Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Incomplete

Un’equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ è “incompleta” se $b=0$ oppure $c=0$. Esistono tre tipi:

1. Equazione Spuria ($c=0$): Forma $ax^2 + bx = 0$.
   • Metodo: Raccoglimento a Fattor Comune (MCD). Si scompone in $x(ax + b) = 0$.
   • Soluzioni (Sempre Reali): Si applica la Legge di Annullamento del Prodotto: $x_1 = 0$ e $x_2 = -b/a$.
2. Equazione Pura ($b=0$): Forma $ax^2 + c = 0$.
   • Metodo: Si isola la $x^2 \rightarrow x^2 = -c/a$.
   • Soluzioni (Reali solo se $-c/a \ge 0$): $x = \pm\sqrt{-c/a}$. Se $-c/a$ è negativo, l’equazione è Impossibile nel campo reale.
3. Equazione Monomia ($b=0$ e $c=0$): Forma $ax^2 = 0$.
   • Soluzione: Ha sempre due soluzioni coincidenti $x_1 = x_2 = 0$.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Incomplete

Esercizio 1: Equazione Spuria (Base)

Domanda: Risolvi $2x^2 – 4x = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

1. Tipo: Spuria ($c=0$).
2. Scomposizione (MCD): Raccogliamo $2x$.
   • $2x(x – 2) = 0$.
3. Legge Annullamento Prodotto:
   • $2x = 0 \rightarrow x = 0$
   • $x – 2 = 0 \rightarrow x = 2$
4. Soluzioni: $S = \{0, 2\}$.

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Esercizio 2: Equazione Pura (Base)

Domanda: Risolvi $x^2 – 9 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 3; x = -3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

1. Tipo: Pura ($b=0$).
2. Isola $x^2$: $x^2 = 9$.
3. Calcola Radice: L’operazione $\sqrt{…}$ produce due risultati opposti.
   • $x = \pm\sqrt{9}$.
4. Soluzioni: $S = \{3, -3\}$.

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Equazione Pura (Impossibile)

Domanda: Risolvi $x^2 + 9 = 0$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

1. Tipo: Pura ($b=0$).
2. Isola $x^2$: $x^2 = -9$.
3. Analisi: Un numero al quadrato ($x^2$) non può mai essere uguale a un numero negativo ($-9$) nel campo dei numeri reali.
4. Soluzioni: $\emptyset$ (Insieme vuoto).

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Esercizio 4: Equazione Monomia

Domanda: Risolvi $-5x^2 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0$ (Doppia)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

1. Tipo: Monomia ($b=0, c=0$).
2. Isola $x^2$: Dividiamo per -5: $x^2 = 0 / -5 \rightarrow x^2 = 0$.
3. Calcola Radice: $x = \pm\sqrt{0}$.
4. Soluzioni: $x_1 = 0$ e $x_2 = 0$ (due soluzioni coincidenti). $S = \{0\}$.

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Livello Avanzato (Equazioni Nascoste – Prodotti Notevoli) – Esercizi Svolti sulle Equazioni di Secondo Grado Incomplete

Esercizio 5: Pura Nascosta (Quadrato Binomio)

Domanda: Risolvi $(x+1)^2 = 2x + 5$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

1. Sviluppa Calcoli: $(x^2 + 2x + 1) = 2x + 5$.
2. Sposta Termini: Portiamo tutto a sinistra per trovare la forma $ax^2+bx+c=0$.
   • $x^2 + 2x – 2x + 1 – 5 = 0$.
3. Riduci: I termini $2x$ si annullano.
   • $x^2 – 4 = 0$.
4. Risolvi (Pura): $x^2 = 4 \rightarrow x = \pm\sqrt{4}$.
5. Soluzioni: $S = \{2, -2\}$.

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Esercizio 6: Spuria Nascosta (Prodotti Notevoli Misti)

Domanda: Risolvi $3x^2 + (x-1)^2 = (x+1)^2$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = 4/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

1. Sviluppa Calcoli:
   • $3x^2 + (x^2 – 2x + 1) = (x^2 + 2x + 1)$.
2. Somma (Sinistra): $4x^2 – 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$.
3. Sposta Termini: $4x^2 – x^2 – 2x – 2x + 1 – 1 = 0$.
4. Riduci: I termini $+1$ e $-1$ si annullano.
   • $3x^2 – 4x = 0$.
5. Risolvi (Spuria): $x(3x – 4) = 0$.
6. Soluzioni: $x = 0$ e $x = 4/3$. $S = \{0, 4/3\}$.

