Esercizi Svolti sulle Disequazioni Fattorizzate

Per risolvere una disequazione fattorizzata, come $P(x) > 0$, non si può usare la Legge di Annullamento del Prodotto. Non basta che i fattori siano positivi.

Dobbiamo invece studiare il prodotto dei segni. Se il prodotto $A \cdot B$ deve essere positivo ($> 0$), significa che $A$ e $B$ devono essere concordi (entrambi positivi o entrambi negativi). Se $A \cdot B < 0$, devono essere discordi.

La strategia (chiamata Studio del Segno) è:

1. Portare tutto a sinistra: Assicurarsi che la disequazione sia nella forma $P(x) > 0$ (o $<, \ge, \le 0$).
2. Scomposizione: Scomporre il polinomio $P(x)$ in fattori irriducibili.
3. Studio dei Fattori: Studiare ogni singolo fattore ponendolo SEMPRE $> 0$ (o $\ge 0$ se c’è l’uguale nella traccia), indipendentemente dal verso della disequazione principale.
4. Schema dei Segni: Costruire una tabella (schema) dove si riportano le soluzioni di ogni fattore (linee continue per il +, tratteggiate per il -).
5. Prodotto dei Segni: Calcolare il segno del prodotto totale riga per riga.
6. Confronto: Confrontare lo schema finale con la richiesta iniziale (es. “Dove il prodotto è > 0?”) per trovare la soluzione.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base (Già Fattorizzate) – Esercizi sulle Disequazioni Fattorizzate

Esercizio 1: Due Fattori Semplici

Domanda: Risolvi $(x – 1)(x + 2) > 0$.

Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • F2: $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$
2. Schema Segni:| | -2 | 1 || :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>1) | – | – | + || F2 (x>-2) | – | + | + || Totale | + | – | + |
3. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
4. Soluzione: $x < -2 \lor x > 1$.

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Esercizio 2: Con “minore o uguale”

Domanda: Risolvi $x(x – 3) \le 0$.

Risposta Corretta: $0 \le x \le 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Fattori (Posti $\ge 0$): (Usiamo $\ge$ perché la traccia include l’uguale)
   • F1: $x \ge 0$
   • F2: $x – 3 \ge 0 \rightarrow x \ge 3$
2. Schema Segni:| | 0 | 3 || :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>=0) | – | + | + || F2 (x>=3) | – | – | + || Totale | + | – | + |
3. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
4. Soluzione: $0 \le x \le 3$.

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Livello Intermedio (Scomposizione Semplice) – Esercizi sulle Disequazioni Fattorizzate

Esercizio 3: Differenza di Quadrati

Domanda: Risolvi $x^2 – 9 < 0$.

Risposta Corretta: $-3 < x < 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Scomposizione: $(x – 3)(x + 3) < 0$.
2. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x – 3 > 0 \rightarrow x > 3$
   • F2: $x + 3 > 0 \rightarrow x > -3$
3. Schema Segni:| | -3 | 3 || :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>3) | – | – | + || F2 (x>-3) | – | + | + || Totale | + | – | + |
4. Confronto: La traccia chiede $< 0$ (Negativo).
5. Soluzione: $-3 < x < 3$.

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Esercizio 4: Trinomio Speciale

Domanda: Risolvi $x^2 – 7x + 10 \ge 0$.

Risposta Corretta: $x \le 2 \lor x \ge 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Scomposizione: Trinomio (S=-7, P=10 $\rightarrow$ -2, -5) $\rightarrow (x – 2)(x – 5) \ge 0$.
2. Fattori (Posti $\ge 0$):
   • F1: $x – 2 \ge 0 \rightarrow x \ge 2$
   • F2: $x – 5 \ge 0 \rightarrow x \ge 5$
3. Schema Segni:| | 2 | 5 || :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>=2) | – | + | + || F2 (x>=5) | – | – | + || Totale | + | – | + |
4. Confronto: La traccia chiede $\ge 0$ (Positivo o Zero).
5. Soluzione: $x \le 2 \lor x \ge 5$.

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Esercizio 5: Tre Fattori

Domanda: Risolvi $x(x – 1)(x + 5) > 0$.

Risposta Corretta: $-5 < x < 0 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x > 0$
   • F2: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • F3: $x + 5 > 0 \rightarrow x > -5$
2. Schema Segni:| | -5 | 0 | 1 || :—: | :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>0) | – | – | + | + || F2 (x>1) | – | – | – | + || F3 (x>-5) | – | + | + | + || Totale | – | + | – | + |
3. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
4. Soluzione: $-5 < x < 0 \lor x > 1$.

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Livello Avanzato

Esercizio 6: Totale + Differenza di Quadrati

Domanda: Risolvi $x^3 – 4x > 0$.

