In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Logaritmiche nella forma $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Questa è una delle tipologie più comuni, dove l’obiettivo è eliminare i logaritmi per confrontare direttamente gli argomenti.
Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato
INDICE
- 1 Ripasso: Uguaglianza degli Argomenti
- 2 Esercizi Svolti (Vario Tipo di Funzioni)
- 3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche
Ripasso: Uguaglianza degli Argomenti
Se abbiamo un’uguaglianza tra due logaritmi con la stessa base $a$ (con $a>0, a\ne 1$), possiamo passare all’uguaglianza dei loro argomenti (proprietà di iniettività):
$$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$$
Il Ruolo Fondamentale del Campo di Esistenza (C.E.):
Non basta risolvere $f(x) = g(x)$. Dobbiamo garantire che i logaritmi esistano, ovvero che i loro argomenti siano strettamente positivi.
Il sistema risolutivo completo è:
$$\begin{cases} f(x) = g(x) \quad (\text{Equazione Risolvente}) \\ f(x) > 0 \quad (\text{Condizione di Esistenza}) \\ g(x) > 0 \quad (\text{Condizione di Esistenza}) \end{cases}$$
Trucco Operativo: Poiché poniamo $f(x) = g(x)$, se imponiamo che uno dei due sia positivo (di solito il più semplice), automaticamente anche l’altro lo sarà. Quindi basta verificare la C.E. su uno solo dei due argomenti (quello con i calcoli più facili).
Esercizi Svolti (Vario Tipo di Funzioni)
Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente, che coinvolgono polinomi, frazioni, radicali, esponenziali e moduli.
Livello Semplice (Polinomiali)
Esercizio 1: Polinomi di Primo Grado
Domanda: Risolvi $\log_2(3x – 5) = \log_2(2x + 1)$.
Risposta Corretta: $x = 6$
Svolgimento (ID CSS: domanda-1):
- Uguaglianza Argomenti: $3x – 5 = 2x + 1$.
- Risoluzione: $3x – 2x = 1 + 5 \rightarrow x = 6$.
- Controllo C.E. (usiamo $2x+1$): $2(6) + 1 = 13 > 0$. (Accettabile).
Esercizio 2: Secondo Grado vs Primo Grado
Domanda: Risolvi $\log_3(x^2 – 3x) = \log_3(4)$.
Risposta Corretta: $x = 4; x = -1$
Svolgimento (ID CSS: domanda-2):
- Uguaglianza Argomenti: $x^2 – 3x = 4$.
- Equazione: $x^2 – 3x – 4 = 0$.
- Scomposizione: $(x – 4)(x + 1) = 0$.
- Soluzioni: $x = 4$ e $x = -1$.
- Controllo C.E. (su $g(x)=4$): $4 > 0$ è sempre vero. Quindi entrambe le soluzioni sono accettabili (perché rendono il primo argomento uguale a 4).
Livello Intermedio (Fratte e Proprietà)
Esercizio 3: Equazione Logaritmica Fratta
Domanda: Risolvi $\log_5 \left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \log_5 3$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-3):
- Uguaglianza: $\frac{x+1}{x-1} = 3$.
- C.E.: Argomento $>0$ e $x \ne 1$.
- Risoluzione: $x + 1 = 3(x – 1) \rightarrow x + 1 = 3x – 3$.$4 = 2x \rightarrow x = 2$.
- Verifica: $\frac{2+1}{2-1} = 3 > 0$. (Accettabile).
Esercizio 4: Applicazione Proprietà (Somma)
Domanda: Risolvi $\log_2 x + \log_2 (x – 3) = \log_2 10$.
Risposta Corretta: $x = 5$
Svolgimento (ID CSS: domanda-4):
- Proprietà: $\log_2 [x(x-3)] = \log_2 10$.
- Uguaglianza: $x^2 – 3x = 10 \rightarrow x^2 – 3x – 10 = 0$.
- Soluzioni: $(x – 5)(x + 2) = 0 \rightarrow x = 5, x = -2$.
- Controllo C.E.:
- Per $x=5$: Argomenti positivi (5 e 2). OK.
- Per $x=-2$: $\log_2(-2)$ non esiste. Scartata.
- Soluzione: $x = 5$.
Livello Avanzato (Irrazionali ed Esponenziali)
Esercizio 5: Argomenti Irrazionali (Radici)
Domanda: Risolvi $\log_4(\sqrt{x+6}) = \log_4(x)$.
Risposta Corretta: $x = 3$
Svolgimento (ID CSS: domanda-5):
- Uguaglianza: $\sqrt{x+6} = x$.
- Risoluzione Irrazionale: Sistema $\{x \ge 0; x+6 = x^2\}$.$x^2 – x – 6 = 0 \rightarrow (x-3)(x+2) = 0$.
- Soluzioni Grezze: $x = 3, x = -2$.
- Controllo C.E. ($x>0$): Solo $x=3$ è accettabile.
Esercizio 6: Argomenti Esponenziali (Sostituzione Nascosta)
Domanda: Risolvi $\ln(4^x – 10) = \ln(2^x + 2)$.
Risposta Corretta: $x = 2$
Svolgimento (ID CSS: domanda-6):
- Uguaglianza: $4^x – 10 = 2^x + 2$.
- Riconoscimento: $4^x = (2^x)^2$. Poniamo $t = 2^x$.
- Equazione: $t^2 – t – 12 = 0$.
- Soluzioni $t$: $(t-4)(t+3)=0 \rightarrow t=4, t=-3$.
- Ritorno a $x$:
- $2^x = 4 \rightarrow x = 2$.
- $2^x = -3 \rightarrow$ Impossibile.
- Controllo C.E.: Sostituiamo $x=2$ in $2^x+2 \rightarrow 4+2=6 > 0$. (OK).
Livello Molto Avanzato (Moduli e Fratte Complesse)
Esercizio 7: Argomento con Valore Assoluto
Domanda: Risolvi $\log_3 |x – 1| = \log_3 5$.
Risposta Corretta: $x = 6; x = -4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-7):
- Uguaglianza: $|x – 1| = 5$.
- Sdoppiamento:
- $x – 1 = 5 \rightarrow x = 6$.
- $x – 1 = -5 \rightarrow x = -4$.
- C.E.: $|x-1| > 0 \iff x \ne 1$. Entrambe le soluzioni sono diverse da 1.
- Soluzioni: $S = \{6, -4\}$.
Esercizio 8: Fratta Complessa (Impossibile)
Domanda: Risolvi $\log \left( \frac{x^2}{x+2} \right) = \log x$.
Risposta Corretta: Impossibile
Svolgimento (ID CSS: domanda-8):
- Uguaglianza: $\frac{x^2}{x+2} = x$.
- Risoluzione: $x^2 = x(x+2) \rightarrow x^2 = x^2 + 2x$.$2x = 0 \rightarrow x = 0$.
- Controllo C.E.: I logaritmi originali sono $\log x$. Se $x=0$, l’argomento è 0, che non è accettabile ($>0$).
- Soluzione: Nessuna soluzione reale.
Livello Molto Molto Avanzato (Mix Irrazionale/Modulo)
Esercizio 9: Radice e Modulo
Domanda: Risolvi $\log_2 (\sqrt{x^2 + 9}) = \log_2 (|x| + 1)$.
Risposta Corretta: $x = 4; x = -4$
Svolgimento (ID CSS: domanda-9):
- Uguaglianza: $\sqrt{x^2 + 9} = |x| + 1$.
- Risoluzione: Eleviamo al quadrato (entrambi i membri sono positivi).$x^2 + 9 = (|x| + 1)^2$.$x^2 + 9 = |x|^2 + 2|x| + 1$.
- Semplificazione: Poiché $|x|^2 = x^2$, eliminiamo $x^2$.$9 = 2|x| + 1 \rightarrow 8 = 2|x| \rightarrow |x| = 4$.
- Soluzioni: $x = 4$ e $x = -4$.
- Controllo C.E.: Argomenti sempre positivi (somma di quadrati o moduli). OK.
Esercizio 10: Esponenziale Fratto
Domanda: Risolvi $\ln \left( \frac{e^{2x} + 3}{e^x} \right) = \ln 4$.
Risposta Corretta: $x = \ln 3; x = 0$
Svolgimento (ID CSS: domanda-10):
- Uguaglianza: $\frac{e^{2x} + 3}{e^x} = 4$.
- Risoluzione: $e^{2x} + 3 = 4e^x$.
- Forma Quadratica ($t=e^x$): $t^2 – 4t + 3 = 0$.
- Soluzioni $t$: $(t-3)(t-1) = 0 \rightarrow t=3, t=1$.
- Ritorno a $x$:
- $e^x = 3 \rightarrow x = \ln 3$.
- $e^x = 1 \rightarrow x = 0$.
- Controllo C.E.: Esponenziali sempre positivi, denominatore mai nullo. Tutto OK.
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