Esercizi Svolti sulle Equazioni Fratte

Risolvere un’equazione fratta richiede una procedura rigorosa in 4 passaggi:

1. Scomposizione: Scomporre in fattori tutti i denominatori.
2. C.E. (Condizioni di Esistenza): Trovare i valori di $x$ che annullano i denominatori scomposti. Questi valori sono “proibiti”. Si impone $Denominatore \neq 0$.
3. Risoluzione (Equazione Intera): Trovare il Minimo Comune Multiplo (m.c.m.) dei denominatori, moltiplicare entrambi i membri per l’m.c.m. per eliminare i denominatori, e risolvere l’equazione (intera) risultante. Questa equazione può essere di grado superiore al primo.
4. Scomposizione/Annullamento Prodotto: Se l’equazione intera è di grado superiore, scomporla (con Ruffini, Trinomio, ecc.) e risolverla con la Legge di Annullamento del Prodotto.
5. Confronto (Accettabilità): Confrontare le soluzioni trovate con le C.E. Una soluzione è accettabile solo se NON è un valore “proibito”.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi Svolti sulle Equazioni Fratte

Esercizio 1: Denominatore Monomio Semplice

Domanda: Risolvi $\frac{5}{x} + 1 = 3$.

Risposta Corretta: $x = \frac{5}{2}$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. C.E.: $x \neq 0$.
2. Risoluzione (m.c.m. = $x$): $5 + 1(x) = 3(x) \rightarrow 5 + x = 3x$.
3. Calcolo: $-2x = -5 \rightarrow x = \frac{5}{2}$.
4. Confronto: $x = \frac{5}{2}$ è Accettabile.

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Esercizio 2: Denominatore Binomio Semplice

Domanda: Risolvi $\frac{2}{x-1} = 1$.

Risposta Corretta: $x = 3$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. C.E.: $x \neq 1$.
2. Risoluzione (m.c.m. = $x-1$): $2 = 1(x – 1) \rightarrow 2 = x – 1$.
3. Calcolo: $-x = -3 \rightarrow x = 3$.
4. Confronto: $x = 3$ è Accettabile.

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Livello Intermedio -Esercizi Svolti sulle Equazioni Fratte

Esercizio 3: Soluzione Non Accettabile (Base)

Domanda: Risolvi $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}$.

Risposta Corretta: Impossibile

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. C.E.: $x \neq 2$.
2. Risoluzione (m.c.m. = $x-2$): $x = 2$.
3. Confronto: La soluzione $x=2$ non è accettabile perché annulla il denominatore (è esclusa dalle C.E.).
4. Risultato: L’equazione è Impossibile.

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Esercizio 4: Differenza di Quadrati (I Grado)

Domanda: Risolvi $\frac{10}{x^2-1} = \frac{3}{x-1}$.

Risposta Corretta: $x = \frac{7}{3}$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
2. C.E.: $x \neq 1$ e $x \neq -1$.
3. Risoluzione (m.c.m. = $(x-1)(x+1)$):
   • $10 = 3(x+1) \rightarrow 10 = 3x + 3$.
4. Calcolo: $7 = 3x \rightarrow x = \frac{7}{3}$.
5. Confronto: $x = \frac{7}{3}$ è Accettabile.

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Livello Avanzato -Esercizi Svolti sulle Equazioni Fratte

Esercizio 5: Trinomio + Diff. Quadrati (Annullamento $x^2$)

Domanda: Risolvi $\frac{x}{x^2-x-6} = \frac{x}{x^2-9}$.

Risposta Corretta: $x = 0$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Scomposizione:
   • $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.
   • $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
2. C.E.: $x \neq 3, x \neq -2, x \neq -3$.
3. Risoluzione (m.c.m. = $(x-3)(x+2)(x+3)$):
   • $x(x+3) = x(x+2)$
   • $x^2 + 3x = x^2 + 2x$.
4. Calcolo: I $x^2$ si annullano.
   • $3x – 2x = 0 \rightarrow x = 0$.
5. Confronto: $x = 0$ è Accettabile.

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Esercizio 6: Somma/Diff. Cubi + $x^2$

Domanda: Risolvi $\frac{x^2}{x^3-8} = \frac{1}{x-2}$.

Risposta Corretta: $x = -2$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione: $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. (Il falso quadrato non ha C.E. reali).
2. C.E.: $x \neq 2$.
3. Risoluzione (m.c.m. = $x^3-8$):
   • $x^2 = 1(x^2 + 2x + 4)$
   • $x^2 = x^2 + 2x + 4$.
4. Calcolo: I $x^2$ si annullano.
   • $0 = 2x + 4 \rightarrow -2x = 4 \rightarrow x = -2$.
5. Confronto: $x = -2$ è Accettabile.

