Esercizi Svolti sulla Moltiplicazione e Divisione di Radicali

Le operazioni di prodotto e quoziente (divisione) tra radicali seguono regole precise che dipendono dall’indice della radice.

Regola 1: Stesso Indice

Il prodotto (o la divisione) di due radicali con lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il prodotto (o la divisione) dei radicandi.

• $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B} = \sqrt[n]{A \cdot B}$
• $\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}}$

Regola 2: Indice Diverso

Per moltiplicare o dividere radicali con indici diversi, è necessario prima ridurli allo stesso indice, calcolando il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra gli indici.

• $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[m]{B} = \sqrt[n \cdot m]{A^m \cdot B^n}$

Regola 3: Razionalizzazione (Divisione)

Per “divisione” si intende spesso anche “razionalizzazione”, ovvero la tecnica per eliminare un radicale dal denominatore di una frazione.

Regola 4: Prodotti Notevoli

I prodotti notevoli (es. $(A+B)^2$ o $(A-B)(A+B)$) si applicano ai radicali esattamente come ai polinomi.

Nota: Per tutti gli esercizi, supporremo che i radicandi (e i denominatori) soddisfino le Condizioni di Esistenza.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Esercizi Numerici – Esercizi Svolti sulla Moltiplicazione e Divisione di Radicali

Esercizio 1: Base (Prodotto – Stesso Indice)

Domanda: Calcola $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$.

Risposta Corretta: $\sqrt{15}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Regola: I radicali hanno lo stesso indice (2).
2. Calcolo: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$.

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Esercizio 2: Base (Divisione/Semplificazione)

Domanda: Calcola $\sqrt{10} \cdot \sqrt{\frac{2}{5}}$.

Risposta Corretta: $2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Regola: Stesso indice (2).
2. Calcolo: $\sqrt{10 \cdot \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4}$.
3. Risultato: $2$.

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Esercizio 3: Intermedio (Prodotto Notevole – Somma/Differenza)

Domanda: Calcola $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} – 1)$.

Risposta Corretta: $4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Regola: Riconosciamo il prodotto notevole $(A + B)(A – B) = A^2 – B^2$.
2. Identifica: $A = \sqrt{5}$, $B = 1$.
3. Calcolo: $A^2 – B^2 = (\sqrt{5})^2 – (1)^2 = 5 – 1 = 4$.

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Esercizio 4: Intermedio (Prodotto Notevole – Quadrato Binomio)

Domanda: Calcola $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

Risposta Corretta: $5 + 2\sqrt{6}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Regola: Riconosciamo il quadrato $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
2. Identifica: $A = \sqrt{3}$, $B = \sqrt{2}$.
3. Calcolo:
   • $A^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
   • $B^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
   • $2AB = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$
4. Risultato: $3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}$.

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Esercizio 5: Intermedio (Indice Diverso)

Domanda: Calcola $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{3}$.

Risposta Corretta: $\sqrt[6]{72}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Regola: Indici diversi (3 e 2).
2. m.c.m. Indici: Il m.c.m. tra 3 e 2 è 6.
3. Trasforma:
   • $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4}$
   • $\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
4. Calcolo: $\sqrt[6]{4} \cdot \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{4 \cdot 27} = \sqrt[6]{108}$.(Errore mio nel calcolo. $4 \cdot 27 = 108$. Modifico la risposta.)Risposta Corretta (Ricalcolata): $\sqrt[6]{108}$

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Esercizi Letterali – Esercizi Svolti sulla Moltiplicazione e Divisione di Radicali

Esercizio 6: Avanzato (Monomi – Semplificazione)

Domanda: Calcola $\sqrt{5a} \cdot \sqrt{20a}$ (con $a \ge 0$).

Risposta Corretta: $10a$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Regola: Stesso indice (2).
2. Calcolo: $\sqrt{5a \cdot 20a} = \sqrt{100a^2}$.
3. Risoluzione Radice: $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{a^2} = a$ (poiché $a \ge 0$).
4. Risultato: $10a$.

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Esercizio 7: Avanzato (Divisione – Razionalizzazione Semplice)

Domanda: Calcola $\frac{6a}{\sqrt{2}}$ (con $a \ge 0$).

Risposta Corretta: $3\sqrt{2}a$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Regola: Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{2}$.
2. Calcolo: $\frac{6a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6a\sqrt{2}}{\sqrt{4}}$.
3. Semplifica: $\frac{6a\sqrt{2}}{2}$.
4. Risultato: $3a\sqrt{2}$.

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Esercizio 8: Avanzato (Moltiplicazione Frazioni)

Domanda: Calcola $\sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \cdot \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$.

Risposta Corretta: $1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. Regola: Stesso indice. Moltiplichiamo i radicandi.
2. Calcolo: $\sqrt{\frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-1}}$.
3. Semplifica (Interno): I termini $(x-1)$ si elidono e i termini $(x+2)$ si elidono.
4. Risultato: $\sqrt{1} = 1$.

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Esercizio 9: Molto Avanzato (Divisione e Scomposizione)

Domanda: Calcola $\frac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2}}$ (con $x > 2$).

Risposta Corretta: $\sqrt{x+2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Regola: Stesso indice. Dividiamo i radicandi.
2. Calcolo: $\sqrt{\frac{x^2-4}{x-2}}$.
3. Scomposizione (Num): $\sqrt{\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}$.
4. Semplifica (Interno): Eliminiamo $(x-2)$.
5. Risultato: $\sqrt{x+2}$.

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Esercizio 10: Molto Avanzato (Divisione – Razionalizzazione Polinomiale)

Domanda: Calcola $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ (con $x \ge 0, x \neq 1$).

Risposta Corretta: $\sqrt{x}+1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Ci sono due modi per risolverlo.

Metodo 1: Razionalizzazione

1. Razionalizza: Moltiplichiamo sopra e sotto per il coniugato $(\sqrt{x}+1)$.
2. Calcolo: $\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$.
3. Denominatore: È $(A-B)(A+B) = A^2 – B^2 = (\sqrt{x})^2 – 1^2 = x-1$.
4. Riscrivi: $\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}$.
5. Semplifica: $\sqrt{x}+1$.

Metodo 2: Scomposizione Numeratore

1. Scomponi (Num): Riconosciamo $x-1$ come una differenza di quadrati $A^2-B^2$ dove $A=\sqrt{x}$ e $B=1$.
2. Riscrivi: $\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$.
3. Semplifica: $\sqrt{x}+1$.

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