In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni Logaritmiche.
Analizzeremo 4 funzioni di complessità crescente, determinando per ciascuna il Dominio (C.E.), le Intersezioni con gli assi e il Segno.
Ricorda:
- Dominio: L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo ($>0$).
- Segno: $\log_a f(x) > 0 \iff f(x) > 1$ (se la base $a > 1$).
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato
Funzione 1: Logaritmo di Polinomio
$$f(x) = \ln(x^2 – 4)$$
Esercizio 1: Dominio
Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = \ln(x^2 – 4)$?
Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Condizione: Argomento $> 0$.
- Disequazione: $x^2 – 4 > 0$.
- Soluzione: Valori esterni alle radici $\pm 2$.
- Dominio: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi
Domanda: Trova le intersezioni con gli assi.
Risposta Corretta: Asse y: Nessuna; Asse x: $(\pm \sqrt{5}, 0)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Asse y ($x=0$): $x=0$ non appartiene al dominio ($-2 < 0 < 2$). Nessuna intersezione.
- Asse x ($y=0$): $\ln(x^2 – 4) = 0$.
- $x^2 – 4 = e^0 \rightarrow x^2 – 4 = 1$.
- $x^2 = 5 \rightarrow x = \pm \sqrt{5}$.
- Poiché $\sqrt{5} \approx 2.23 > 2$, entrambe sono accettabili.
Esercizio 3: Studio del Segno
Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $x < -\sqrt{5} \lor x > \sqrt{5}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Disequazione: $\ln(x^2 – 4) > 0$.
- Argomento > 1: $x^2 – 4 > 1$.
- Risoluzione: $x^2 > 5 \rightarrow x < -\sqrt{5} \lor x > \sqrt{5}$.
Funzione 2: Logaritmo di una Funzione Fratta
$$f(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$$
Esercizio 4: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$?
Risposta Corretta: $x < -1 \lor x > 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Condizione: Argomento $> 0$.
- Studio Segno Frazione: $\frac{x-1}{x+1} > 0$.
- $N > 0 \rightarrow x > 1$.
- $D > 0 \rightarrow x > -1$.
- Concordi (positivi) per $x < -1 \lor x > 1$.
Esercizio 5: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Trova gli zeri della funzione (Asse y esclusa dal dominio).
Risposta Corretta: Nessuna intersezione
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Equazione: $\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = 0$.
- Argomento = 1: $\frac{x-1}{x+1} = 1$.
- Risoluzione: $x – 1 = x + 1 \rightarrow -1 = 1$.
- Conclusione: Equazione impossibile. La funzione non interseca l’asse x (ha un asintoto orizzontale $y=0$ ma non lo tocca mai).
Esercizio 6: Studio del Segno
Domanda: In quale intervallo la funzione è positiva?
Risposta Corretta: $x < -1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Disequazione: $\frac{x-1}{x+1} > 1$.
- Passaggio: $\frac{x-1}{x+1} – 1 > 0 \rightarrow \frac{x-1 – (x+1)}{x+1} > 0$.$\frac{-2}{x+1} > 0$.
- Analisi: Il numeratore è negativo (-2). Affinché la frazione sia positiva, anche il denominatore deve essere negativo.
- Soluzione: $x + 1 < 0 \rightarrow x < -1$. (Intervallo compatibile col dominio).
Funzione 3: Logaritmo di Funzione Irrazionale
$$f(x) = \ln(\sqrt{x} – 1)$$
Esercizio 7: Dominio
Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \ln(\sqrt{x} – 1)$.
Risposta Corretta: $x > 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Sistema di Condizioni:
- Radicando $\ge 0 \rightarrow x \ge 0$.
- Argomento Log $> 0 \rightarrow \sqrt{x} – 1 > 0$.
- Risoluzione 2: $\sqrt{x} > 1 \rightarrow x > 1$.
- Intersezione: $x > 1$.
Esercizio 8: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Qual è lo zero della funzione?
Risposta Corretta: $x = 4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Equazione: $\ln(\sqrt{x} – 1) = 0$.
- Argomento = 1: $\sqrt{x} – 1 = 1 \rightarrow \sqrt{x} = 2$.
- Quadrato: $x = 4$.
Esercizio 9: Studio del Segno
Domanda: Dove è positiva la funzione?
Risposta Corretta: $x > 4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Disequazione: $\sqrt{x} – 1 > 1$.
- Risoluzione: $\sqrt{x} > 2 \rightarrow x > 4$.
Funzione 4: Logaritmo di Funzione Esponenziale
$$f(x) = \ln(e^x – 2)$$
Esercizio 10: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = \ln(e^x – 2)$?
Risposta Corretta: $x > \ln 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Condizione: $e^x – 2 > 0$.
- Risoluzione: $e^x > 2$.
- Logaritmo: $x > \ln 2$.
Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Trova gli zeri della funzione.
Risposta Corretta: $x = \ln 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-11):
- Equazione: $e^x – 2 = 1$.
- Risoluzione: $e^x = 3 \rightarrow x = \ln 3$.
Esercizio 12: Studio del Segno
Domanda: Risolvi la disequazione $f(x) > 0$.
Risposta Corretta: $x > \ln 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-12):
- Disequazione: $e^x – 2 > 1$.
- Risoluzione: $e^x > 3 \rightarrow x > \ln 3$.