Esercizi Svolti sulla Scomposizione della Differenza di Quadrati

La scomposizione di una Differenza di Quadrati è uno dei metodi più rapidi. Si applica solo quando abbiamo un binomio formato da due quadrati perfetti separati da un segno meno.

La formula è l’inverso del prodotto notevole Somma per Differenza:

$$A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$$

La strategia è:

1. Verificare i Segni: Assicurarsi che sia una sottrazione. (Una somma di quadrati, $A^2 + B^2$, non è scomponibile nei numeri reali).
2. Verificare i Quadrati: Controllare che entrambi i termini siano quadrati perfetti.
3. Trovare le basi: Calcolare le radici quadrate $A$ e $B$.
4. Scrivere il Prodotto: Scrivere il prodotto della differenza delle basi per la somma delle basi: $(A – B)(A + B)$.

Vengono presentati 6 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base

Esercizio 1: Differenza di quadrati Scomposizione – Caso Base

Domanda: Scomponi il binomio $x^2 – 9$.

Risposta Corretta: $(x – 3)(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Verifica: È una differenza (segno meno) tra due quadrati.
2. Basi:
   • $A^2 = x^2 \rightarrow A = x$
   • $B^2 = 9 \rightarrow B = 3$
3. Applica la Formula: $(A – B)(A + B) = (x – 3)(x + 3)$.

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Esercizio 2: Con Coefficienti

Domanda: Scomponi $25a^2 – 1$.

Risposta Corretta: $(5a – 1)(5a + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Verifica: È una differenza di due quadrati.
2. Basi:
   • $A^2 = 25a^2 \rightarrow A = 5a$
   • $B^2 = 1 \rightarrow B = 1$
3. Applica la Formula: $(A – B)(A + B) = (5a – 1)(5a + 1)$.

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Con Esponenti e Lettere Miste

Domanda: Scomponi $4x^2 – 49y^2$.

Risposta Corretta: $(2x – 7y)(2x + 7y)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Verifica: Differenza di quadrati.
2. Basi:
   • $A^2 = 4x^2 \rightarrow A = 2x$
   • $B^2 = 49y^2 \rightarrow B = 7y$
3. Applica la Formula: $(A – B)(A + B) = (2x – 7y)(2x + 7y)$.

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Esercizio 4: Con Esponenti Pari (Maggiori di 2)

Domanda: Scomponi $a^4 – b^6$.

Risposta Corretta: $(a^2 – b^3)(a^2 + b^3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Per trovare la base di un esponente pari, si divide l’esponente per 2.

1. Verifica: Differenza di quadrati.
2. Basi:
   • $A^2 = a^4 \rightarrow A = a^{4 \div 2} = a^2$
   • $B^2 = b^6 \rightarrow B = b^{6 \div 2} = b^3$
3. Applica la Formula: $(A – B)(A + B) = (a^2 – b^3)(a^2 + b^3)$.

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Livello Avanzato

Esercizio 5: Raccoglimento Totale + Differenza di Quadrati

Domanda: Scomponi $3x^3 – 3x$.

Risposta Corretta: $3x(x – 1)(x + 1)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Questo esercizio richiede due passaggi. Ricorda la regola d’oro: prima il Raccoglimento Totale.

1. Raccoglimento Totale (MCD): L’MCD tra $3x^3$ e $3x$ è $3x$.
2. Esegui Raccoglimento: $3x(x^2 – 1)$.
3. Analizza la Parentesi: Ora guardiamo dentro la parentesi: $(x^2 – 1)$. Questa è una differenza di quadrati.
4. Scomponi la Differenza: $x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)$.
5. Risultato Finale: Uniamo tutti i pezzi: $3x(x – 1)(x + 1)$.

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Esercizio 6: Scomposizione Ricorsiva (DOPPIA)

Domanda: Scomponi $x^4 – 81$.

Risposta Corretta: $(x^2 + 9)(x – 3)(x + 3)$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Verifica 1: È una differenza di quadrati.
2. Basi 1: $A = x^2$, $B = 9$.
3. Applica la Formula (Passo 1): $(x^2 – 9)(x^2 + 9)$.
4. Analizza i Fattori:
   • Il fattore $(x^2 + 9)$ è una somma di quadrati, quindi è IRRIDUCIBILE (lo lasciamo così).
   • Il fattore $(x^2 – 9)$ è un’altra differenza di quadrati!
5. Applica la Formula (Passo 2): Scomponiamo $(x^2 – 9)$. Basi: $A=x$, $B=3$. Risultato: $(x – 3)(x + 3)$.
6. Risultato Finale: Uniamo tutti i pezzi irriducibili: $(x^2 + 9)(x – 3)(x + 3)$.

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