Esercizi Svolti su Equazioni Composte (Tripla Composizione)

Siamo arrivati alla fine del percorso! In questo articolo affrontiamo gli Esercizi Svolti su Equazioni e Funzioni Composte.

Qui non basta applicare una singola regola: troverai funzioni “a matrioska” (tripla o quadrupla composizione) ispirate a tracce d’esame reali. Dovrai combinare le proprietà di logaritmi, esponenziali, radici e valori assoluti.

Questi esercizi sono presenti nel quiz finale.

INDICE

1 Ripasso: La Strategia “A Cipolla”
2 Esercizi Svolti (Ispirati alle tue tracce)

Ripasso: La Strategia “A Cipolla”

Quando affronti una funzione composta del tipo $f(g(h(x))) = k$ o devi trovarne il dominio, lavora dall’esterno verso l’interno (o viceversa a seconda della richiesta):

Per il Dominio: Imponi le condizioni a sistema.
- Radice pari esterna? Tutto il contenuto $\ge 0$.
- Logaritmo interno? Argomento $> 0$.
- Denominatore? Diverso da $0$.
Per le Equazioni (Zeri): “Sbuccia” la funzione invertendo le operazioni una alla volta.
- C’è una radice? Eleva a potenza.
- C’è un logaritmo? Passa all’esponenziale.
- C’è un modulo? Sdoppia i casi.
- C’è una struttura quadratica? Usa la sostituzione $t$.

Esercizi Svolti (Ispirati alle tue tracce)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente, basati sulle strutture $f(x)$ dell’immagine fornita.

Livello Semplice (Logaritmi e Moduli)

Esercizio 1: Zeri di Funzione Fratta con Modulo

(Ispirato a $f(x) = \frac{\ln|x|-1}{x}$)

Domanda: Trova gli zeri della funzione $f(x) = \frac{\ln|x| – 1}{x}$.

Risposta Corretta: $x = e; x = -e$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

Condizione: Una frazione è zero se il numeratore è zero (e il denominatore esiste).
Equazione: $\ln|x| – 1 = 0$.
Isolamento: $\ln|x| = 1$.
Esponenziale: $|x| = e^1 = e$.
Modulo: $x = e$ oppure $x = -e$.
Verifica C.E.: $x \ne 0$ e $|x|>0$. Entrambe le soluzioni sono valide.

Esercizio 2: Dominio di Logaritmo di Esponenziale

(Ispirato a $f(x) = \ln(e^{2x} – e^x – 6)$)

Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \ln(e^{2x} – e^x – 6)$.

Risposta Corretta: $x > \ln 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Condizione: Argomento del logaritmo $> 0$.$e^{2x} – e^x – 6 > 0$.
Sostituzione: $t = e^x$ (con $t > 0$).$t^2 – t – 6 > 0$.
Soluzioni $t$: $(t-3)(t+2) > 0$. Valori esterni: $t < -2 \lor t > 3$.
Analisi $t$: Poiché $t=e^x > 0$, scartiamo $t < -2$. Rimane $t > 3$.
Ritorno a $x$: $e^x > 3 \rightarrow x > \ln 3$.

Livello Intermedio (Radici Annidate e Logaritmi)

Esercizio 3: Dominio con Radice e Logaritmo

(Ispirato a $f(x) = \sqrt{\ln(|x|-1)}$)

Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \sqrt{\ln(|x| – 1)}$?

Risposta Corretta: $x \le -2 \lor x \ge 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Sistema C.E.:
1. Radicando $\ge 0$: $\ln(|x| – 1) \ge 0$.
2. Argomento Log $> 0$: $|x| – 1 > 0 \rightarrow |x| > 1$.
Risoluzione 1: $\ln(|x| – 1) \ge \ln 1 \rightarrow |x| – 1 \ge 1$.$|x| \ge 2$.
Conclusione: La condizione $|x| \ge 2$ include già $|x| > 1$.
Soluzione: $x \le -2 \lor x \ge 2$.

Esercizio 4: Zeri di Esponenziale con Radice

(Ispirato a $f(x) = e^{x – \sqrt{x} – 2} – 1$)

Domanda: Risolvi l’equazione $e^{x – \sqrt{x} – 2} = 1$.

Risposta Corretta: $x = 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Uguaglianza: $e^{x – \sqrt{x} – 2} = e^0$.
Esponenti: $x – \sqrt{x} – 2 = 0$.
Sostituzione: $t = \sqrt{x}$ (con $t \ge 0$). Allora $x = t^2$.$t^2 – t – 2 = 0$.
Soluzioni $t$: $(t-2)(t+1) = 0 \rightarrow t = 2, t = -1$.
Scarto: $t = -1$ non accettabile (una radice è sempre $\ge 0$).
Ritorno a $x$: $\sqrt{x} = 2 \rightarrow x = 4$.

Livello Avanzato (Moduli di Esponenziali e Fratte)

Esercizio 5: Modulo di Esponenziale Irrazionale

(Ispirato a $f(x) = |e^{\sqrt{x}-1} – 2| – 1$)

Domanda: Trova gli zeri di $|e^{\sqrt{x}-1} – 2| = 1$.

