TEOREMA
Già a partire dall’antica Grecia con gli Elementi di Euclide era noto il seguente teorema.
“Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza“
Il centro della circonferenza passante per i tre punti è il punto di intersezione dagli assi dei tre segmenti formati dai tre punti.
CARTESIO E L’UONE DELLA GEOMETRIA CON LA MATEMATICA
Grazie agli studi di Cartesio quasi due millenni dopo hanno unito il mondo della geometria classica con i più moderni concetti dei monomi.
Grazie a questi studi è nata quella che oggi concepiamo come la geometria cartesiana.
EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA
Grazie all’opera di Cartesio oggi abbiamo formalizzato in maniera precisa il concetto di circonferenza e tutte le sue particolarità.
Dato un centro C di coordinate:
E un raggio di lunghezza r
È possibile scrivere l’equazione della circonferenza nella sua forma esplicita:
Oppure nella sua forma implicita:
CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI – METODO ALGEBRICO
Nel blog di oggi vedremo come calcolare l’equazione della circonferenza passante per tre punti mediante il metodo algebrico.
Cominciamo per prima cosa con il considerare tre punti A, B e C appartenenti al sistema cartesiano di generiche coordinate:
Grazie a queste tre coordinate è possibile trovare l’equazione della circonferenza gamma nella sua forma esplicita:
Quello che dobbiamo fare è imporre il passaggio della circonferenza per questi tre punti.
Possiamo fare questa operazione costruendo un sistema lineare con tre equazioni in tre incognite che sono i parametri incogniti a, b e c.
Risolvendo questo sistema avremo i parametri che stiamo cercando e dunque l’equazione della circonferenza.
ESEMPIO:
Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(3;4), B(0;–5) e C(–2;–1)
Cominciamo con il riportare le coordinate dei tre punti nel grafico cartesiano e abbozzare la circonferenza.
In questo modo avremo un’idea di quali sono le coordinate del centro e il valore del raggio, grazie ai quali è possibili fare un’ipotesi sull’equazione della circonferenza.
A questo punto ricordiamo l’equazione della circonferenza nella sua forma generale:
Riportiamo ancora una volta e coordinate dei tre punti:
Per quanto riguarda il passaggio per il punto A:
Sostituiamo le sue coordinate nell’equazione della circonferenza generica, ottenendo:
Se sviluppiamo questa equazione otteniamo la prima equazione del sistema lineare:
Ora procediamo con il punto B
Sostituiamo e abbiamo:
Sviluppando otteniamo la seconda equazione del sistema lineare:
Facciamo la stessa cosa con il punto C
Inserendo le sue coordinate nell’equazione di gamma:
La terza equazione ottenuta è:
Il sistema a cui siamo giunti risulta il seguente:
Dalla seconda equazione del sistema possiamo tranquillamente ricavarci il valore della c in funzione di tutte le altre variabili:
Ora andiamo ad inserire questo valore all’interno della prima equazione, che diventa
Siccome nella prima equazione abbiamo il valore della c in funzione della sola b, ci conviene calcolare nell’ultima espressione il valore della variabile a in funzione della b.
Ora che dalle prime due espressioni abbiamo sia il valore della a che il valore della c in funzione della variabile b, entriamo nella terza equazione e procediamo alla sostituzione:
Il sistema a questo punto dovrebbe essere il seguente:
Adesso che abbiamo il valore della b lo sostituiamo nelle prime due equazione in modo da ricavarci i valori della a e della c.
Sostituendo nella prima equazione abbiamo:
Mentre dalla seconda abbiamo:
Riorganizzando il sistema scriviamo:
A questo punto inseriamo i valori dei tre parametri ormai noti all’interno dell’equazione della circonferenza generica:
Ottenendo l’equazione della circonferenza che ci interessa:
