Esercizi Svolti sul Concetto di Funzione (Base)

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sul Concetto di Funzione, fondamentali per affrontare poi lo studio completo del grafico. Imparerai a distinguere una funzione da una semplice relazione, a calcolare $f(x)$ dato $x$ (immagine) e a trovare $x$ dato $y$ (controimmagine).

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.

Ripasso: Cos’è una Funzione?

Una funzione $f$ è una relazione tra due insiemi (Dominio e Codominio) che associa a ogni elemento $x$ del dominio uno e un solo elemento $y$ del codominio.

Si scrive $y = f(x)$.

Concetti Chiave:

1. Immagine: Se ti viene dato $x$ e devi trovare $y$, sostituisci il valore nella formula. (Es. calcola $f(2)$).
2. Controimmagine: Se ti viene dato $y$ (il risultato) e devi trovare $x$, devi risolvere l’equazione $f(x) = y$.
3. Test della Retta Verticale: In un grafico, se una retta verticale interseca la curva in più di un punto, allora non è una funzione.
4. Dominio (C.E.): L’insieme di tutti i valori $x$ per cui la funzione ha senso (es. denominatori $\ne 0$, radicandi pari $\ge 0$).

---

Esercizi Svolti (Concetti e Calcoli)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Definizioni e Calcolo Diretto)

Esercizio 1: Definizione di Funzione (Relazione)

Domanda: La relazione “essere la capitale di…” che associa a ogni Nazione ($x$) la sua città capitale ($y$), è una funzione?

Risposta Corretta: Sì

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Prendiamo un elemento dell’insieme di partenza (una Nazione, es. Italia). Esiste una sola capitale (Roma)? Sì.
• Criterio: Poiché a ogni Nazione corrisponde una e una sola capitale, la relazione è una funzione.

Esercizio 2: Calcolo dell’Immagine

Domanda: Data la funzione $f(x) = x^2 – 3x + 1$, calcola $f(-2)$.

Risposta Corretta: $11$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Sostituzione: Sostituiamo $x$ con $-2$.
• Calcolo: $f(-2) = (-2)^2 – 3(-2) + 1$.$f(-2) = 4 + 6 + 1 = 11$.

---

Livello Intermedio (Controimmagini e Non-Funzioni)

Esercizio 3: Calcolo della Controimmagine

Domanda: Data la funzione $f(x) = 3x – 5$, trova il valore di $x$ tale che $f(x) = 10$.

Risposta Corretta: $x = 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Impostazione Equazione: Poniamo l’espressione uguale a 10.$3x – 5 = 10$.
• Risoluzione:$3x = 15$.$x = 15/3 \rightarrow x = 5$.

Esercizio 4: Riconoscimento Grafico (Cerchio)

Domanda: L’equazione $x^2 + y^2 = 9$ descrive $y$ come funzione di $x$?

Risposta Corretta: No

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Questa è l’equazione di una circonferenza centrata nell’origine.
• Test: Se prendiamo $x=0$, otteniamo $y^2=9$, che ha due soluzioni: $y=3$ e $y=-3$.
• Conclusione: Poiché a un solo valore di $x$ corrispondono due valori di $y$, non è una funzione.

---

Livello Avanzato (Funzioni a Tratti e Domini Semplici)

Esercizio 5: Funzione a Tratti (Piecewise)

Domanda: Data $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \ge 0 \\ x^2 & \text{se } x < 0 \end{cases}$, calcola $f(-3)$.

Risposta Corretta: $9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi Input: L’input è $x = -3$.
• Scelta del Caso: $-3 < 0$, quindi dobbiamo usare la seconda formula ($x^2$).
• Calcolo: $f(-3) = (-3)^2 = 9$.

Esercizio 6: Dominio di Funzione Fratta

Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = \frac{x+2}{x-5}$?

Risposta Corretta: $x \ne 5$ (o $\mathbb{R} \setminus \{5\}$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Condizione: Il denominatore non può essere zero.
• Calcolo: $x – 5 \ne 0 \rightarrow x \ne 5$.
• Dominio: Tutti i numeri reali tranne 5.

---

Livello Molto Avanzato (Controimmagini Quadratiche e Domini Irrazionali)

Esercizio 7: Controimmagine Quadratica

Domanda: Data $f(x) = x^2 – 4x$, trova i valori di $x$ per cui $f(x) = 5$.

Risposta Corretta: $x = 5; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Impostazione: $x^2 – 4x = 5$.
• Equazione: $x^2 – 4x – 5 = 0$.
• Scomposizione: $(x – 5)(x + 1) = 0$.
• Soluzioni: $x = 5$ e $x = -1$.

Esercizio 8: Dominio con Radice

Domanda: Determina il dominio di $f(x) = \sqrt{2x – 6}$.

Risposta Corretta: $x \ge 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Condizione: Il radicando (indice pari) deve essere non negativo.
• Disequazione: $2x – 6 \ge 0$.
• Risoluzione: $2x \ge 6 \rightarrow x \ge 3$.

---

Livello Molto Molto Avanzato (Funzioni Composte e Parametriche)

Esercizio 9: Funzione Composta $f(g(x))$

Domanda: Se $f(x) = x^2$ e $g(x) = x – 1$, calcola il valore di $f(g(3))$.

Risposta Corretta: $4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Passo 1 (Interno): Calcoliamo prima $g(3)$.$g(3) = 3 – 1 = 2$.
• Passo 2 (Esterno): Ora calcoliamo $f(\text{risultato})$.$f(2) = 2^2 = 4$.

Esercizio 10: Controimmagine Fratta

Domanda: Data $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$, trova $x$ tale che $f(x) = \frac{1}{2}$.

Risposta Corretta: $x = 1$ (Doppia)

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Impostazione: $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2}$.
• Risoluzione: Moltiplicazione incrociata (il den $x^2+1$ è sempre $>0$, non serve C.E.).$2x = x^2 + 1$.
• Equazione: $x^2 – 2x + 1 = 0$.
• Quadrato di Binomio: $(x – 1)^2 = 0$.
• Soluzione: $x = 1$.

💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Inizia oggi a scoprire i corsi di matematica! Accetta la sfida e intraprendi un viaggio affascinante che riparte dai numeri, attraversa monomi e polinomi, padroneggia lo studio di funzione e l’algebra lineare, fino a immergerti nel rigore profondo dell’Analisi I e delle funzioni a due variabili. Il futuro ti aspetta, e parla in formule.