Esercizi Svolti sul Portare Dentro il Radicale

Per portare un fattore dentro il radicale, è necessario elevarlo a una potenza uguale all’indice della radice.

La formula generale è:

$$A \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A^n \cdot B}$$

Regole Fondamentali:

1. Indice Dispari (es. $\sqrt[3]{…}$): Qualsiasi fattore (positivo o negativo) può essere portato dentro, mantenendo il suo segno quando elevato.
   • Esempio: $-2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{(-2)^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{-8 \cdot 5} = \sqrt[3]{-40}$.
2. Indice Pari (es. $\sqrt{…}$): Si può portare dentro solo un fattore positivo. Un eventuale segno “meno” deve obbligatoriamente rimanere fuori dalla radice.
   • Esempio Corretto: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
   • Esempio “Trappola”: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \cdot 5} = -\sqrt{20}$.

Nota: In questo articolo e nel quiz, per tutti gli esercizi letterali (con lettere) supporremo che i fattori esterni da portare dentro siano positivi ($> 0$), per evitare la discussione sul valore assoluto (che sarà trattata in un argomento successivo).

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base (2 Esercizi) – Esercizi Svolti sul Portare Dentro il Radicale

Esercizio 1: Numerico (Indice Pari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $2\sqrt{3}$.

Risposta Corretta: $\sqrt{12}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Regola: L’indice è 2 (pari). Il fattore (2) è positivo.
2. Calcolo: Eleviamo il 2 all’indice 2 e moltiplichiamo:$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

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Esercizio 2: Numerico (Indice Dispari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $2\sqrt[3]{5}$.

Risposta Corretta: $\sqrt[3]{40}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Regola: L’indice è 3 (dispari).
2. Calcolo: Eleviamo il 2 all’indice 3 e moltiplichiamo:$2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.

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Livello Intermedio (2 Esercizi) – Esercizi Svolti sul Portare Dentro il Radicale

Esercizio 3: Numerico (Segno Negativo)

Domanda: Porta dentro il fattore: $-3\sqrt{2}$.

Risposta Corretta: $-\sqrt{18}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Regola: L’indice è 2 (pari). Il segno meno non può essere portato dentro e deve rimanere fuori.
2. Calcolo: Portiamo dentro solo il 3, elevandolo alla 2:$-3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \cdot 2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}$.

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Esercizio 4: Letterale (Monomio – Indice Pari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $a\sqrt{b}$ (supponendo $a > 0$).

Risposta Corretta: $\sqrt{a^2b}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Regola: Indice pari (2). L’ipotesi $a > 0$ ci permette di portarlo dentro.
2. Calcolo: Eleviamo ‘a’ all’indice 2:$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2b}$.

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Livello Avanzato (3 Esercizi)

Esercizio 5: Letterale (Monomio – Indice Dispari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $x\sqrt[3]{y}$.

Risposta Corretta: $\sqrt[3]{x^3y}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Regola: L’indice è 3 (dispari). Possiamo portare dentro $x$ senza condizioni.
2. Calcolo: Eleviamo $x$ all’indice 3:$x\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x^3 \cdot y} = \sqrt[3]{x^3y}$.

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Esercizio 6: Letterale (Polinomio – Indice Pari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $(x+1)\sqrt{2}$ (supponendo $x+1 > 0$).

Risposta Corretta: $\sqrt{2(x^2+2x+1)}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Regola: Indice pari (2). L’ipotesi $x+1 > 0$ ci permette di portare dentro l’intero binomio.
2. Calcolo: Eleviamo $(x+1)$ all’indice 2:$(x+1)\sqrt{2} = \sqrt{(x+1)^2 \cdot 2} = \sqrt{2(x^2+2x+1)}$.

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Esercizio 7: Letterale (Polinomio – Indice Dispari)

Domanda: Porta dentro il fattore: $(a-b)\sqrt[3]{2}$.

Risposta Corretta: $\sqrt[3]{2(a-b)^3}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Regola: L’indice è 3 (dispari). Possiamo portare dentro il blocco $(a-b)$ senza condizioni.
2. Calcolo: Eleviamo $(a-b)$ all’indice 3:$(a-b)\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{(a-b)^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2(a-b)^3}$.

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Livello Super Avanzato (3 Esercizi) – Esercizi Svolti sul Portare Dentro il Radicale

Esercizio 8: Frazione Numerica (Semplificazione)

Domanda: Porta dentro il fattore: $\frac{1}{3}\sqrt{18}$.

Risposta Corretta: $\sqrt{2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Regola: Indice pari (2). Il fattore $\frac{1}{3}$ è positivo.
2. Calcolo: Eleviamo $\frac{1}{3}$ alla 2:$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18}$.
3. Semplifica: $\sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$.

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Esercizio 9: Frazione Algebrica (Monomio)

Domanda: Porta dentro il fattore: $\frac{1}{x}\sqrt{x^3}$ (supponendo $x > 0$).

Risposta Corretta: $\sqrt{x}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Regola: Indice pari (2). L’ipotesi $x > 0$ ci permette di portare dentro $\frac{1}{x}$.
2. Calcolo: Eleviamo $\frac{1}{x}$ alla 2:$\sqrt{(\frac{1}{x})^2 \cdot x^3} = \sqrt{\frac{1}{x^2} \cdot x^3}$.
3. Semplifica: $\sqrt{\frac{x^3}{x^2}} = \sqrt{x}$.

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Esercizio 10: Frazione Algebrica (Polinomio)

Domanda: Porta dentro il fattore: $\frac{1}{x-1}\sqrt{x^2-1}$ (supponendo $x > 1$).

Risposta Corretta: $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Regola: Indice pari (2). L’ipotesi $x > 1$ garantisce che il fattore $\frac{1}{x-1}$ sia positivo.
2. Calcolo: Eleviamo $\frac{1}{x-1}$ alla 2:$\sqrt{(\frac{1}{x-1})^2 \cdot (x^2-1)}$.
3. Scomposizione: Scomponiamo $x^2-1$ in $(x-1)(x+1)$:$\sqrt{\frac{1}{(x-1)^2} \cdot (x-1)(x+1)}$.
4. Semplifica: Eliminiamo un fattore $(x-1)$ al numeratore e al denominatore:$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$.

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