3x \div x = 3$. Questo è il secondo termine del quoziente.
5. Moltiplicazione: $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$.
6. Sottrazione: $(3x + 6) – (3x + 6) = 0$.
7. Risultato Finale: Quoziente $Q(x) = x + 3$, Resto $R(x) = 0$.

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Esercizio 2: Divisione Polinomiale con Resto (Grado 2 / Grado 1)

Domanda: Calcola il risultato di $(2a^2 + 5a – 5) \div (a + 1)$.

Risposta Corretta: $2a + 3$ (Resto -8)

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Primo Passaggio: $2a^2 \div a = 2a$.
2. Moltiplicazione: $2a \cdot (a + 1) = 2a^2 + 2a$.
3. Sottrazione: $(2a^2 + 5a – 5) – (2a^2 + 2a) = 3a – 5$.
4. Secondo Passaggio: $3a \div a = 3$.
5. Moltiplicazione: $3 \cdot (a + 1) = 3a + 3$.
6. Sottrazione: $(3a – 5) – (3a + 3) = 3a – 5 – 3a – 3 = -8$.
7. Risultato Finale: Il grado del resto (-8, che ha grado 0) è inferiore al grado del divisore (a+1, che ha grado 1). La divisione termina.
   • Quoziente $Q(a) = 2a + 3$, Resto $R(a) = -8$.

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Esercizio 3: Divisione con Termini Mancanti (Polinomio Incompleto)

Domanda: Calcola $(y^3 – 8) \div (y – 2)$.

Risposta Corretta: $y^2 + 2y + 4$ (Resto 0)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Quando un polinomio è incompleto, è fondamentale aggiungere i termini mancanti con coefficiente zero per mantenere l’allineamento in colonna.

Scriviamo il dividendo come: $y^3 + 0y^2 + 0y – 8$.

1. Primo Passaggio: $y^3 \div y = y^2$.
2. Moltiplicazione: $y^2 \cdot (y – 2) = y^3 – 2y^2$.
3. Sottrazione: $(y^3 + 0y^2) – (y^3 – 2y^2) = 2y^2$. Abbassiamo il termine $+0y$.
4. Secondo Passaggio: $2y^2 \div y = 2y$.
5. Moltiplicazione: $2y \cdot (y – 2) = 2y^2 – 4y$.
6. Sottrazione: $(2y^2 + 0y) – (2y^2 – 4y) = 4y$. Abbassiamo il termine $-8$.
7. Terzo Passaggio: $4y \div y = 4$.
8. Moltiplicazione: $4 \cdot (y – 2) = 4y – 8$.
9. Sottrazione: $(4y – 8) – (4y – 8) = 0$.
10. Risultato Finale: Quoziente $Q(y) = y^2 + 2y + 4$, Resto $R(y) = 0$.

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Esercizio 4: Divisione Grado Alto / Grado 2

Domanda: Calcola $(2x^4 – 5x^2 + x – 3) \div (x^2 + 1)$.

Risposta Corretta: $2x^2 – 7$ (Resto $x + 4$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Scriviamo il dividendo come $2x^4 + 0x^3 – 5x^2 + x – 3$ e il divisore come $x^2 + 0x + 1$.

1. Primo Passaggio: $2x^4 \div x^2 = 2x^2$.
2. Moltiplicazione: $2x^2 \cdot (x^2 + 1) = 2x^4 + 2x^2$.
3. Sottrazione: $(2x^4 + 0x^3 – 5x^2) – (2x^4 + 2x^2) = -7x^2$. Abbassiamo $+x$ e $-3$.
4. Secondo Passaggio: $-7x^2 \div x^2 = -7$.
5. Moltiplicazione: $-7 \cdot (x^2 + 1) = -7x^2 – 7$.
6. Sottrazione: $(-7x^2 + x – 3) – (-7x^2 – 7) = -7x^2 + x – 3 + 7x^2 + 7 = x + 4$.
7. Risultato Finale: Il grado del resto ($x+4$, grado 1) è inferiore al grado del divisore ($x^2+1$, grado 2). La divisione termina.
   • Quoziente $Q(x) = 2x^2 – 7$, Resto $R(x) = x + 4$.

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Esercizio 5: Divisione con Coefficienti Letterali

Domanda: Calcola $(x^3 – a^3) \div (x – a)$.

Risposta Corretta: $x^2 + ax + a^2$ (Resto 0)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

In questo caso, trattiamo ‘a’ come un numero noto. Scriviamo il dividendo come $x^3 + 0x^2 + 0x – a^3$.

1. Primo Passaggio: $x^3 \div x = x^2$.
2. Moltiplicazione: $x^2 \cdot (x – a) = x^3 – ax^2$.
3. Sottrazione: $(x^3 + 0x^2) – (x^3 – ax^2) = ax^2$. Abbassiamo $+0x$.
4. Secondo Passaggio: $ax^2 \div x = ax$.
5. Moltiplicazione: $ax \cdot (x – a) = ax^2 – a^2x$.
6. Sottrazione: $(ax^2 + 0x) – (ax^2 – a^2x) = a^2x$. Abbassiamo $-a^3$.
7. Terzo Passaggio: $a^2x \div x = a^2$.
8. Moltiplicazione: $a^2 \cdot (x – a) = a^2x – a^3$.
9. Sottrazione: $(a^2x – a^3) – (a^2x – a^3) = 0$.
10. Risultato Finale: Quoziente $Q(x) = x^2 + ax + a^2$, Resto $R(x) = 0$.

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