In questo articolo affrontiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni Logaritmiche di livello avanzato. Mettiamo insieme tutto quello che abbiamo imparato (proprietà, sostituzione, studio del segno) per risolvere casi complessi che coinvolgono valori assoluti, radici, esponenziali e frazioni.
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato
INDICE
- 1 Ripasso: Strategie per i Casi Misti
- 2 Esercizi Svolti (Ispirati ai tuoi appunti)
Ripasso: Strategie per i Casi Misti
Quando ci troviamo di fronte a disequazioni logaritmiche “miste” (cioè non riconducibili immediatamente alle forme base), dobbiamo adottare strategie combinate:
- Dominio (C.E.): È sempre il primo passo. Tutti gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi ($>0$), i denominatori diversi da zero ($\ne 0$) e i radicandi di indice pari non negativi ($\ge 0$).
- Sostituzione: Se vedi $\log^2 x$ o strutture ripetute, poni $t = \log x$.
- Studio del Segno: Per le disequazioni fratte o prodotti, studia il segno di ogni fattore separatamente e poi compila la tabella dei segni.
- Esponenziali nell’argomento: Se l’argomento è un esponenziale (es. $e^x – 1$), ricorda che $e^x$ è sempre positivo, ma $e^x – 1$ lo è solo se $x > 0$.
Esercizi Svolti (Ispirati ai tuoi appunti)
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente e varia tipologia.
Livello Semplice (Logaritmo Naturale e Proprietà)
Esercizio 1: Disequazione Base con $\ln$
Domanda: Risolvi $\ln(2x) – \ln(x-1) > 0$.
Risposta Corretta: $x > 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- C.E.:
- $2x > 0 \rightarrow x > 0$.
- $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$.
- Intersezione C.E.: $x > 1$.
- Proprietà: $\ln \left( \frac{2x}{x-1} \right) > 0$.
- Risoluzione: $\frac{2x}{x-1} > e^0 \rightarrow \frac{2x}{x-1} > 1$.$\frac{2x – (x-1)}{x-1} > 0 \rightarrow \frac{x+1}{x-1} > 0$.
- Segno:
- N: $x > -1$.
- D: $x > 1$.
- Frazione $>0$ per $x < -1 \lor x > 1$.
- Intersezione con C.E. ($x>1$): $x > 1$.
Esercizio 2: Logaritmo di Esponenziale (Semplice)
Domanda: Risolvi $\ln(e^x – 1) > 0$.
Risposta Corretta: $x > \ln 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- C.E.: $e^x – 1 > 0 \rightarrow e^x > 1 \rightarrow x > 0$.
- Risoluzione: $e^x – 1 > e^0 \rightarrow e^x – 1 > 1$.$e^x > 2$.
- Passaggio al Log: $x > \ln 2$.
- Verifica C.E.: $\ln 2 \approx 0.69 > 0$. Accettabile.
Livello Intermedio (Moduli e Radici Semplici)
Esercizio 3: Modulo nell’Argomento
Domanda: Risolvi $\ln(|x| – 1) > 0$.
Risposta Corretta: $x < -2 \lor x > 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- C.E.: $|x| – 1 > 0 \rightarrow |x| > 1 \rightarrow x < -1 \lor x > 1$.
- Risoluzione: $|x| – 1 > e^0 \rightarrow |x| – 1 > 1$.$|x| > 2$.
- Soluzione Modulo: $x < -2 \lor x > 2$.
- Verifica C.E.: L’intervallo trovato è interamente contenuto nel dominio.
Esercizio 4: Sostituzione Quadratica (Base)
Domanda: Risolvi $\ln^2 x – 3\ln x + 2 > 0$.
Risposta Corretta: $0 < x < e \lor x > e^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- C.E.: $x > 0$.
- Sostituzione: $t = \ln x$. Disequazione: $t^2 – 3t + 2 > 0$.
- Soluzione $t$: Valori esterni alle radici 1 e 2. $t < 1 \lor t > 2$.
- Contro-Sostituzione:
- $\ln x < 1 \rightarrow 0 < x < e$.
- $\ln x > 2 \rightarrow x > e^2$.
- Unione: $0 < x < e \lor x > e^2$.
Livello Avanzato (Fratte con Logaritmi e Radici)
Esercizio 5: Fratta con Logaritmo al Denominatore
Domanda: Risolvi $\frac{\ln x – 1}{\ln x – 2} < 0$.
Risposta Corretta: $e < x < e^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- C.E.: $x > 0$ e $\ln x \ne 2 \rightarrow x \ne e^2$.
- Sostituzione: $t = \ln x$.
- Disequazione: $\frac{t-1}{t-2} < 0$.
- Studio del Segno:
- N: $t > 1$.
- D: $t > 2$.
- Frazione $<0$ per $1 < t < 2$.
- Ritorno a $x$: $1 < \ln x < 2$.
- Esponenziazione: $e^1 < x < e^2 \rightarrow e < x < e^2$.
Esercizio 6: Radice di Logaritmo
Domanda: Risolvi $\sqrt{\ln x – 1} > 1$.
Risposta Corretta: $x > e^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- C.E. Radicale: $\ln x – 1 \ge 0 \rightarrow \ln x \ge 1 \rightarrow x \ge e$.
- Risoluzione: Eleviamo al quadrato (entrambi i membri positivi).$\ln x – 1 > 1$.$\ln x > 2$.
- Soluzione: $x > e^2$. (Compatibile con $x \ge e$).
Livello Molto Avanzato (Logaritmi Annidati e Moduli Esterni)
Esercizio 7: Logaritmo del Logaritmo
Domanda: Risolvi $\log(\log(x^2 – 1)) < 0$ (Base 10).
Risposta Corretta: $-\sqrt{11} < x < -\sqrt{2} \lor \sqrt{2} < x < \sqrt{11}$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- C.E. Interna: $x^2 – 1 > 0 \rightarrow x < -1 \lor x > 1$.
- C.E. Esterna: $\log(x^2 – 1) > 0 \rightarrow x^2 – 1 > 1 \rightarrow x^2 > 2 \rightarrow x < -\sqrt{2} \lor x > \sqrt{2}$.
- Risoluzione: $10^{\log(\log(x^2-1))} < 10^0 \rightarrow \log(x^2 – 1) < 1$.$x^2 – 1 < 10^1 \rightarrow x^2 < 11$.$-\sqrt{11} < x < \sqrt{11}$.
- Intersezione con C.E.: $(x < -\sqrt{2} \lor x > \sqrt{2}) \cap (-\sqrt{11} < x < \sqrt{11})$.
- Soluzione: $-\sqrt{11} < x < -\sqrt{2} \lor \sqrt{2} < x < \sqrt{11}$.
Esercizio 8: Modulo del Logaritmo
Domanda: Risolvi $|\ln x| > 2$.
Risposta Corretta: $0 < x < e^{-2} \lor x > e^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- C.E.: $x > 0$.
- Sdoppiamento Modulo: $|A| > k \implies A < -k \lor A > k$.
- $\ln x < -2 \rightarrow 0 < x < e^{-2}$.
- $\ln x > 2 \rightarrow x > e^2$.
- Soluzione: $0 < x < 1/e^2 \lor x > e^2$.
Livello Molto Molto Avanzato (Esponenziali Fratti e Radici Complesse)
Esercizio 9: Fratta con Sostituzione Esponenziale
Domanda: Risolvi $\frac{3\ln^2 x – \ln x – 10}{\ln x} < 0$. (Attenzione: $\ln x$ non $e^x$, correggo per coerenza titolo) -> Riformulo come Esponenziale con logaritmi.
Esercizio 9 (Modificato – Esponenziale): Risolvi $\log_2 (4^x – 2) < 1$.
Risposta Corretta: $\frac{1}{2} < x < 1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- C.E.: $4^x – 2 > 0 \rightarrow 2^{2x} > 2^1 \rightarrow 2x > 1 \rightarrow x > 1/2$.
- Risoluzione: $4^x – 2 < 2^1 \rightarrow 4^x < 4$.$4^x < 4^1 \rightarrow x < 1$.
- Intersezione: $1/2 < x < 1$.
Esercizio 10: Radice complessa con Logaritmo
Domanda: Risolvi $\sqrt{\ln^2 x – 1} < \sqrt{3}$.
Risposta Corretta: $e^{-2} < x \le e^{-1} \lor e \le x < e^2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Sistema Irrazionale ($\sqrt{A} < k$):$\begin{cases} A \ge 0 \\ A < k^2 \end{cases}$
- C.E. ($A \ge 0$): $\ln^2 x – 1 \ge 0 \rightarrow \ln x \le -1 \lor \ln x \ge 1$.$0 < x \le e^{-1} \lor x \ge e$.
- Elevamento ($A < 3$): $\ln^2 x – 1 < 3 \rightarrow \ln^2 x < 4$.$-2 < \ln x < 2$.$e^{-2} < x < e^2$.
- Intersezione: Intersechiamo $(0 < x \le 1/e \lor x \ge e)$ con $(1/e^2 < x < e^2)$.
- Soluzione: $e^{-2} < x \le e^{-1} \lor e \le x < e^2$.