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Livello Molto Avanzato (Equazioni Nascoste – Frazioni)

Esercizio 7: Pura Nascosta (Frazionaria)

Domanda: Risolvi $\frac{x^2-1}{2} + \frac{x}{3} = \frac{x}{3} + 4$.

Risposta Corretta: $x = 3; x = -3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

1. Sposta Termini: Possiamo elidere $\frac{x}{3}$ da entrambi i lati.
   • $\frac{x^2-1}{2} = 4$.
2. Elimina Denominatore: Moltiplichiamo per 2: $x^2 – 1 = 8$.
3. Isola $x^2$: $x^2 = 8 + 1 \rightarrow x^2 = 9$.
4. Risolvi (Pura): $x = \pm\sqrt{9}$.
5. Soluzioni: $S = \{3, -3\}$.

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Esercizio 8: Spuria Nascosta (Frazionaria)

Domanda: Risolvi $\frac{(x+1)^2}{3} = \frac{x^2-1}{3} + x + 1$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. m.c.m.: L’m.c.m. è 3.
2. Elimina Denominatore: $(x+1)^2 = (x^2-1) + 3(x) + 3(1)$.
3. Sviluppa Calcoli: $x^2 + 2x + 1 = x^2 – 1 + 3x + 3$.
4. Riduci (Destra): $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3x + 2$.
5. Sposta Termini: $x^2 – x^2 + 2x – 3x + 1 – 2 = 0$.
6. Riduci: I termini $x^2$ si annullano.
   • $-x – 1 = 0 \rightarrow x = -1$.(Errore mio, l’equazione è diventata di primo grado. Devo renderla Spuria)

Esercizio 8 (Riformulato Correttamente): Risolvi $\frac{x^2-1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{-1}{4}$.

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

1. m.c.m.: L’m.c.m. è 4.
2. Elimina Denominatore: $(x^2-1) + 2(x) = -1$.
3. Sviluppa Calcoli: $x^2 – 1 + 2x = -1$.
4. Sposta Termini: $x^2 + 2x – 1 + 1 = 0$.
5. Riduci: $x^2 + 2x = 0$.
6. Risolvi (Spuria): $x(x + 2) = 0$.
7. Soluzioni: $S = \{0, -2\}$.

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Livello Avanzatissimo (Sostituzione – Biquadratiche)

Esercizio 9: Biquadratica (Pura)

Domanda: Risolvi $x^4 – 16 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 2; x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

1. Tipo: Biquadratica Pura.
2. Sostituzione: Poniamo $y = x^2$. L’equazione diventa $y^2 – 16 = 0$.
3. Risolvi (Pura in $y$): $y^2 = 16 \rightarrow y = +4$ e $y = -4$.
4. Contro-Sostituzione:
   • Caso 1: $x^2 = 4 \rightarrow x = \pm\sqrt{4} \rightarrow x = 2; x = -2$.
   • Caso 2: $x^2 = -4 \rightarrow$ Impossibile (nel campo reale).
5. Soluzioni Reali: $S = \{2, -2\}$.

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Esercizio 10: Biquadratica (Spuria)

Domanda: Risolvi $x^4 – 5x^2 = 0$.

Risposta Corretta: $x = 0; x = \sqrt{5}; x = -\sqrt{5}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. Tipo: Biquadratica Spuria.
2. Sostituzione: Poniamo $y = x^2$. L’equazione diventa $y^2 – 5y = 0$.
3. Risolvi (Spuria in $y$): $y(y – 5) = 0 \rightarrow y = 0$ e $y = 5$.
4. Contro-Sostituzione:
   • Caso 1: $x^2 = 0 \rightarrow x = 0$ (soluzione doppia).
   • Caso 2: $x^2 = 5 \rightarrow x = \pm\sqrt{5}$.
5. Soluzioni Reali: $S = \{0, \sqrt{5}, -\sqrt{5}\}$.

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