In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sullo Studio di Funzioni Polinomiali. Affronteremo i primi tre passaggi fondamentali dell’analisi matematica:
- Dominio: Dove la funzione esiste.
- Intersezioni: Dove la funzione tocca gli assi $x$ e $y$.
- Segno: Dove la funzione è positiva (sopra l’asse $x$) o negativa (sotto).
Analizzeremo 4 funzioni diverse, dalla più semplice (parabola) a quelle più complesse (cubiche e biquadratiche). Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato [(Nota per te: inserire link al quiz)].
INDICE
Funzione 1: La Parabola Semplice
$$f(x) = x^2 – 4$$
Esercizio 1: Dominio
Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = x^2 – 4$?
Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Analisi: La funzione è un polinomio intero. Non ci sono denominatori, radici o logaritmi.
- Conclusione: La funzione è definita per qualsiasi numero reale. $D = (-\infty, +\infty)$.
Esercizio 2: Intersezioni con gli Assi
Domanda: Trova i punti di intersezione con gli assi.
Risposta Corretta: Asse y: $(0, -4)$; Asse x: $(\pm 2, 0)$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Asse y (pongo $x=0$): $y = 0^2 – 4 = -4$. Punto $A(0, -4)$.
- Asse x (pongo $y=0$): $x^2 – 4 = 0 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = \pm 2$. Punti $B(2, 0)$ e $C(-2, 0)$.
Esercizio 3: Studio del Segno
Domanda: Per quali valori di $x$ la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Disequazione: $x^2 – 4 > 0$.
- Metodo: È una parabola con concavità verso l’alto ($a=1>0$). È positiva per valori esterni alle radici.
- Soluzione: $x < -2 \lor x > 2$.
Funzione 2: La Cubica Fattorizzabile
$$f(x) = x^3 – 4x^2 + 3x$$
Esercizio 4: Dominio
Domanda: Qual è il dominio della funzione $f(x) = x^3 – 4x^2 + 3x$?
Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Analisi: Anche questa è una funzione polinomiale (razionale intera).
- Conclusione: Esiste sempre. $D = \mathbb{R}$.
Esercizio 5: Intersezioni con gli Assi
Domanda: Trova i punti di intersezione con l’asse $x$ (zeri della funzione).
Risposta Corretta: $x=0, x=1, x=3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Equazione: $x^3 – 4x^2 + 3x = 0$.
- Raccoglimento: $x(x^2 – 4x + 3) = 0$.
- Fattore 1: $x = 0$.
- Fattore 2: $x^2 – 4x + 3 = 0$. Troviamo due numeri con somma 4 e prodotto 3 ($x=1, x=3$).
- Punti: $(0,0), (1,0), (3,0)$. (L’intersezione asse $y$ coincide con l’origine).
Esercizio 6: Studio del Segno
Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $0 < x < 1 \lor x > 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Disequazione: $x(x-1)(x-3) > 0$.
- Grafico dei Segni:
- $x > 0$:
--- (0) +++++++ - $x^2 -4x +3 > 0$ (Valori esterni 1 e 3):
+++ (0) +++ (1) --- (3) +++
- $x > 0$:
- Prodotto Segni:
- $x < 0$: Negativo $\cdot$ Positivo = Negativo
- $0 < x < 1$: Positivo $\cdot$ Positivo = Positivo
- $1 < x < 3$: Positivo $\cdot$ Negativo = Negativo
- $x > 3$: Positivo $\cdot$ Positivo = Positivo
- Soluzione: $0 < x < 1 \lor x > 3$.
Funzione 3: La Biquadratica (Simmetrica Pari)
$$f(x) = x^4 – 5x^2 + 4$$
Esercizio 7: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = x^4 – 5x^2 + 4$?
Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Analisi: Polinomio di quarto grado. Nessuna restrizione.
- Conclusione: $D = \mathbb{R}$.
Esercizio 8: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Quali sono le intersezioni con l’asse $x$?
Risposta Corretta: $x = \pm 1; x = \pm 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Equazione: $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$.
- Sostituzione: $t = x^2$. L’equazione diventa $t^2 – 5t + 4 = 0$.
- Soluzioni $t$: $(t-4)(t-1)=0 \rightarrow t=4, t=1$.
- Ritorno a $x$:
- $x^2 = 4 \rightarrow x = \pm 2$.
- $x^2 = 1 \rightarrow x = \pm 1$.
- Punti: $(\pm 1, 0)$ e $(\pm 2, 0)$.
Esercizio 9: Studio del Segno
Domanda: Dove la funzione è positiva ($f(x) > 0$)?
Risposta Corretta: $x < -2 \lor -1 < x < 1 \lor x > 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Fattorizzazione: Abbiamo visto che le radici di $t$ sono esterne a 1 e 4. Quindi $(x^2-1)(x^2-4) > 0$.
- Segno Fattore 1 ($x^2-1>0$): $x < -1 \lor x > 1$.
- Segno Fattore 2 ($x^2-4>0$): $x < -2 \lor x > 2$.
- Grafico dei Segni:
- Capisaldi: -2, -1, 1, 2.
- Intervalli positivi (concordi): Prima di -2, tra -1 e 1, dopo 2.
- Soluzione: $x < -2 \lor -1 < x < 1 \lor x > 2$.
Funzione 4: Cubica con Coefficiente Fratto/Complesso
$$f(x) = 4x^3 – x$$
Esercizio 10: Dominio
Domanda: Qual è il dominio di $f(x) = 4x^3 – x$?
Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Analisi: Polinomio.
- Conclusione: $D = \mathbb{R}$.
Esercizio 11: Intersezioni con l’Asse X
Domanda: Trova gli zeri della funzione $4x^3 – x = 0$.
Risposta Corretta: $x = 0; x = \pm 1/2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-11):
- Raccoglimento: $x(4x^2 – 1) = 0$.
- Fattore 1: $x = 0$.
- Fattore 2: $4x^2 – 1 = 0 \rightarrow x^2 = 1/4 \rightarrow x = \pm \sqrt{1/4} = \pm 1/2$.
- Punti: $(0,0), (1/2, 0), (-1/2, 0)$.
Esercizio 12: Studio del Segno
Domanda: Dove è positiva la funzione $4x^3 – x$?
Risposta Corretta: $-1/2 < x < 0 \lor x > 1/2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-12):
- Disequazione: $x(2x – 1)(2x + 1) > 0$.
- Studio Fattori:
- $x > 0$.
- $2x – 1 > 0 \rightarrow x > 1/2$.
- $2x + 1 > 0 \rightarrow x > -1/2$.
- Grafico Segni:
- Prima di -1/2: Neg $\cdot$ Neg $\cdot$ Neg = Negativo.
- Tra -1/2 e 0: Neg $\cdot$ Neg $\cdot$ Pos = Positivo.
- Tra 0 e 1/2: Pos $\cdot$ Neg $\cdot$ Pos = Negativo.
- Dopo 1/2: Pos $\cdot$ Pos $\cdot$ Pos = Positivo.
- Soluzione: $-1/2 < x < 0 \lor x > 1/2$.
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