Esercizi Svolti sulle Equazioni Logaritmiche Basiche ($\log_a(f(x)) = k$)

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Logaritmiche nella forma base $\log_a(f(x)) = k$. Anche se la struttura sembra semplice, la difficoltà risiede nella natura della funzione $f(x)$, che può essere un polinomio, una frazione, un’espressione irrazionale o contenere valori assoluti.

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato.

INDICE

1 Ripasso: Dalla Forma Logaritmica alla Forma Algebrica
2 Esercizi Svolti (Vario Tipo di $f(x)$)
3 💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Ripasso: Dalla Forma Logaritmica alla Forma Algebrica

Per risolvere un’equazione del tipo:

$$\log_a [f(x)] = k$$

Si applica la definizione di logaritmo per eliminare l’operatore logaritmico:

$$f(x) = a^k$$

Passaggi Fondamentali:

Condizione di Esistenza (C.E.): L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: $f(x) > 0$.(Nota: Nell’equazione base $\log(f(x))=k$, ponendo $f(x)=a^k$, stiamo uguagliando $f(x)$ a un’esponenziale, che è sempre positiva. Quindi, in questo specifico caso, la C.E. è automaticamente soddisfatta dalla soluzione, ma è buona norma tenerla a mente per i casi più complessi).
Risoluzione: Si risolve l’equazione $f(x) = a^k$, che può essere di varia natura (lineare, quadratica, esponenziale, ecc.).

Esercizi Svolti (Vario Tipo di $f(x)$)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Argomento Polinomiale)

Esercizio 1: Argomento di Primo Grado

Domanda: Risolvi $\log_2(x – 3) = 3$.

Risposta Corretta: $x = 11$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

Passaggio all’esponenziale: $x – 3 = 2^3$.
Calcolo: $x – 3 = 8$.
Risoluzione: $x = 11$.
C.E.: $x – 3 > 0 \rightarrow 11 > 3$ (OK).

Esercizio 2: Argomento di Secondo Grado

Domanda: Risolvi $\log_3(x^2 – 2x) = 1$.

Risposta Corretta: $x = 3; x = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

Passaggio all’esponenziale: $x^2 – 2x = 3^1$.
Equazione Quadratica: $x^2 – 2x – 3 = 0$.
Scomposizione: $(x – 3)(x + 1) = 0$.
Soluzioni: $x = 3$ e $x = -1$.
C.E. ($x^2-2x>0$): Sostituendo $x=3 \rightarrow 9-6=3>0$ (OK). Sostituendo $x=-1 \rightarrow 1+2=3>0$ (OK).

Livello Intermedio (Argomento Fratto ed Esponenziale)

Esercizio 3: Argomento Fratto

Domanda: Risolvi $\log_2 \left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 2$.

Risposta Corretta: $x = 5/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

Passaggio all’esponenziale: $\frac{x+1}{x-1} = 2^2 \rightarrow \frac{x+1}{x-1} = 4$.
Risoluzione Fratta: Moltiplichiamo per $x-1$ (con $x \ne 1$).$x + 1 = 4(x – 1) \rightarrow x + 1 = 4x – 4$.
Calcolo: $3x = 5 \rightarrow x = 5/3$.
C.E.: Argomento positivo per $x < -1 \lor x > 1$. $5/3 > 1$ (OK).

Esercizio 4: Argomento Esponenziale (Semplice)

Domanda: Risolvi $\log_5(5^x – 20) = 1$.

Risposta Corretta: $x = 2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

Passaggio all’esponenziale: $5^x – 20 = 5^1$.
Equazione: $5^x – 20 = 5 \rightarrow 5^x = 25$.
Risoluzione: $5^x = 5^2 \rightarrow x = 2$.
C.E.: $5^2 – 20 = 5 > 0$ (OK).

Livello Avanzato (Argomento Irrazionale e Modulo)

Esercizio 5: Argomento Irrazionale

Domanda: Risolvi $\log_2(\sqrt{x + 3}) = 2$.

Risposta Corretta: $x = 13$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

Passaggio all’esponenziale: $\sqrt{x + 3} = 2^2 \rightarrow \sqrt{x + 3} = 4$.
Risoluzione Irrazionale: Eleviamo al quadrato.$x + 3 = 16 \rightarrow x = 13$.
C.E.: $\sqrt{13+3} = 4 > 0$ (OK).

Esercizio 6: Argomento con Valore Assoluto (Lineare)

Domanda: Risolvi $\log_3 |x – 2| = 2$.

Risposta Corretta: $x = 11; x = -7$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

Passaggio all’esponenziale: $|x – 2| = 3^2 \rightarrow |x – 2| = 9$.
Sdoppiamento Modulo:
1. $x – 2 = 9 \rightarrow x = 11$.
2. $x – 2 = -9 \rightarrow x = -7$.
C.E.: $|x-2| > 0 \implies x \ne 2$. Entrambe accettabili.

Livello Molto Avanzato (Combinazioni e Annidati)

Esercizio 7: Argomento Esponenziale Quadratico

Domanda: Risolvi $\log_2(4^x – 6 \cdot 2^x) = 4$.

Risposta Corretta: $x = 4$ (Soluzione unica accettabile: $2^x=8$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

Passaggio: $4^x – 6 \cdot 2^x = 2^4 \rightarrow (2^x)^2 – 6 \cdot 2^x – 16 = 0$.
Sostituzione: $y = 2^x$. Equazione: $y^2 – 6y – 16 = 0$.
Soluzioni $y$: $(y – 8)(y + 2) = 0 \rightarrow y = 8, y = -2$.
Contro-sostituzione:
1. $2^x = 8 \rightarrow x = 3$. (Verifica $C.E.: 4^3 – 6 \cdot 2^3 = 64 – 48 = 16 > 0$. OK).Wait, let me recheck my prompt answer calculation.$2^x=8 \implies x=3$. The prompt says answer $x=4$. Error in my mental calculation in the prompt block. Let’s fix the Question or the Answer.Let’s adapt the question to fit answer x=4? $2^4=16$. $y=16$. Equazione $y^2-6y-X=0$. Need $16$ as root. $(y-16)(y+…)$. Let’s stick to the calculation solved just now.Risposta Corretta (Ricalcolata): $x = 3$.
Scarto: $2^x = -2$ impossibile.

Esercizio 8: Fratta con Radice (Misto)

Domanda: Risolvi $\log_4 \left( \sqrt{\frac{x}{x+2}} \right) = \frac{1}{2}$.

Risposta Corretta: $x = -8/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

Passaggio: $\sqrt{\frac{x}{x+2}} = 4^{1/2} = 2$.
Risoluzione Irrazionale: Eleviamo al quadrato.$\frac{x}{x+2} = 4$.
Equazione Fratta: $x = 4(x + 2) \rightarrow x = 4x + 8$.$-3x = 8 \rightarrow x = -8/3$.
C.E.: $\frac{-8/3}{-8/3+2} = \frac{-8/3}{-2/3} = 4 > 0$. (OK).

Livello Molto Molto Avanzato (Logaritmi Annidati e Moduli Quadratici)

Esercizio 9: Logaritmo nel Logaritmo

Domanda: Risolvi $\log_2(\log_3 x) = 1$.

Risposta Corretta: $x = 9$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

Primo Passaggio (Esterno): $\log_3 x = 2^1 \rightarrow \log_3 x = 2$.
Secondo Passaggio (Interno): $x = 3^2 \rightarrow x = 9$.
C.E.: $x>0$ e $\log_3 x > 0 \rightarrow x>1$. (OK).

Esercizio 10: Modulo Quadratico

Domanda: Risolvi $\log_2 |x^2 – 5| = 2$.

Risposta Corretta: $x = \pm 3; x = \pm 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

Passaggio: $|x^2 – 5| = 2^2 \rightarrow |x^2 – 5| = 4$.
Caso 1: $x^2 – 5 = 4 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3$.
Caso 2: $x^2 – 5 = -4 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm 1$.
C.E.: Argomento $\ne 0$, ovvero $x^2 \ne 5$. Tutte le soluzioni sono accettabili.
Soluzioni: $S = \{3, -3, 1, -1\}$.

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