EQUAZIONE DELLA PARABOLA TRASLATA

La traslazione della parabola consiste un uno spostamento della parabola di un certo vettore tale da lasciare invariate: dimensioni e inclinazioni.

L’equazione della parabola traslata di un vettore pari al vertice è:

$$ \large{y-y_V = a(x-x_V)} \\ \ \\ \ \\ \text{$x_V,y_V$ sono le coordinate del vertice} \\ \text{$a$ è il parametro associato ad $x^2$} $$

Grazie all’equazione della parabola traslata:

$$ y-y_V = a (x-x_v) $$

è possibile ricavare l’equazione della parabola nella forma:

$$ y= ax^2+bx+c $$

Dalla quale è possibile ricavare:

• Vertice
• Fuoco 
• Direttrice
• Asse di simmetria
• Intersezione con l’asse x e y

In particolare:

$$ \begin{array}{l} \text{VERTICE}: & V\left( – \frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{2a} \right) & \text{con }\ \Delta= b^2-4ac \\ \text{FUOCO}: & F \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) & \\ \text{DIRETTRICE}: & d:\ y= \frac{-\Delta -1}{2a} & \\ \text{ASSE DI SIMMETRIA}: & a:\ x= \frac{-b}{2a} & \\ \text{INTERS. ASSE Y}: & (0,c) & \\ \text{INTERS. ASSE X}: & \left(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, 0 \right) & \end{array} $$

EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA

Vediamo ora passo a passo il percorso che ci porta dall’equazione nella forma canonica della parabola alla sua forma più estesa.

L’equazione nella forma canonica della parabola è:

$$ \large{\gamma: \quad y= ax^2} $$

Si tratta di una parabola che ha il vertice situato nell’origine del sistema cartesiano.

Tale punto rappresenta simultaneamente le intersezioni sia con l’asse x che con l’asse y.

Il suo asse di simmetria è l’asse delle y stesso.

Con il termine a che determina l’ampiezza e la concavità della parabola.

In particolare se tale coefficiente è positivo la concavità è rivolta verso l’alto, mentre se questo è negativo la concavità risulta verso il basso.

Maggiore è in termini assoluti più la parabola diventa stretta attorno all’asse delle y.

EQUAZIONE CANONICA DELLA PARABOLA

Per giungere all’equazione della parabola nella sua forma canonica:

$$ \gamma: \quad y= ax^2 $$

Fissiamo un fuoco e una direttrice che risultino equidistanti dall’asse delle x, in particolare dall’origine.

Ad esempio di una distanza pari ad f.

Fissiamo il fuoco sull’asse delle y:

$$ F(0,f) $$

E come retta direttrice consideriamo la retta parallela all’asse delle x:

$$ y=-f \to y+f=0 $$

A questo punto consideriamo un generico punto P della parabola:

$$ P(x,y) \in \gamma $$

Imponiamo che la sua distanza dal fuoco e dalla direttrice risultino uguali

$$ \begin{array}{l} \overline{PF}= \gamma: & \text{dist}(P,F) = \text{dist}(PH) \\ & \overline{PF}= \overline{PH} \quad P(x,y) \in \gamma \end{array} $$

Ora inseriamo le formule corrispondenti:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

EQUAZIONE  DELLA PARABOLA – CALCOLI

I calcoli da sviluppare sono molto semplici.

Partendo dall’ultimo passaggio:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = \frac{|y+f|}{\sqrt{0^2+1^2}} $$

 che possiamo meglio riscrivere in questo modo:

$$ \sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2} = |y+f| $$

Eleviamo alla seconda ambo i membri:

$$ x^2+(y-f)^2= (y+f)^2 $$

Sviluppiamo i due quadrati di binomio:

$$ x^2+y^2-2fy+f^2= y^2+2fy+f^2 $$

Eliminiamo i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale:

$$ x^2= 4fy $$

 che possiamo leggere in funzione della y:

$$ y= \frac{1}{4f} x^2 $$

Ora non ci resta che chiamare a la costante parametrica che moltiplica il quadrato della x

$$ a= \frac{1}{4f} $$

Questo parametro risulta dunque uguale al reciproco del quadruplo dell’ordinata del fuoco.

