Circonferenza per tre punti - metodo degli assi

In questo blog vediamo come determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti.

Esistono principalmente due metodi per determinarla.

Il primo e forse più classico è il metodo geometrico, che vedremo in questo blog.

Il secondo metodo è quello algebrico nel quale si risolve un sistema lineare.

TEOREMA

Sin dal III secolo a.C. troviamo un teorema che afferma che per tre punti non allineati di un piano passa una ed una sola circonferenza.

Il centro di tale circonferenza è il punto di incontro degli assi dei tre segmenti formati dai tre punti.

Ricordiamo infatti che l’asse è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante dagli estremi dei segmenti.

Siccome il centro della circonferenza è equidistante dai punti A, B, e C allora deve necessariamente appartenere contemporaneamente all’asse di AB, di BC e di CA.

CARTESIO E L’UNIONE DELLA GEOMETRIA CON LA MATEMATICA

Grazie al matematico francese Cartesio nel XVII secolo ci fu l’unione tra la geometria classica e la moderna algebrico.

Nella sua Geometrie René Descartes rilesse le opere di geometria classica attribuendo dei valori oggi noti come monomi e polinomi a segmenti e aree.

La sua opera diede il via ad una nuova branchia della matematica che riuscì ad unire i conetti classici della geometria euclidea con i moderni simboli dell’algebra.

Il tutto mediante l’utilizzo delle equazioni.

Da quel momento nacque quella che oggi chiamiamo la geometria cartesiana.

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Grazie all’opera di Cartesio oggi abbiamo formalizzato in maniera precisa il concetto di circonferenza e tutte le sue particolarità.

Dato un centro C di coordinate:

E un raggio di lunghezza r

È possibile scrivere l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:

Oppure nella sua forma implicita:

CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI: IL METODO DEGLI ASSI

Ora vediamo di formalizzare il ragionamento per arrivare all’equazione della circonferenza passante per tre punti utilizzando il metodo degli assi.

Cominciamo con il considerare tre punti generici A, B e C.

Quello che dobbiamo trovare è l’equazione della circonferenza gamma passante per questi tre punti, la cui formula generale è:

IL METODO DEGLI ASSI

Sappiamo da una dimostrazione che il centro di questa circonferenza è il punto di intersezione degli assi relativi ai tre segmenti AB, BC e CA.

Dunque se i tre assi si incontrano nello stesso punto possiamo determinare l’equazione di soli due di questi assi.

Ad esempio potremmo prendere in considerazione i segmenti AB e BC.

Lo stesso ragionamento vale anche per le coppie AB e CA, oppure BC e CA.

ASSE DI UN SEGMENTO

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti dagli estremi del segmento.

Facendo dunque riferimento ai punti A e B del piano di coordinate:

Dobbiamo prendere un generico punto P di coordinate (x;y) tale che appartenga all’asse di AB:

Imponiamo quindi che la distanza del punto P dal punto A risulti uguale alla distanza tra il punto P e il punto B

Applicando la definizione cartesiana di distanza tra due punti otteniamo la seguente equazione:

Dalla quale elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo proprio l’equazione dell’asse del segmento AB.

Ovviamente poi con i numeri sarà molto più semplice sviluppare i calcoli.

Con lo stesso metodo procediamo per l’asse del segmento BC.

Partiamo dalle coordinate dei punti B e C

e applichiamo la stessa formula vista per l’asse di AB

CENTRO DELLA CIRCONFERENZA E RAGGIO

Ora vediamo come determinare il centro e il raggio della circonferenza.

Sapendo che il centro è il punto di intersezione degli assi dei tre segmenti, possiamo utilizzare anche solamente due di questi assi.

Lo faremo ad esempio con gli assi di AB e BC.

Quello che dobbiamo fare è costruire un sistema in cui scriviamo le equazioni dei due assi ricavati:

Risolvendo il sistema ricaviamo le coordinate del centro O, che possiamo indicare in generale con :

Ora, per trovare il raggio della circonferenza ci basta calcolare la distanza tra il centro O e uno qualsiasi dei punti A, B oppure C.

Ad esempio possiamo scegliere il punto A.

Applicando la formula della distanza tra due punti otteniamo il raggio che stiamo cercando:

Adesso che abbiamo le coordinate del centro O e il raggio r, possiamo scrivere l’equazione della circonferenza:

Se optiamo per la formula implicita della circonferenza:

Ci dobbiamo ricordare che:

ESEMPIO

Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;0), B(3;1), C(-1;3)

Per prima cosa riportiamo le coordinate dei punti interessati

E rappresentiamo il grafico per visualizzare la situazione:

EQUAZIONE DEGLI ASSI

In secondo luogo troviamo l’equazione di almeno due assi.

Partiamo ad esempio dall’asse di AB.

Riportiamo le coordinate dei punti

E impostiamo l’equazione dell’asse:

Ora sviluppiamo passo a passo i calcoli, inserendo i dati numerici:

Ora troviamo l’asse del segmento BC.

Partiamo dai punti:

Applichiamo la formula per trovare l’asse:

Inseriamo i dati e sviluppiamo i calcoli:

CENTRO E RAGGIO

Adesso dobbiamo trovare il centro e il raggio della circonferenza al fine di trovare la sua equazione

CENTRO

Partiamo col trovare le coordinate del centro O.

Sapendo che il centro è il punto di intersezione degli assi (teorema) andiamo ad intersecare le equazioni dei due assi trovati:

Per farlo matematicamente andiamo a costruire un sistema con l’equazione dei due assi:

Dalla prima e dalla seconda equazione abbiamo il valore della y in funzione della x, quindi agiamo per confronto eguagliando le due funzioni in x:

Isoliamo la x a sinistra e risolviamo l’equazione:

Se avessimo scelto la prima equazione avremmo ottenuto lo stesso risultato:

Adesso abbiamo le coordinate del nostro centro O:

RAGGIO

Procediamo ora con il determinare la lunghezza del raggio della circonferenza.

Siccome abbiamo il centro e tre punti della circonferenza ci basta fare la distanza tra il centro e uno dei punti della circonferenza A, B oppure C.

Scegliamo ad esempio il punto A.

Riportiamo per comodità sia le coordinate del centro che del punto A come segue:

Applichiamo la formula della distanza tra questi due punti:

Inserendo i dati otteniamo:

Svolgiamo quindi i calcoli:

Siccome possiamo leggere i numeri 325 e 64 rispettivamente come:

Trasportando fuori dal radicale avremo:

Che rappresenta il valore del raggio cercato.

Risulta chiaro che se le coordinate del centro sono corrette avremmo ottenuto lo stesso risultato anche se avessimo scelto il punto B oppure il punto C.

Se ad esempio scegliamo il punto B e calcoliamo la sua distanza dal centro O, avremmo:

Inseriamo i seguenti dati:

E scriviamo:

EQUAZIONE ESPLICITA DELLA CIRCONFERENZA

Adesso che abbiamo le coordinate del centro e del raggio diventa un vero gioco da ragazzi trovare l’equazione in forma esplicita della circonferenza applicando la seguente formula: