La traslazione della parabola consiste un uno spostamento della parabola di un certo vettore tale da lasciare invariate: dimensioni e inclinazioni.
L’equazione della parabola traslata di un vettore pari al vertice è:
$$ \large{y-y_V = a(x-x_V)} \\ \ \\ \ \\ \text{$x_V,y_V$ sono le coordinate del vertice} \\ \text{$a$ è il parametro associato ad $x^2$} $$
Grazie all’equazione della parabola traslata:
$$ y-y_V = a (x-x_v) $$
è possibile ricavare l’equazione della parabola nella forma:
$$ y= ax^2+bx+c $$
Dalla quale è possibile ricavare:
- Vertice
- Fuoco
- Direttrice
- Asse di simmetria
- Intersezione con l’asse x e y
In particolare:
$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE}: & V\left( – \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{2a} \right) & \text{con }\ \Delta= b^2-4ac \\ \text{FUOCO}: & F \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) & \\ \text{DIRETTRICE}: & d:\ y= \frac{-\Delta -1}{2a} & \\ \text{ASSE DI SIMMETRIA}: & a:\ x= \frac{-b}{2a} & \\ \text{INTERS. ASSE Y}: & (0,c) & \\ \text{INTERS. ASSE X}: & \left(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) & \end{array} $$
EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA
Vediamo ora passo a passo il percorso che ci porta dall’equazione nella forma canonica della parabola alla sua forma più estesa.
L’equazione nella forma canonica della parabola è:
$$ \large{\gamma: \quad y= ax^2} $$
Si tratta di una parabola che ha il vertice situato nell’origine del sistema cartesiano.
Tale punto rappresenta simultaneamente le intersezioni sia con l’asse x che con l’asse y.
Il suo asse di simmetria è l’asse delle y stesso.
Con il termine a che determina l’ampiezza e la concavità della parabola.
In particolare se tale coefficiente è positivo la concavità è rivolta verso l’alto, mentre se questo è negativo la concavità risulta verso il basso.
Maggiore è in termini assoluti più la parabola diventa stretta attorno all’asse delle y.
EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA
Per giungere all’equazione della parabola nella sua forma canonica:
$$ \gamma: \quad y= ax^2 $$
Fissiamo un fuoco e una direttrice che risultino equidistanti dall’asse delle x, in particolare dall’origine.
Ad esempio di una distanza pari ad f.
Fissiamo il fuoco sull’asse delle y:
$$ F(0,f) $$
E come retta direttrice consideriamo la retta parallela all’asse delle x:
$$ y=-f \to y+f=0 $$
A questo punto consideriamo un generico punto P della parabola:
$$ P(x,y) \in \gamma $$
Imponiamo che la sua distanza dal fuoco e dalla direttrice risultino uguali
$$ \begin{array}{l} \overline{PF}= \gamma: & \text{dist}(P,F) = \text{dist}(PH) \\ & \overline{PF}= \overline{PH} \quad P(x,y) \in \gamma \end{array} $$
Ora inseriamo le formule corrispondenti:
$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$
EQUAZIONE DELLA PARABOLA – CALCOLI
I calcoli da sviluppare sono molto semplici.
Partendo dall’ultimo passaggio:
$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$
che possiamo meglio riscrivere in questo modo:
$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = |y+f| $$
Eleviamo alla seconda ambo i membri:
$$ x^2+(y-f)^2= (y+f)^2 $$
Sviluppiamo i due quadrati di binomio:
$$ x^2+y^2-2fy+f^2= y^2+2fy+f^2 $$
Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale:
$$ x^2= 4fy $$
che possiamo leggere in funzione della y:
$$ y= \frac{1}{4f} x^2 $$
Ora non ci resta che chiamare a la costante parametrica che moltiplica il quadrato della x
$$ a= \frac{1}{4f} $$
Questo parametro risulta dunque uguale al reciproco del quadruplo dell’ordinata del fuoco.
Ed ecco che infine abbiamo l’equazione della parabola nella forma canonica:
$$ y=ax^2 $$
TRASLAZIONE DELLA PARABOLA
Partendo dall’equazione canonica:
$$ y = ax^2 $$
Trasliamo ora la conica di modo che le coordinate del nuovo vertice siano:
$$ V (x_V, y_V) $$
Dunque ci serviamo per questa operazione di un vettore traslazione le cui componenti coincidono proprio con il nuovo vertice:
$$ v= \begin{pmatrix} x_V \\ y_V \end{pmatrix} $$
In questo modo l’equazione della parabola traslata è:
$$ y-y_V = a (x-x_V )^2 $$
SVILUPPIAMO I PASSAGGI DELLA NUOVA EQUAZIONE
A partire dalla parabola canonica traslata:
$$ y-y_V = a (x-x_V )^2 $$
Sviluppiamo il quadrato di binomio:
$$ y= y_V = a(x^2 -2x_V x +x_V^2) $$
Moltiplichiamo per a a destra per la parentesi e riordiniamo il polinomio rispetto alla y
$$ y= ax^2-2ax_Vx + ( ax_V^2 +y_V ) $$
Ora introduciamo le variabili sostitutive b e c:
$$ b= -2ax_V \quad c= ax_V^2 +y_V $$
Ed ecco che vediamo magicamente apparire la forma più conosciuta della parabola.
$$ y= ax^2+bx+c $$
COORDINATE DEL VERTICE
Partendo dalla nuova equazione
$$ y= ax^2+bx+c $$
È possibile calcolare le nuove coordinate del vertice in funzione dei parametri a, b, c.
