Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Primo Grado

Risolvere una disequazione di primo grado significa trovare l’intervallo di valori $x$ (ad esempio $x > 2$) che rendono vera la disuguaglianza. Il procedimento è identico a quello delle equazioni, con una differenza cruciale:

Regola Fondamentale: Se si moltiplica o si divide l’intera disequazione per un numero negativo, si deve invertire il verso (es. da $<$ a $>$).

La strategia è:

1. Sviluppare i Calcoli: Eseguire moltiplicazioni e prodotti notevoli (es. $(x+1)^2$).
2. Verifica del Grado: Assicurarsi che i termini di grado superiore (come $x^2$ o $x^3$) si annullino.
3. Eliminare i Denominatori: Calcolare l’m.c.m. dei coefficienti frazionari (se presenti) e moltiplicare entrambi i membri.
4. Spostare i Termini: Portare tutti i termini $x$ a sinistra e i numeri a destra (cambiando segno).
5. Isolare la $x$: Dividere per il coefficiente della $x$. Se questo coefficiente è negativo, invertire il verso della disequazione.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Primo Grado

Esercizio 1: Caso Base (Positivo)

Domanda: Risolvi $3x + 5 > 11$.

Risposta Corretta: $x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Sposta Termini: $3x > 11 – 5$.
2. Somma: $3x > 6$.
3. Isola $x$: (Dividiamo per 3, positivo, il verso non cambia) $\rightarrow x = \frac{6}{3}$.
4. Risultato: $x > 2$.

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Esercizio 2: Termini su Entrambi i Membri

Domanda: Risolvi $7x – 2 \le 4x + 7$.

Risposta Corretta: $x \le 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Sposta Termini: $7x – 4x \le 7 + 2$.
2. Somma: $3x \le 9$.
3. Isola $x$: (Dividiamo per 3, positivo) $\rightarrow x = \frac{9}{3}$.
4. Risultato: $x \le 3$.

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Esercizio 3: Parentesi Semplici

Domanda: Risolvi $5(x – 1) < 2(x + 2)$.

Risposta Corretta: $x < 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Sviluppa Calcoli: $5x – 5 < 2x + 4$.
2. Sposta Termini: $5x – 2x < 4 + 5$.
3. Somma: $3x < 9$.
4. Isola $x$: (Dividiamo per 3, positivo) $\rightarrow x = \frac{9}{3}$.
5. Risultato: $x < 3$.

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Livello Intermedio (Frazioni e Prodotti Notevoli Semplici) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Primo Grado

Esercizio 4: Quadrato di Binomio

Domanda: Risolvi $(x+1)^2 > x^2 + 3$.

Risposta Corretta: $x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Sviluppa Calcoli: $(x^2 + 2x + 1) > x^2 + 3$.
2. Sposta Termini: $x^2 – x^2 + 2x > 3 – 1$.
3. Somma: (I termini $x^2$ si annullano) $\rightarrow 2x > 2$.
4. Isola $x$: $x = \frac{2}{2}$.
5. Risultato: $x > 1$.

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Esercizio 5: Somma per Differenza (Inversione Segno)

Domanda: Risolvi $(x – 3)(x + 3) \le x^2 – x$.

Risposta Corretta: $x \le 9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Sviluppa Calcoli: $x^2 – 9 \le x^2 – x$.
2. Sposta Termini: $x^2 – x^2 + x \le 9$.
3. Somma: (I termini $x^2$ si annullano) $\rightarrow x \le 9$.
4. Risultato: $x \le 9$. (In questo caso l’inversione non è servita, la $x$ è risultata positiva. Modifico l’esercizio per testare l’inversione).

Esercizio 5 (Riformulato): Risolvi $(x – 3)(x + 3) \le x^2 + x$.

Risposta Corretta (Riformulata): $x \ge -9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Sviluppa: $x^2 – 9 \le x^2 + x$.
2. Sposta: $x^2 – x^2 – x \le 9$.
3. Somma: $-x \le 9$.
4. Isola $x$ (INVERTI): Dividiamo per -1 e invertiamo il verso: $x \ge -9$.

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Esercizio 6: Coefficienti Frazionari

Domanda: Risolvi $\frac{x}{2} + 1 < \frac{x}{4}$.

Risposta Corretta: $x < -4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. m.c.m.: L’m.c.m. è 4.
2. Elimina Denominatore: $4(\frac{x}{2}) + 4(1) < 4(\frac{x}{4})$.
   • $2x + 4 < x$.
3. Sposta Termini: $2x – x < -4$.
4. Risultato: $x < -4$.

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Livello Avanzato (Prodotti Complessi e Frazioni) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Primo Grado

Esercizio 7: Frazioni Complesse (Inversione Segno)

Domanda: Risolvi $\frac{x-1}{3} – \frac{x+2}{2} \ge 1$.

Risposta Corretta: $x \le -14$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. m.c.m.: L’m.c.m. è 6.
2. Elimina Denominatore: $6 \cdot (\frac{x-1}{3}) – 6 \cdot (\frac{x+2}{2}) \ge 6 \cdot (1)$.
   • $2(x-1) – 3(x+2) \ge 6$.
3. Sviluppa Calcoli: $2x – 2 – 3x – 6 \ge 6$.
4. Somma: $-x – 8 \ge 6$.
5. Sposta Termini: $-x \ge 6 + 8 \rightarrow -x \ge 14$.
6. Isola $x$ (INVERTI): Dividiamo per -1 e invertiamo il verso $\ge$ in $\le$.
7. Risultato: $x \le -14$.

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Esercizio 8: Cubo di Binomio

Domanda: Risolvi $(x-1)^3 < x^3 – 3x^2 + 5$.

Risposta Corretta: $x < 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Sviluppa Calcoli:
   • $(x-1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$.
2. Equazione: $x^3 – 3x^2 + 3x – 1 < x^3 – 3x^2 + 5$.
3. Sposta Termini: $x^3 – x^3 – 3x^2 + 3x^2 + 3x < 5 + 1$.
4. Somma: (I termini $x^3$ e $x^2$ si annullano).
   • $3x < 6$.
5. Isola $x$: $x = \frac{6}{3} \rightarrow x < 2$.

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Esercizio 9: Prodotti Misti (Quadrato e Somma/Differenza)

Domanda: Risolvi $(x+2)^2 – (x+1)(x-1) > 0$.

Risposta Corretta: $x > -5/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Sviluppa Calcoli:
   • $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
   • $(x+1)(x-1) = x^2 – 1$.
2. Equazione: $(x^2 + 4x + 4) – (x^2 – 1) > 0$.
3. Rimuovi Parentesi: $x^2 + 4x + 4 – x^2 + 1 > 0$.
4. Somma: (I termini $x^2$ si annullano) $\rightarrow 4x + 5 > 0$.
5. Sposta Termini: $4x > -5$.
6. Isola $x$: $x > -\frac{5}{4}$.

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Livello Molto Difficile – Esercizi Svolti sulle Disequazioni di Primo Grado

Esercizio 10: Disequazione Impossibile (Sempre Falsa)

Domanda: Risolvi $(x+2)^2 – x^2 < 4x + 1$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione)

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Sviluppa Calcoli: $(x^2 + 4x + 4) – x^2 < 4x + 1$.
2. Somma (Sinistra): $4x + 4 < 4x + 1$.
3. Sposta Termini: $4x – 4x < 1 – 4$.
4. Risultato: $0x < -3$.
5. Conclusione: Questa è un’uguaglianza sempre falsa ($0 < -3$). Non esiste $x$ che la renda vera. L’insieme delle soluzioni è vuoto (Impossibile).

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