Esercizi Svolti sulle Condizioni di Esistenza dei Radicali

Per calcolare le Condizioni di Esistenza (C.E.) di un radicale, dobbiamo distinguere due casi fondamentali basati sull’indice della radice.

Regola 1: Indice Dispari ($\sqrt[3]{…}$, $\sqrt[5]{…}$, ecc.)

Una radice con indice dispari esiste sempre, per qualsiasi valore (positivo, negativo o zero) del suo argomento (radicando).

• Se il radicando $f(x)$ è un polinomio, la C.E. è $\forall x \in \mathbb{R}$ (sempre definita).
• Se il radicando $f(x)$ è una frazione, la C.E. coincide con quella della frazione (cioè, $Denominatore \neq 0$).

Regola 2: Indice Pari ($\sqrt{…}$, $\sqrt[4]{…}$, ecc.)

Una radice con indice pari esiste solo se il suo argomento (radicando) è non-negativo (positivo o zero).

• La C.E. si ottiene risolvendo la disequazione: $f(x) \ge 0$.

Questo significa che per trovare le C.E. di un radicale a indice pari, dobbiamo utilizzare tutte le tecniche di risoluzione delle disequazioni (fattorizzate, fratte, studio del segno).

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

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Livello Base – Esercizi Svolti sulle Condizioni di Esistenza dei Radicali

Esercizio 1: Indice Dispari (Sempre Definito)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt[3]{x-1}$.

Risposta Corretta: $\forall x \in \mathbb{R}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

L’indice della radice è 3 (dispari). Il radicando $x-1$ è un polinomio. Una radice con indice dispari di un polinomio esiste sempre.

Soluzione: $\forall x \in \mathbb{R}$.

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Esercizio 2: Indice Pari (Disequazione 1° Grado)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{x-5}$.

Risposta Corretta: $x \ge 5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

L’indice è 2 (pari). Dobbiamo imporre il radicando $\ge 0$.

1. Imposta Disequazione: $x – 5 \ge 0$.
2. Risolvi: $x \ge 5$.
3. Soluzione: $x \ge 5$.

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Livello Intermedio

Esercizio 3: Indice Dispari (Frazione)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-2}}$.

Risposta Corretta: $x \neq 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

L’indice è 3 (dispari). La radice esiste sempre, purché esista il suo argomento (la frazione).

1. Imposta C.E. Frazione: Dobbiamo solo imporre il denominatore $\neq 0$.
2. Risolvi: $x – 2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2$.
3. Soluzione: $x \neq 2$.

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Livello Avanzato (Scomposizione Semplice) – Esercizi Svolti sulle Condizioni di Esistenza dei Radicali

Esercizio 4: Indice Pari (Differenza di Quadrati)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{x^2 – 9}$.

Risposta Corretta: $x \le -3 \lor x \ge 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Indice pari. Imponiamo $Radicando \ge 0$.

1. Imposta Disequazione: $x^2 – 9 \ge 0$.
2. Scomponi: $(x – 3)(x + 3) \ge 0$.
3. Studio Fattori:
   • F1: $x – 3 \ge 0 \rightarrow x \ge 3$
   • F2: $x + 3 \ge 0 \rightarrow x \ge -3$
4. Schema Segni:

	(-∞, -3]	[-3, 3]	[3, +∞)
F1 (x>=3)	–	–	+
F2 (x>=-3)	–	+	+
Totale	+	–	+

5. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
6. Soluzione: $x \le -3 \lor x \ge 3$.

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Esercizio 5: Indice Pari (Trinomio Speciale)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{x^2 – 5x + 6}$.

Risposta Corretta: $x \le 2 \lor x \ge 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Indice pari. Imponiamo $Radicando \ge 0$.

1. Imposta Disequazione: $x^2 – 5x + 6 \ge 0$.
2. Scomponi (Trinomio): (S=-5, P=6 $\rightarrow$ -2, -3) $\rightarrow (x – 2)(x – 3) \ge 0$.
3. Studio Fattori:
   • F1: $x – 2 \ge 0 \rightarrow x \ge 2$
   • F2: $x – 3 \ge 0 \rightarrow x \ge 3$
4. Schema Segni:

	(-∞, 2]	[2, 3]	[3, +∞)
F1 (x>=2)	–	+	+
F2 (x>=3)	–	–	+
Totale	+	–	+

5. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
6. Soluzione: $x \le 2 \lor x \ge 3$.

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Esercizio 6: Indice Pari (Raccoglimento Parziale)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{x^3 – x^2 – 4x + 4}$.

Risposta Corretta: $-2 \le x \le 1 \lor x \ge 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Indice pari. Imponiamo $Radicando \ge 0$.

1. Imposta Disequazione: $x^3 – x^2 – 4x + 4 \ge 0$.
2. Scomponi (Parziale): $x^2(x – 1) – 4(x – 1) \rightarrow (x – 1)(x^2 – 4)$.
3. Scomponi (Diff. Quad): $(x – 1)(x – 2)(x + 2) \ge 0$.
4. Studio Fattori:
   • F1: $x – 1 \ge 0 \rightarrow x \ge 1$
   • F2: $x – 2 \ge 0 \rightarrow x \ge 2$
   • F3: $x + 2 \ge 0 \rightarrow x \ge -2$
5. Schema Segni:

	(-∞, -2]	[-2, 1]	[1, 2]	[2, +∞)
F1 (x>=1)	–	–	+	+
F2 (x>=2)	–	–	–	+
F3 (x>=-2)	–	+	+	+
Totale	–	+	–	+

6. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
7. Soluzione: $-2 \le x \le 1 \lor x \ge 2$.