Risposta Corretta: $x = 1; x = (1 + \ln 3)^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Sdoppiamento Modulo:
1. $e^{\sqrt{x}-1} – 2 = 1 \rightarrow e^{\sqrt{x}-1} = 3$.
2. $e^{\sqrt{x}-1} – 2 = -1 \rightarrow e^{\sqrt{x}-1} = 1$.
Caso 1: $\sqrt{x}-1 = \ln 3 \rightarrow \sqrt{x} = 1 + \ln 3 \rightarrow x = (1+\ln 3)^2$.
Caso 2: $\sqrt{x}-1 = \ln 1 = 0 \rightarrow \sqrt{x} = 1 \rightarrow x = 1$.
Soluzioni: Entrambe valide ($x \ge 0$).

Esercizio 6: Dominio Triplo (Radice di Esponenziale di Radice)

(Ispirato a $f(x) = \sqrt{e^{\sqrt{x^2-4}} – e}$)

Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \sqrt{e^{\sqrt{x^2-4}} – e}$.

Risposta Corretta: $x \le -\sqrt{5} \lor x \ge \sqrt{5}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Condizione 1 (Radice Interna): $x^2 – 4 \ge 0 \rightarrow x \le -2 \lor x \ge 2$.
Condizione 2 (Radice Esterna): $e^{\sqrt{x^2-4}} – e \ge 0$.$e^{\sqrt{x^2-4}} \ge e^1$.
Esponenti: $\sqrt{x^2-4} \ge 1$.
Elevamento: $x^2 – 4 \ge 1 \rightarrow x^2 \ge 5$.
Soluzione: $x \le -\sqrt{5} \lor x \ge \sqrt{5}$. (Questa condizione è più restrittiva della prima e la ingloba).

Livello Molto Avanzato (Sostituzioni Miste)

Esercizio 7: Equazione Logaritmica Fratta e Quadrata

(Ispirato a $f(x) = \frac{\ln^2(\sqrt{x}) – 4}{\ln x + 2}$)

Domanda: Risolvi $\ln^2(\sqrt{x}) – 4 = 0$.

Risposta Corretta: $x = e^4; x = e^{-4}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

Proprietà: $\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \ln x$.
Sostituzione: $(\frac{1}{2} \ln x)^2 – 4 = 0$.$\frac{1}{4} \ln^2 x = 4 \rightarrow \ln^2 x = 16$.
Radice: $\ln x = \pm 4$.
Soluzioni: $x = e^4$ e $x = e^{-4}$.
(Nota: Se ci fosse il denominatore $\ln x + 2$, dovremmo controllare che $\ln x \ne -2$, cioè $x \ne e^{-2}$. Le nostre soluzioni sono diverse, quindi OK).

Esercizio 8: Esponenziale con Logaritmo al Denominatore

(Ispirato a $f(x) = e^{\frac{\ln x}{1 – \ln x}} – e^2 = 0$)

Domanda: Risolvi $e^{\frac{\ln x}{1 – \ln x}} = e^2$.

Risposta Corretta: $x = e^{2/3}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

Uguaglianza Esponenti: $\frac{\ln x}{1 – \ln x} = 2$.
Sostituzione: $t = \ln x$.$\frac{t}{1 – t} = 2$.
Risoluzione (C.E. $t \ne 1$):$t = 2(1 – t) \rightarrow t = 2 – 2t$.$3t = 2 \rightarrow t = 2/3$.
Ritorno a $x$: $\ln x = 2/3 \rightarrow x = e^{2/3} = \sqrt[3]{e^2}$.

Livello Molto Molto Avanzato (La “Bestia” Finale)

Esercizio 9: Equazione Mista Radice-Logaritmo con Sostituzione

(Ispirato a $f(x) = \sqrt{2\ln x + 3} – \ln x$)

Domanda: Risolvi $\sqrt{2\ln x + 3} = \ln x$.

Risposta Corretta: $x = e^3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

Sostituzione: $t = \ln x$.$\sqrt{2t + 3} = t$.
Sistema Irrazionale:$\begin{cases} t \ge 0 \quad (\text{Membro dx positivo}) \\ 2t + 3 = t^2 \end{cases}$
Equazione: $t^2 – 2t – 3 = 0$.
Soluzioni: $(t-3)(t+1) = 0 \rightarrow t=3, t=-1$.
Selezione: Solo $t=3$ è accettabile (perché $t \ge 0$). Scartiamo $t=-1$.
Ritorno a $x$: $\ln x = 3 \rightarrow x = e^3$.

Esercizio 10: Modulo di Logaritmo di Radice

(Ispirato a $f(x) = |\ln(\sqrt{x}-1) – 2| – 3$)

Domanda: Risolvi $|\ln(\sqrt{x}-1) – 2| = 3$.

Risposta Corretta: $x = (e^5 + 1)^2; x = (e^{-1} + 1)^2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Sdoppiamento:
1. $\ln(\sqrt{x}-1) – 2 = 3 \rightarrow \ln(\sqrt{x}-1) = 5$.
2. $\ln(\sqrt{x}-1) – 2 = -3 \rightarrow \ln(\sqrt{x}-1) = -1$.
Caso 1: $\sqrt{x} – 1 = e^5 \rightarrow \sqrt{x} = e^5 + 1 \rightarrow x = (e^5 + 1)^2$.
Caso 2: $\sqrt{x} – 1 = e^{-1} \rightarrow \sqrt{x} = e^{-1} + 1 \rightarrow x = (e^{-1} + 1)^2$.
C.E.: $\sqrt{x} – 1 > 0 \rightarrow \sqrt{x} > 1 \rightarrow x > 1$. Entrambe le soluzioni sono $> 1$.