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Esercizio 7: Ruffini (Den) + Annullamento $x^2$

Domanda: Risolvi $\frac{x^2-x-1}{x^3 – 2x^2 – x + 2} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-1}$.

Risposta Corretta: $x = 0$ (Accettabile)

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Scomposizione Den (Ruffini P(1) o Parziale):
   • $x^3 – 2x^2 – x + 2 = x^2(x-2) – 1(x-2) = (x^2-1)(x-2) = (x-1)(x+1)(x-2)$.
2. C.E.: $x \neq 1, x \neq -1, x \neq 2$.
3. Risoluzione (m.c.m. = $(x-1)(x+1)(x-2)$):
   • $(x^2-x-1) + 1(x-1)(x+1) = 1(x+1)(x-2)$
   • $x^2-x-1 + (x^2-1) = x^2 – 2x + x – 2$
   • $2x^2 – x – 2 = x^2 – x – 2$.
4. Calcolo:
   • $2x^2 – x^2 – x + x – 2 + 2 = 0 \rightarrow x^2 = 0 \rightarrow x = 0$.
5. Confronto: $x = 0$ è Accettabile.

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Livello Molto Avanzato – Esercizi Svolti sulle Equazioni Fratte

Esercizio 8: Ruffini Den (Impossibile 0x=k)

Domanda: Risolvi $\frac{x^2+3x+2}{x^3 – 2x^2 – x + 2} = \frac{1}{x-2}$.

Risposta Corretta: Impossibile

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione Den 1: $(x-1)(x+1)(x-2)$ (vedi Esercizio 7).
2. Scomposizione Num 1: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
3. C.E.: $x \neq 1, x \neq -1, x \neq 2$.
4. Risoluzione (m.c.m. = $(x-1)(x+1)(x-2)$):
   • $(x+1)(x+2) = 1(x-1)(x+1)$
5. Calcolo:Prima di moltiplicare, notiamo che $(x+1)$ è un fattore comune (C.E. $x \neq -1$). Dividiamo entrambi i lati per $(x+1)$:
   • $x+2 = x-1 \rightarrow x – x = -1 – 2$
   • $0x = -3$.
6. Risultato: Uguaglianza falsa. L’equazione è Impossibile.

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Esercizio 9: Biquadratica (Numeratore di 4° Grado) + C.E. Trap

Domanda: Risolvi $\frac{x^4 – 5x^2 + 4}{x-1} = 0$.

Risposta Corretta: $x = -1; x = 2; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. C.E.: $x – 1 \neq 0 \rightarrow x \neq 1$.
2. Risoluzione (m.c.m.): Un’equazione fratta è zero solo se il suo numeratore è zero.
   • $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$.
3. Scomposizione (Trinomio in $x^2$): $(x^2 – 1)(x^2 – 4) = 0$.
4. Scomposizione (Diff. Quadrate): $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) = 0$.
5. Soluzioni (Intere): $x=1, x=-1, x=2, x=-2$.
6. Confronto:
   • $x=1$ Non Accettabile (coincide con C.E.).
   • $x=-1$ Accettabile.
   • $x=2$ Accettabile.
   • $x=-2$ Accettabile.
7. Risultato Finale: $S = \{-1, 2, -2\}$.

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Esercizio 10: Ruffini (Num) + C.E. Trap

Domanda: Risolvi $\frac{x^3 – 2x^2 – 5x + 6}{x^2-1} = 0$.

Risposta Corretta: $x = 3; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. C.E.: $x^2-1 \neq 0 \rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \rightarrow x \neq 1$ e $x \neq -1$.
2. Risoluzione (Numeratore = 0): $x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = 0$.
3. Scomposizione (Ruffini): $P(1) = 1-2-5+6 = 0$. Dividiamo per $(x-1)$.
   • $(x-1)(x^2 – x – 6) = 0$.
4. Scomposizione (Trinomio): $(x-1)(x-3)(x+2) = 0$.
5. Soluzioni (Intere): $x=1, x=3, x=-2$.
6. Confronto:
   • $x=1$ Non Accettabile (coincide con C.E.).
   • $x=3$ Accettabile.
   • $x=-2$ Accettabile.
7. Risultato Finale: $S = \{3, -2\}$.

IMPARA A SVOLGERE TUTTE LE EQUAZIONI !!

Le equazioni sono il vero “motore” di tutta la matematica: se si inceppano loro, si ferma tutto.

Non importa se stai affrontando la geometria analitica, la trigonometria o uno studio di funzione complesso: alla fine, tutto si riduce sempre a risolvere un’equazione. Un banale errore di segno, un coefficiente dimenticato o la formula del delta applicata male bastano per invalidare un intero esercizio e farti perdere punti preziosi all’esame.

Smetti di affidarti al caso e di cancellare interi fogli per un banale calcolo sbagliato. Ho strutturato questo percorso completo per farti costruire fondamenta inattaccabili e isolare la x a colpo sicuro: