CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI – IL METODO ALGEBRICO

Nel blog di oggi vedremo come calcolare l’equazione della circonferenza passante per tre punti mediante il metodo algebrico.

TEOREMA

Già a partire dall’antica Grecia con gli Elementi di Euclide era noto il seguente teorema.

“Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza“

Il centro della circonferenza passante per i tre punti è il punto di intersezione dagli assi dei tre segmenti formati dai tre punti.

CARTESIO E L’UONE DELLA GEOMETRIA CON LA MATEMATICA

Grazie agli studi di Cartesio quasi due millenni dopo hanno unito il mondo della geometria classica con i più moderni concetti dei monomi.

Grazie a questi studi è nata quella che oggi concepiamo come la geometria cartesiana.

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Grazie all’opera di Cartesio oggi abbiamo formalizzato in maniera precisa  il concetto di circonferenza e tutte le sue particolarità.

Dato un centro C di coordinate:

$$ \text{centro} = C (x_0, y_0) $$

E un raggio di lunghezza r

È possibile scrivere l’equazione della circonferenza 𝛾 nella sua forma esplicita:

$$ \gamma : \ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 $$

Oppure nella sua forma implicita:

$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$

CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI – METODO ALGEBRICO

Cominciamo per prima cosa con il considerare tre punti A, B e C appartenenti al sistema cartesiano di generiche coordinate:

$$ A (x_A , y_A) \quad B (x_B , y_B) \quad C (x_C , y_C) $$

Grazie a queste tre coordinate è possibile trovare l’equazione della circonferenza gamma nella sua forma implicita:

$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$

Quello che dobbiamo fare è imporre il passaggio della circonferenza per questi tre punti.

Possiamo fare questa operazione costruendo un sistema lineare con tre equazioni in tre incognite che sono i parametri incogniti a, b e c.

$$ \begin{cases} x_A ^2 + y_A ^2 + a \cdot x_A + b \cdot y_A + c = 0 \\ x_B ^2 + y_B ^2 + a \cdot x_B + b \cdot y_B + c = 0 \\ x_C ^2 + y_C ^2 + a \cdot x_C + b \cdot y_C + c = 0 \end{cases} $$

Risolvendo questo sistema avremo i parametri che stiamo cercando e dunque l’equazione della circonferenza.

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ESEMPIO DI CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI CON IL METODO ALGEBRICO

Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(3;4), B(0;–5) e C(–2;–1)

Cominciamo con il riportare le coordinate dei tre punti nel grafico cartesiano e abbozzare la circonferenza.

In questo modo avremo un’idea di quali sono le coordinate del centro e il valore del raggio, grazie ai quali è possibili fare un’ipotesi sull’equazione della circonferenza.

A questo punto ricordiamo l’equazione della circonferenza nella sua forma generale:

$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$

Riportiamo ancora una volta e coordinate dei tre punti:

Per quanto riguarda il passaggio per il punto A:

$$ A ( 3 , 4 )

Sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza generica, ottenendo:

$$ 3^2 +4^2 + a \cdot 3 + b \cdot 4 +c =0 $$

Se sviluppiamo questa equazione otteniamo la prima equazione del sistema lineare:

$$ 3a+4b+c=-25 $$

Ora procediamo con il punto B

$$ B ( 0 , -5) $$

Sostituiamo e abbiamo:

$$ 0^2 + (-5)^2 + a \cdot 0 +b \cdot (-5) +c =0 $$

Sviluppando otteniamo la seconda equazione del sistema lineare:

$$ -5b+c=-25 $$

Facciamo la stessa cosa con il punto C

$$ C (-2, -1) $$

Inserendo le sue coordinate nell’equazione di gamma:

$$ (-2)^2 +(-1)^2 +a \cdot (-2) + b \cdot (-1) +c = 0 $$

La terza equazione ottenuta è:

$$ -2a -b +c = -5 $$

Il sistema a cui siamo giunti risulta il seguente:

$$ \begin{cases} 3a+4b+c=-25 \\ -5b+c=-25 \\ -2a -b +c = -5 \end{cases} $$

Dalla seconda equazione del sistema possiamo tranquillamente ricavarci il valore della c in funzione di tutte le altre variabili:

$$ c = 5b-25 $$

Ora andiamo ad inserire questo valore all’interno della prima equazione, che diventa

3a+4b+c=-25 \ \to \ 3a+4b+ \colo{blue}{5b-25}=-25

Sviluppando i calcoli otteniamo il valore della a in funzione della b.

$$ 3a+9b =0 \ \to \ 3a=-9b \ \to \ a=-3b $$

Andiamo ora a sostituire i risultati trovati dalle prime due equazioni nella terza equazione, ottenendo tutto in funzione della sola b:

$$ -2a -b +c = -5 $$

$$ -2 \color{blue}{-3b} -b + \color{green}{5b-25} = -5 $$

Sviluppiamo i calcoli

$$ 6b-b+5b= 20 \to 10b=20 $$

dividiamo per 10 e otteniamo il valore di b:

$$ b= 2$$

Il sistema a questo punto dovrebbe essere il seguente:

$$ \begin{cases} a=-3b \\ c=5b-25 \\ b=2 \end{cases} $$

Adesso che abbiamo il valore della b lo sostituiamo nelle prime due equazione in modo da ricavarci i valori della a e della c.

Sostituendo nella prima equazione abbiamo:

$$ a= -3 \cdot 2 = -6 $$

Mentre dalla seconda abbiamo:

$$ c = 5 \cdot 2 -25 = -15 $$

Riorganizzando il sistema scriviamo:

$$ \begin{cases} a=-6 \\ b=2 \\ c=-15 \end{cases} $$

A questo punto inseriamo i valori dei tre parametri ormai noti all’interno dell’equazione della circonferenza generica:

$$ \gamma : \ x^2 + y^2 + ax+by +c = 0 $$

Ottenendo l’equazione della circonferenza che ci interessa:

$$ \gamma : \ x^2 + y^2 -3x +2y +c = 0 $$

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