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Esercizio 7: Indice Pari (Frazione Base)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{\frac{x+1}{x-4}}$.

Risposta Corretta: $x \le -1 \lor x > 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

Indice pari. Imponiamo $\frac{x+1}{x-4} \ge 0$.

1. Studio Num (N$\ge$0): $x + 1 \ge 0 \rightarrow x \ge -1$ (Pallino pieno).
2. Studio Den (D>0): $x – 4 > 0 \rightarrow x > 4$ (Pallino vuoto).
3. Schema Segni:

	(-∞, -1]	[-1, 4)	(4, +∞)
N (x>=-1)	–	+	+
D (x>4)	–	–	+
Totale (N/D)	+	–	+

4. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
5. Soluzione: $x \le -1 \lor x > 4$.

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Livello Molto Avanzato – Esercizi Svolti sulle Condizioni di Esistenza dei Radicali

Esercizio 8: Indice Pari (Frazione Scomposizioni Miste)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2 – 3x}}$.

Risposta Corretta: $x \le -1 \lor 0 < x \le 1 \lor x > 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

Indice pari. Imponiamo $\frac{x^2 – 1}{x^2 – 3x} \ge 0$.

1. Scomposizione: $\frac{(x – 1)(x + 1)}{x(x – 3)} \ge 0$.
2. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • N1: $x – 1 \ge 0 \rightarrow x \ge 1$
   • N2: $x + 1 \ge 0 \rightarrow x \ge -1$
   • D1: $x > 0$
   • D2: $x – 3 > 0 \rightarrow x > 3$
3. Schema Segni:

	(-∞, -1]	[-1, 0)	(0, 1]	[1, 3)	(3, +∞)
N1 (x>=1)	–	–	–	+	+
N2 (x>=-1)	–	+	+	+	+
D1 (x>0)	–	–	+	+	+
D2 (x>3)	–	–	–	–	+
Totale	+	–	+	–	+

4. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
5. Soluzione: $x \le -1 \lor 0 < x \le 1 \lor x > 3$.

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Esercizio 9: Indice Pari (Ruffini)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt{x^3 – 7x + 6}$.

Risposta Corretta: $-3 \le x \le 1 \lor x \ge 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

Indice pari. Imponiamo $x^3 – 7x + 6 \ge 0$.

1. Scomposizione (Ruffini): $P(1) = 1 – 7 + 6 = 0 \rightarrow (x-1)$.
2. Divisione: $(x-1)(x^2 + x – 6)$.
3. Scomposizione (Trinomio): $x^2+x-6$ (S=1, P=-6 $\rightarrow$ +3, -2) $\rightarrow (x+3)(x-2)$.
4. Riscrivi: $(x-1)(x+3)(x-2) \ge 0$.
5. Studio Fattori ($\ge 0$):
   • F1: $x – 1 \ge 0 \rightarrow x \ge 1$
   • F2: $x + 3 \ge 0 \rightarrow x \ge -3$
   • F3: $x – 2 \ge 0 \rightarrow x \ge 2$
6. Schema Segni:

	(-∞, -3]	[-3, 1]	[1, 2]	[2, +∞)
F1 (x>=1)	–	–	+	+
F2 (x>=-3)	–	+	+	+
F3 (x>=2)	–	–	–	+
Totale	–	+	–	+

7. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
8. Soluzione: $-3 \le x \le 1 \lor x \ge 2$.

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Esercizio 10: Indice Pari (Frazione + Cubi + Falso Quadrato)

Domanda: Determina le C.E. di $\sqrt[4]{\frac{x^3+8}{x^3-1}}$.

Risposta Corretta: $x \le -2 \lor x > 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Indice pari (4). Imponiamo $\frac{x^3+8}{x^3-1} \ge 0$.

1. Scomposizione:
   • Num: Somma Cubi $\rightarrow (x + 2)(x^2 – 2x + 4)$.
   • Den: Diff. Cubi $\rightarrow (x – 1)(x^2 + x + 1)$.
2. Riscrivi: $\frac{(x + 2)(x^2 – 2x + 4)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} \ge 0$.
3. Studio Fattori ($\ge$ 0 / > 0):
   • F1 (N): $x + 2 \ge 0 \rightarrow x \ge -2$
   • F2 (N): $x^2 – 2x + 4 \ge 0$ (Falso quadrato, $\Delta < 0$, Sempre Positivo).
   • F3 (D): $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$
   • F4 (D): $x^2 + x + 1 > 0$ (Falso quadrato, $\Delta < 0$, Sempre Positivo).
4. Schema Segni (Semplificato): Dobbiamo studiare solo i fattori che cambiano segno.

	(-∞, -2]	[-2, 1)	(1, +∞)
F1 (x>=-2)	–	+	+
F3 (x>1)	–	–	+
Falsi Quadrati	+	+	+
Totale	+	–	+

5. Confronto: Cerchiamo $\ge 0$ (Positivo o Zero).
6. Soluzione: $x \le -2 \lor x > 1$.

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