Esercizi Svolti sulle Equazioni Fattorizzate – Annullamento del Prodotto

Per risolvere un’equazione di grado superiore al primo (come $x^3$, $x^4$, ecc.) il metodo standard è ridurla a un’equazione “fattorizzata”, ossia un’equazione in cui un polinomio scomposto è posto uguale a zero.

La strategia ha due fasi:

1. Scomposizione: Assicurarsi che l’equazione sia nella forma $P(x) = 0$. Dopodiché, scomporre il polinomio $P(x)$ usando tutte le tecniche a nostra disposizione (MCD, Parziale, Prodotti Notevoli, Ruffini).
2. Legge di Annullamento del Prodotto: Una volta ottenuta la forma $(Fattore 1) \cdot (Fattore 2) \cdot … = 0$, si applica la legge: se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero. Si risolvono quindi le “mini-equazioni” più semplici.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi Svolti sulle Equazioni Fattorizzate

Esercizio 1: Due Fattori Semplici

Domanda: Risolvi $(x – 2)(x + 3) = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Legge Annullamento: L’equazione si divide in:
   • $x – 2 = 0 \rightarrow x = 2$
   • $x + 3 = 0 \rightarrow x = -3$
2. Soluzioni: $S = \{2, -3\}$.

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Esercizio 2: Fattore Monomio

Domanda: Risolvi $x(x – 5) = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Legge Annullamento:
   • $x = 0$
   • $x – 5 = 0 \rightarrow x = 5$
2. Soluzioni: $S = \{0, 5\}$.

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Esercizio 3: Tre Fattori

Domanda: Risolvi $5x(x – 4)(x + 1) = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = 4; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Legge Annullamento:
   • $5x = 0 \rightarrow x = 0$
   • $x – 4 = 0 \rightarrow x = 4$
   • $x + 1 = 0 \rightarrow x = -1$
2. Soluzioni: $S = \{0, 4, -1\}$.

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Livello Intermedio – Esercizi Svolti sulle Equazioni Fattorizzate

Esercizio 4: Differenza di Quadrati

Domanda: Risolvi $x^2 – 9 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 3; x = -3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione: $(x – 3)(x + 3) = 0$.
2. Legge Annullamento:
   • $x – 3 = 0 \rightarrow x = 3$
   • $x + 3 = 0 \rightarrow x = -3$
3. Soluzioni: $S = \{3, -3\}$.

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Esercizio 5: Trinomio Speciale

Domanda: Risolvi $x^2 – 7x + 10 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Scomposizione: Trinomio Somma-Prodotto (S=-7, P=10 $\rightarrow$ -2, -5) $\rightarrow (x – 2)(x – 5) = 0$.
2. Legge Annullamento:
   • $x – 2 = 0 \rightarrow x = 2$
   • $x – 5 = 0 \rightarrow x = 5$
3. Soluzioni: $S = \{2, 5\}$.

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Esercizio 6: Raccoglimento Totale + Fattore Irriducibile

Domanda: Risolvi $x^3 + 9x = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione (MCD): $x(x^2 + 9) = 0$.
2. Legge Annullamento:
   • $x = 0$
   • $x^2 + 9 = 0 \rightarrow x^2 = -9 \rightarrow$ Impossibile (una somma di quadrati non si annulla mai).
3. Soluzioni: L’unica soluzione reale è $S = \{0\}$.

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Livello Avanzato (Scomposizioni Multiple) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Fattorizzate

Esercizio 7: Equazione Biquadratica (Trinomio + Doppia Diff. Quadrati)

Domanda: Risolvi $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = -1; x = 2; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Scomposizione (Trinomio in $x^2$): (S=-5, P=4 $\rightarrow$ -1, -4) $\rightarrow (x^2 – 1)(x^2 – 4) = 0$.
2. Scomposizione (Diff. Quadrati 1): $(x^2 – 1) = (x – 1)(x + 1)$.
3. Scomposizione (Diff. Quadrati 2): $(x^2 – 4) = (x – 2)(x + 2)$.
4. Equazione Fattorizzata: $(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0$.
5. Soluzioni: $S = \{1, -1, 2, -2\}$.

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Esercizio 8: Ruffini + Trinomio

Domanda: Risolvi $x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = -2; x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione (Ruffini): Non è possibile raccogliere. Proviamo $P(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0$. Divisibile per $(x – 1)$.
2. Divisione: Eseguendo la divisione con la tabella di Ruffini, si ottiene $(x – 1)(x^2 – x – 6) = 0$.
3. Scomposizione (Trinomio): Scomponiamo $x^2 – x – 6$ (S=-1, P=-6 $\rightarrow$ +2, -3) $\rightarrow (x + 2)(x – 3)$.
4. Equazione Fattorizzata: $(x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0$.
5. Soluzioni: $S = \{1, -2, 3\}$.

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Esercizio 9: Raccoglimento Parziale + Diff. Quadrati + Somma Cubi

Domanda: Risolvi $x^5 – 4x^3 + x^2 – 4 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -2; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Scomposizione (Parziale a blocchi): $(x^5 – 4x^3) + (x^2 – 4) = 0$.
2. Raccogli i gruppi: $x^3(x^2 – 4) + 1(x^2 – 4) = 0$.
3. Raccogli $(x^2-4)$: $(x^2 – 4)(x^3 + 1) = 0$.
4. Scomposizione (Diff. Quadrati): $(x – 2)(x + 2)$.
5. Scomposizione (Somma Cubi): $(x + 1)(x^2 – x + 1)$.
6. Equazione Fattorizzata: $(x – 2)(x + 2)(x + 1)(x^2 – x + 1) = 0$.
7. Legge Annullamento:
   • $x – 2 = 0 \rightarrow x = 2$
   • $x + 2 = 0 \rightarrow x = -2$
   • $x + 1 = 0 \rightarrow x = -1$
   • $x^2 – x + 1 = 0 \rightarrow$ Impossibile (falso quadrato).
8. Soluzioni: $S = \{2, -2, -1\}$.

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Livello Molto Difficile

Esercizio 10: Doppia Scomposizione (Quadrati e Cubi)

Domanda: Risolvi $x^6 – 1 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Per scomporre $x^6 – 1$, è fondamentale trattarlo prima come Differenza di Quadrati ($(x^3)^2 – 1^2$) perché è più completa.

1. Scomposizione (Diff. Quadrati): $(x^3 – 1)(x^3 + 1) = 0$.
2. Scomposizione (Diff. Cubi): $(x – 1)(x^2 + x + 1)$.
3. Scomposizione (Somma Cubi): $(x + 1)(x^2 – x + 1)$.
4. Equazione Fattorizzata: $(x – 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 – x + 1) = 0$.
5. Legge Annullamento:
   • $x – 1 = 0 \rightarrow x = 1$
   • $x + 1 = 0 \rightarrow x = -1$
   • $x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow$ Impossibile (falso quadrato).
   • $x^2 – x + 1 = 0 \rightarrow$ Impossibile (falso quadrato).
6. Soluzioni: $S = \{1, -1\}$.

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