Esercizi Svolti sulla Scomposizione del Cubo di Binomio

La scomposizione di un quadrinomio con il metodo del Cubo di Binomio significa fare il processo inverso del prodotto notevole. Dobbiamo verificare se il polinomio ha la struttura:

$$A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3$$

oppure

$$A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 = (A – B)^3$$

La strategia è:

1. Cercare i due cubi: Identificare due termini che siano cubi perfetti. Questi saranno $A^3$ e $B^3$.
2. Trovare le basi: Calcolare le radici cubiche di questi termini per trovare $A$ e $B$.
3. Verificare i tripli prodotti: Controllare se gli altri due termini del quadrinomio corrispondono a $3A^2B$ e $3AB^2$ (attenzione ai segni!).
4. Concludere: Se la verifica è positiva, la scomposizione è $(A + B)^3$ o $(A – B)^3$.

Vengono presentati 6 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base

Esercizio 1: Cubo di Binomio – Caso Base (Somma)

Domanda: Scomponi il quadrinomio $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Risposta Corretta: $(x + 2)^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Cerca i Cubi: $x^3$ (base $A = x$) e $8$ (base $B = 2$).
2. Verifica Tripli Prodotti:
   • $3A^2B = 3 \cdot (x)^2 \cdot (2) = 6x^2$. (Corrisponde)
   • $3AB^2 = 3 \cdot (x) \cdot (2)^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. (Corrisponde)
3. Confronto Segni: Tutti i segni sono positivi.
4. Risultato Finale: $(x + 2)^3$.

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Esercizio 2: Cubo di Binomio – Caso Base (Differenza)

Domanda: Scomponi $a^3 – 9a^2 + 27a – 27$.

Risposta Corretta: $(a – 3)^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Cerca i Cubi: $a^3$ (base $A = a$) e $-27$ (base $B = -3$).
2. Verifica Tripli Prodotti:
   • $3A^2B = 3 \cdot (a)^2 \cdot (-3) = -9a^2$. (Corrisponde)
   • $3AB^2 = 3 \cdot (a) \cdot (-3)^2 = 3 \cdot a \cdot 9 = +27a$. (Corrisponde)
3. Confronto Segni: I segni sono alternati (positivo, negativo, positivo, negativo).
4. Risultato Finale: $(a – 3)^3$.

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Con Coefficienti e Lettere Miste

Domanda: Scomponi $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$.

Risposta Corretta: $(2x + y)^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Cerca i Cubi: $8x^3$ (base $A = 2x$) e $y^3$ (base $B = y$).
2. Verifica Tripli Prodotti:
   • $3A^2B = 3 \cdot (2x)^2 \cdot (y) = 3 \cdot (4x^2) \cdot y = 12x^2y$. (Corrisponde)
   • $3AB^2 = 3 \cdot (2x) \cdot (y)^2 = 6xy^2$. (Corrisponde)
3. Confronto Segni: Tutti positivi.
4. Risultato Finale: $(2x + y)^3$.

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Esercizio 4: Ordine Misto

Domanda: Scomponi $64a^3 – 1 + 12a – 48a^2$.

Risposta Corretta: $(4a – 1)^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

I termini non sono in ordine.

1. Cerca i Cubi: $64a^3$ (base $A = 4a$) e $-1$ (base $B = -1$).
2. Verifica Tripli Prodotti:
   • $3A^2B = 3 \cdot (4a)^2 \cdot (-1) = 3 \cdot (16a^2) \cdot (-1) = -48a^2$. (Corrisponde)
   • $3AB^2 = 3 \cdot (4a) \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 4a \cdot 1 = +12a$. (Corrisponde)
3. Risultato Finale: $(4a – 1)^3$.

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Livello Avanzato

Esercizio 5: Con Frazioni

Domanda: Scomponi $x^3 – x^2 + \frac{1}{3}x – \frac{1}{27}$.

Risposta Corretta: $(x – \frac{1}{3})^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Cerca i Cubi: $x^3$ (base $A = x$) e $-\frac{1}{27}$ (base $B = -\frac{1}{3}$).
2. Verifica Tripli Prodotti:
   • $3A^2B = 3 \cdot (x)^2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -x^2$. (Corrisponde)
   • $3AB^2 = 3 \cdot (x) \cdot (-\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot x \cdot (\frac{1}{9}) = \frac{3}{9}x = \frac{1}{3}x$. (Corrisponde)
3. Risultato Finale: $(x – \frac{1}{3})^3$.

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