Risposta Corretta: $-2 < x < 0 \lor x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Scomposizione (MCD): $x(x^2 – 4) > 0$.
2. Scomposizione (Diff. Quad): $x(x – 2)(x + 2) > 0$.
3. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x > 0$
   • F2: $x – 2 > 0 \rightarrow x > 2$
   • F3: $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$
4. Schema Segni:| | -2 | 0 | 2 || :—: | :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>0) | – | – | + | + || F2 (x>2) | – | – | – | + || F3 (x>-2) | – | + | + | + || Totale | – | + | – | + |
5. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
6. Soluzione: $-2 < x < 0 \lor x > 2$.

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Esercizio 7: Fattore Irriducibile (Sempre Positivo)

Domanda: Risolvi $(x^2 + 1)(x – 5) < 0$.

Risposta Corretta: $x < 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x^2 + 1 > 0 \rightarrow x^2 > -1$. Questa è una somma di quadrati, è Sempre Vera (Sempre Positiva).
   • F2: $x – 5 > 0 \rightarrow x > 5$
2. Schema Segni:| | 5 || :—: | :—: | :—: || F1 (Sempre +) | + | + || F2 (x>5) | – | + || Totale | – | + |
3. Confronto: La traccia chiede $< 0$ (Negativo).
4. Soluzione: $x < 5$.

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Livello Molto Avanzato – Esercizi sulle Disequazioni Fattorizzate

Esercizio 8: Raccoglimento Parziale + Diff. Quadrati

Domanda: Risolvi $x^3 – 2x^2 – x + 2 > 0$.

Risposta Corretta: $-1 < x < 1 \lor x > 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Scomposizione (Parziale): $x^2(x – 2) – 1(x – 2) > 0$.
2. Raccoglimento: $(x – 2)(x^2 – 1) > 0$.
3. Scomposizione (Diff. Quad): $(x – 2)(x – 1)(x + 1) > 0$.
4. Fattori (Posti > 0):
   • F1: $x – 2 > 0 \rightarrow x > 2$
   • F2: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • F3: $x + 1 > 0 \rightarrow x > -1$
5. Schema Segni:| | -1 | 1 | 2 || :—: | :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>2) | – | – | – | + || F2 (x>1) | – | – | + | + || F3 (x>-1) | – | + | + | + || Totale | – | + | – | + |
6. Confronto: La traccia chiede $> 0$ (Positivo).
7. Soluzione: $-1 < x < 1 \lor x > 2$.

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Esercizio 9: Ruffini + Trinomio

Domanda: Risolvi $x^3 – 2x^2 – 5x + 6 \le 0$.

Risposta Corretta: $x \le -2 \lor 1 \le x \le 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Scomposizione (Ruffini): $P(1) = 1-2-5+6 = 0 \rightarrow (x – 1)$.
2. Divisione: $(x – 1)(x^2 – x – 6) \le 0$.
3. Scomposizione (Trinomio): $x^2 – x – 6$ (S=-1, P=-6 $\rightarrow$ +2, -3) $\rightarrow (x + 2)(x – 3)$.
4. Equazione Fattorizzata: $(x – 1)(x + 2)(x – 3) \le 0$.
5. Fattori (Posti $\ge 0$):
   • F1: $x – 1 \ge 0 \rightarrow x \ge 1$
   • F2: $x + 2 \ge 0 \rightarrow x \ge -2$
   • F3: $x – 3 \ge 0 \rightarrow x \ge 3$
6. Schema Segni:| | -2 | 1 | 3 || :—: | :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>=1) | – | – | + | + || F2 (x>=-2) | – | + | + | + || F3 (x>=3) | – | – | – | + || Totale | – | + | – | + |
7. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
8. Soluzione: $x \le -2 \lor 1 \le x \le 3$.

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Esercizio 10: Biquadratica (Trinomio + Doppia Diff. Quadrati)

Domanda: Risolvi $x^4 – 5x^2 + 4 \le 0$.

Risposta Corretta: $-2 \le x \le -1 \lor 1 \le x \le 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Scomposizione (Trinomio in $x^2$): $y = x^2 \rightarrow y^2 – 5y + 4$. (S=-5, P=4 $\rightarrow$ -1, -4).
   • $(x^2 – 1)(x^2 – 4) \le 0$.
2. Scomposizione (Doppia Diff. Quad): $(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) \le 0$.
3. Fattori (Posti $\ge 0$):
   • F1: $x \ge 1$
   • F2: $x \ge -1$
   • F3: $x \ge 2$
   • F4: $x \ge -2$
4. Schema Segni:| | -2 | -1 | 1 | 2 || :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: || F1 (x>=1) | – | – | – | + | + || F2 (x>=-1) | – | – | + | + | + || F3 (x>=2) | – | – | – | – | + || F4 (x>=-2) | – | + | + | + | + || Totale | + | – | + | – | + |
5. Confronto: La traccia chiede $\le 0$ (Negativo o Zero).
6. Soluzione: $-2 \le x \le -1 \lor 1 \le x \le 2$.

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