EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON DATE CONDIZIONI
In questo articolo vediamo con vari esempi come determinare l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse delle y quando vengono date alcune condizioni, in particolare:
- Vertice e direttrice
- Vertice e fuoco
- Tre punti
- Un punto e il vertice
GENERICA PARABOLA CON ASSE ∥ ASSE Y
Prima di partire ricordiamo quali sono le caratteristiche di una generica parabola con asse delle y.
In particolare a partire dalla sua equazione:
$$ y = ax^2+bx+c $$
Vediamo come si calcolano:
- Vertice
- Fuoco
- Direttrice
- Asse di simmetria
- Intersezione con gli assi
in funzione dei parametri a,b e c:
EQUAZIONE DELLA PARABOLA DATO VERTICE E DIRETTRICE
Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y dati il vertice V e la direttrice
$$ V(2,6) \quad d:\ y= \frac{25}{4} $$
SVOLGIMENTO
Dobbiamo ricercare l’equazione della parabola nella forma:
$$ y= ax^2+bx+c $$
Le coordinate del vertice in funzione dei tre parametri sono:
$$ V \left( – \frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = (2,6) $$
Mentre l’equazione della direttrice è:
$$ d: \quad y= \frac{-\Delta -1}{4a} = \frac{25}{4} $$
Dunque mettiamo a sistema le tre condizioni:
SISTEMA LINEARE
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} =2 \\ – \frac{\Delta}{4a} = 6 \\ \frac{- \ Delta -1 }{4a} = \frac{25}{4} \end{cases} $$
Andiamo ora a linearizzare le tre equazioni cambiando i segni:
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} =2 \\ – \frac{\Delta}{4a} = 6 \\ \frac{- \Delta -1 }{4a} = \frac{25}{4} \end{cases} \to \begin{cases} b=-4a \\ \Delta= -24a \\ \Delta +1 = -25a \end{cases} $$
Sostituiamo il valore di ∆ ricavato nella seconda equazione all’interno della seconda:
$$ -24a+1= -25a $$
Da cui otteniamo facilmente il valore del parametro a:
$$ -24a+1= -25a \to a=-1$$
Sostituendo questo risultato nella prima e nella seconda equazione troviamo il valore di b e di ∆:
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} =2 \\ – \frac{\Delta}{4a} = 6 \\ \frac{- \Delta -1 }{4a} = \frac{25}{4} \end{cases} \to \begin{cases} b=-4a \\ \Delta= -24a \\ \Delta +1 = -25a \end{cases} \to \begin{cases} b=-4(-1) = -4 \\ \Delta= -24(-1) = 24 \\ a=-1 \end{cases} $$
Ricordando che il ∆ è pari a:
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Inseriamo i valori trovati e possiamo scrivere:
$$ 4^2-4(-1)c= 24 $$
Risolviamo quindi l’equazione e ricaviamo il valore della c.
$$ 4c= 24-16 \to 4c= 8 \to c= 2 $$
Abbiamo dunque trovato i valori dei tre parametri che ci consentono di scrivere l’equazione della parabola:
$$ \begin{cases} a= -1 \\ b=4 \\ c=2 \end{cases} \to y= -x^2+4x+2 $$
EQUAZIONE DELLA PARABOLA DATO VERTICE E FUOCO
Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y dati il vertice V e il fuoco F
$$ V \left( 1, – \frac{3}{4} \right) \quad F(1,-1) $$
SVOLGIMENTO
Dobbiamo ricercare l’equazione della parabola nella forma:
$$ y= ax^2+bx+c $$
Le coordinate del vertice in funzione dei tre parametri sono:
$$ V \left( – \frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = \left(1,- \frac{3}{4}\right) $$
Mentre il fuoco risulta:
$$ F \left( – \frac{b}{2a}, \frac{- \Delta +1}{4a} \right) = \left(1,-1 \right) $$
Mettendo a sistema le tre condizioni costruiamo il sistema con tre equazioni e tre incognite:
SISTEMA LINEARE
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} = 1 \\ – \frac{\Delta}{4a} = – \frac{3}{4} \\ \frac{- \Delta +1}{4a} = – 1 \end{cases} $$
Moltiplichiamo tutte le equazioni per il denominatore comune e cambiamo i segni:
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} = 1 \\ – \frac{\Delta}{4a} = – \frac{3}{4} \\ \frac{- \Delta +1}{4a} = – 1 \end{cases} \to \begin{cases} b=-2a \\ \Delta = 3a \\ \Delta -1 = 4a \end{cases}$$
Sottraiamo il valore di ∆ ricavato in funzione di a nella seconda equazione all’interno della terza equazione e risolviamo l’equazione di primo grado ricavando il valore della a:
$$ 3a-1= 4a \to a=1$$
Sostituiamo questo valore nella prima e nella seconda equazione di modo da ricavare il valore di b e del ∆:
$$ \begin{cases} – \frac{b}{2a} = 1 \\ – \frac{\Delta}{4a} = – \frac{3}{4} \\ \frac{- \ Delta +1}{4a} = – 1 \end{cases} \to \begin{cases} b=-2a \\ \Delta = 3a \\ \Delta -1 = 4a \end{cases} \to \begin{cases} b=-2a= -2 \cdot (-1)= 2 \\ \Delta = 3a = 3 \cdot (-1)= -3 \\ a=-1 \end{cases}$$
Ricordiamo che il valore del ∆ è:
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Quindi sostituiamo i valori trovati di modo da ricavare una equazione di primo grado con incognita c , che risolviamo
$$ 2^2-4 \cdot(-1) c = -3 \to 4c= -7 \to c = – \frac{7}{4} $$
EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Abbiamo dunque i tre parametri che ci permettono di scrivere l’equazione della parabola:
$$ \begin{cases} b=-2a \\ \Delta = 3a \\ \Delta -1 = 4a \end{cases} \to \gamma:\ y= -x^2+2x-\frac{7}{4} $$
PARABOLA CON ASSE || ASSE Y PASSANTE PER TRE PUNTI
Determina l’equazione della parabola passante per tre punti A,B e C con asse ∥ all’asse delle y
$$ A(1,-3) \quad B(4,0) \quad C(0,0) $$
SVOLGIMENTO:
Dobbiamo ricercare l’equazione della parabola nella forma:
$$ \gamma: y= ax^2+bx+c $$
Scriviamo dunque l’equazione da destra verso sinistra in questo modo
$$ \gamma: ax^2+bx+c =y$$
Ora dobbiamo costruire un sistema lineare in cui imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti.
In pratica andiamo a sostituire nell’equazione della parabola le coordinate dei punti
$$ \begin{array}{l} A(1,-3) \\ B(4,0) \\ C(0,0) \end{array} \to \begin{cases} a+b+c=-3 \\ 16a+4b+c=0 \\ 0a+0b+c=0 \end{cases} $$
Il sistema lineare diventa dunque:
$$ \begin{array} A(1,-3) \\ B(4,0) \\ C(0,0) \end{array} \to \begin{cases} a+b+c=-3 \\ 16a+4b+c=0 \\ 0a+0b+oc=0 \end{cases} \to \begin{cases} a+b+c=-3 \\ 16a+4b+c=0 \\ c=0 \end{cases} $$
Dall’ultima equazione abbiamo ottenuto subito il valore della c, che possiamo andare quindi a sostituire nelle prime due equazioni:
$$ \begin{cases} a+b+c=-3 \\ 16a+4b+c=0 \\ c=0 \end{cases} \to \begin{cases} a+b=-3 \\ 16a+4b=0 \\ c=0 \end{cases} $$
Dalla prima equazione possiamo ricavare il valore di a in funzione di b, mentre possiamo dividere per 4 tutta la seconda:
$$ \begin{cases} a+b+c=-3 \\ 16a+4b+c=0 \\ c=0 \end{cases} \to \begin{cases} a+b=-3 \\ 16a+4b=0 \\ c=0 \end{cases} \to \begin{cases} a=-b-3 \\ 4a+b=0 \\ c=0 \end{cases}$$
Ora sostituiamo nella seconda equazione il valore di a ricavato dalla prima:
$$ 4(-b-3)+b=0 $$
Non ci resta che risolvere l’equazione di primo grado con incognita b:
$$ -4b-12+b=0 \to -3b= 12 \to b=-4 $$
Ora torniamo nella prima equazione per ricavare la a:
$$ a= -(-4)-3= 1 $$
Ecco dunque che abbiamo ricavato i tre parametri, da cui possiamo estrarre l’equazione della parabola 𝛾:
$$ \begin{cases} a=1 \\ b=-4 \\ c=0 \end{cases} \overset{y=ax^2+bx+c}{\longrightarrow} y= x^2-4x$$
EQUAZIONE DELLA PARABOLA DATO PUNTO E VERTICE
Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y dato un punto P e il vertice V
$$ P(4,10) \quad V(1,-8) $$
SVOLGIMENTO
Dobbiamo ricercare l’equazione della parabola nella forma:
$$ \gamma: y= ax^2+bx+c $$
Scriviamo dunque l’equazione da destra verso sinistra in questo modo
$$ \gamma: ax^2+bx+c =y$$
Sappiamo che passa per il punto P, dunque imponiamo il passaggio per tale punto sostituendo le due coordinate all’interno dell’equazione generica.
In tal modo cominciamo a creare una relazione lineare trai i tre coefficienti.
$$ P(x_0,y_0) = (4,10) : \quad ax_0^2+bx_0+c=y_0 \to 16a+4b+c=10 $$
Sappiamo inoltre che le coordinate del vertice sono:
$$ V \left( – \frac{b}{2a}, – \frac{\Delta}{4a} \right) = (1,-8) $$
mettiamo ora in un unico sistema le tre condizioni:
$$ \begin{array}{l} P(4,10) \\ x_V= 1 \\ y_V= -8 \end{array} \begin{cases} 16a+4b+c=10 \\ – \frac{b}{2a} = 1 \\ – \frac{\Delta}{4a} = -8 \end{cases} $$
Dalla prima equazione possiamo ricavare il valore della c in funzione degli altri due parametri a e b.
Mentre nella seconda e nella terza equazione moltiplichiamo per il denominatore comune cambiamo i segni
$$ \begin{array}{l} P(4,10 \\ x_V= 1 \\ y_V= -8 \end{array} \begin{cases} 16a+4b+c=10 \\ – \frac{b}{2a} = 1 \\ – \frac{\Delta}{4a} = -8 \end{cases} \to \begin{cases} c= -16a-4b+10 \\ b=-2a \\ \Delta= 32a \end{cases} $$
Sostituiamo ora nella prima equazione il valore di b che abbiamo ricavato nella seconda equazione in funzione di a:
$$ c= -16a-4(-2a)+10= -16a+8a+10=-8a+10 $$
In tal modo abbiamo ottenuto le variabili b, c, ∆ tutte in funzione di a:
$$ \begin{cases} c= -8a+10 \\ b=-2a \\ \Delta= 32a \end{cases} $$
A questo punto ci ricordiamo che il discriminate o delta dell’equazione di secondo grado si calcola in questo modo:
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Dunque andiamo a sostituire i risultati trovati
$$ \begin{array}{l} (-2a)^2-4a(-8a+10)=32a \\ 4a^2+4a(8a-10)= 32a \end{array} $$
Possiamo quindi dividere amo membri dell’equazione per 4a, dal momento che questo parametro non può valere zero:
$$ a+8a-10= 8 $$
Non ci resta ora che risolvere un’equazione di primo grado:
$$ 9a=18 \to a= 2 $$
Ora che abbiamo il valore della a lo sostituiamo per ricavare la b e la c, quindi possiamo ottenere la nostra parabola:
$$ \begin{cases} a= 2 \\ b=-2 \cdot 2 = 4 \\ c= -8 \cdot 2 +10 = -6 \end{cases} \overset{y=ax^2+bx+c}{\longrightarrow} y= 2x^2-4x-6 $$
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