Ricordiamo infatti che dalle sostituzioni effettuate:
$$ \begin{cases} b= -2ax_V \\ c= ax_V^2 + y_V \end{cases} $$
Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente l’ascissa del vertice xv
$$ x_V = – \frac{b}{2a} $$
Dalla seconda equazione ricaviamo l’ordinata del vertice
$$ y_V = c – a x_V^2 $$
Sostituiamo al posto della x del vertice il valore trovato dalla prima equazione:
$$ y_V = c-a \left( – \frac{b}{2a} \right)^2 = c- a \frac{b^2}{4a^2} = c- \frac{b^2}{4a} $$
Facendo il denominatore comune otteniamo
$$ y_V = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} $$
Il numeratore è esattamente l’opposto del delta (discriminate) dell’equazione di secondo grado:
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Dunque possiamo riscrivere l’ordinata del vertice in questo modo:
$$ y_V = – \frac{\Delta}{4a} $$
Le coordinate del vertice risultano dunque essere
$$ V \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) $$
COORDINATE DEL FUOCO
Ricordiamo che nell’equazione della parabola canonica
$$ y= ax^2 $$
le coordinate del fuoco erano:
$$ F(0,f) $$
E che il coefficiente a della parabola stesso era determinato in funzione di f:
$$ a= \frac{1}{4f} $$
Da questa relazione possiamo ricavare l’ascissa del fuoco in funzione del parametro a:
$$ a= \frac{1}{4f} \to f = \frac{1}{4a}$$
Dunque il fuoco è:
$$ F (0, f) = \left( 0 , \frac{1}{4a} \right) $$
Siccome tutta la parabola risulta traslata del vettore V vertice, determiniamo le nuove coordinate del fuoco aggiungendo quelle del vertice:
Dunque avremo che nell’equazione della parabola:
$$ y= ax^2+bx+c $$
il fuoco è così calcolato:
$$ F = (x_F, y_F) = (0,f) + (x_V, y_V) $$
che diventa:
$$ F = (x_F, y_F) = \left( 0, \frac{1}{4a} \right) + \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) $$
Dunque infine avremo:
$$ F = \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) $$
ASSE DI SIMMETRIA
L’asse di simmetria coincide con l’ascissa del vertice e del fuoco, dunque la sua equazione è:
$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} $$
EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE
Possiamo fare lo stesso ragionamento per la direttrice:
L’equazione della direttrice nella forma canonica era:
$$ y = -f $$
che in virtù della sostituzione di rima possiamo scrivere:
$$ y = -f = – \frac{1}{4a}$$
Ora dobbiamo solamente traslare in alto la direttrice dell’ordinata del vertice dunque nella parabola:
$$ y= ax^2+bx+c $$
la sua equazione diventa:
$$ d: \quad y= – \frac{1}{4a} + \frac{\Delta}{4a} = \frac{-1 + \Delta}{4a} $$
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Per trovare le intersezioni con gli assi cartesiano dobbiamo a porre le equazioni di questi a sistema con la parabola.
INTERSEZIONE CON L’ASSE Y
Dunque l’intersezione con l’asse delle y si determina con il seguente sistema:
$$ \gamma \cap \text{asse y}: \quad \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ x=0 \end{cases} $$
Sostituendo il valore della x nell’equazione della parabola otteniamo il valore della y del punto:
$$ y= a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \to y=c $$
Dunque cadiamo nel punto:
$$ \gamma \cap \text{asse y}: \quad (0,c) $$
INTERSEZIONE CON L’ASSE Y
Mentre se vogliamo i punti (eventuali) con l’asse delle x imponiamo il seguente sistema:
$$ \gamma \cap \text{asse x}: \quad \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ y=0 \end{cases} $$
Eguagliando i valori delle y per confronto otteniamo l’equazione di secondo grado:
$$ ax^2+bx+c =0 $$
che risolviamo con la formula risolutiva:
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{con $ \Delta = b^2-4ac$} $$
Il numero delle soluzioni dipende dal valore del delta:
$$ \begin{cases} \Delta >0 &\to& \text{2 soluzioni} \\ \Delta =0 &\to& \text{1 soluzione} \\ \Delta <0 &\to& \text{0 soluzioni} \end{cases} $$
Riepiloghiamo ancora una volta tutti i risultati
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