Ed ecco che infine abbiamo l’equazione della parabola nella forma canonica:

$$ y=ax^2 $$

TRASLAZIONE DELLA PARABOLA

Partendo dall’equazione canonica:

$$ y = ax^2 $$

Trasliamo ora la conica di modo che le coordinate del nuovo vertice siano:

$$ V (x_V, y_V) $$

Dunque ci serviamo per questa operazione di un vettore traslazione le cui componenti coincidono proprio con il nuovo vertice:

$$ v= \begin{pmatrix} x_V \\ y_V \end{pmatrix} $$

In questo modo l’equazione della parabola traslata è:

$$ y-y_V = a (x-x_V )^2 $$

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SVILUPPIAMO I PASSAGGI DELLA NUOVA EQUAZIONE

A partire dalla parabola canonica traslata:

$$ y-y_V = a (x-x_V )^2 $$

Sviluppiamo il quadrato di binomio:

$$ y= y_V = a(x^2 -2x_V x +x_V^2) $$

Moltiplichiamo per a a destra per la parentesi e riordiniamo il polinomio rispetto alla y

$$ y= ax^2-2ax_Vx + ( ax_V^2 +y_V ) $$

Ora introduciamo le variabili sostitutive b e c:

$$ b= -2ax_V \quad c= ax_V^2 +y_V $$

Ed ecco che vediamo magicamente apparire la forma più conosciuta della parabola.

$$ y= ax^2+bx+c $$

COORDINATE DEL VERTICE

Partendo dalla nuova equazione

$$ y= ax^2+bx+c $$

È possibile calcolare le nuove coordinate del vertice in funzione dei parametri a, b, c.

Ricordiamo infatti che dalle sostituzioni effettuate:

$$ \begin{cases} b= -2ax_V \\ c= ax_V^2 + y_V \end{cases} $$

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente l’ascissa del vertice x_v

$$ x_V = – \frac{b}{2a} $$

Dalla seconda equazione ricaviamo l’ordinata del vertice

$$ y_V = c – a x_V^2 $$

Sostituiamo al posto della x del vertice il valore trovato dalla prima equazione:

$$ y_V = c-a \left( – \frac{b}{2a} \right)^2 = c- a \frac{b^2}{4a^2} = c- \frac{b^2}{4a} $$

Facendo il denominatore comune otteniamo 

$$ y_V = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} $$

Il numeratore è esattamente l’opposto del delta (discriminate) dell’equazione di secondo grado:

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Dunque possiamo riscrivere l’ordinata del vertice in questo modo:

$$ y_V = – \frac{\Delta}{4a} $$

Le coordinate del vertice risultano dunque essere

$$ V \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) $$

COORDINATE DEL FUOCO

Ricordiamo che nell’equazione della parabola canonica 

$$ y= ax^2 $$

 le coordinate del fuoco erano:

$$ F(0,f) $$

E che il coefficiente a della parabola stesso era determinato in funzione di f:

$$ a= \frac{1}{4f} $$

Da questa relazione possiamo ricavare  l’ascissa del fuoco in funzione del parametro a:

$$ a= \frac{1}{4f} \to f = \frac{1}{4a}$$

Dunque il fuoco è:

$$ F (0, f) = \left( 0 , \frac{1}{4a} \right) $$

Siccome tutta la parabola risulta traslata del vettore V vertice, determiniamo le nuove coordinate del fuoco aggiungendo quelle del vertice:

Dunque avremo che nell’equazione della parabola:

$$ y= ax^2+bx+c $$

 il fuoco è così calcolato:

$$ F = (x_F, y_F) = (0,f) + (x_V, y_V) $$

 che diventa:

$$ F = (x_F, y_F) = \left( 0, \frac{1}{4a} \right) + \left( – \frac{b}{2a} , – \frac{\Delta}{4a} \right) $$

Dunque infine avremo:

$$ F = \left( – \frac{b}{2a}, \frac{-\Delta +1}{2a} \right) $$

ASSE DI SIMMETRIA

L’asse di simmetria coincide con l’ascissa del vertice e del fuoco, dunque la sua equazione è:

$$ a: \quad x = – \frac{b}{2a} $$

EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE

Possiamo fare lo stesso ragionamento per la direttrice:

L’equazione della direttrice nella forma canonica era:

$$ y = -f $$

 che in virtù della sostituzione di rima possiamo scrivere:

$$ y = -f = – \frac{1}{4a}$$

Ora dobbiamo solamente traslare in alto la direttrice dell’ordinata del vertice dunque nella parabola:

$$ y= ax^2+bx+c $$

 la sua equazione diventa:

$$ d: \quad y= – \frac{1}{4a} + \frac{\Delta}{4a} = \frac{-1 + \Delta}{4a} $$

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Per trovare le intersezioni con gli assi cartesiano dobbiamo a porre le equazioni di questi a sistema con la parabola.

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

Dunque l’intersezione con l’asse delle y si determina con il seguente sistema:

$$ \gamma \cap \text{asse y}: \quad \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ x=0 \end{cases} $$

Sostituendo il valore della x nell’equazione della parabola otteniamo il valore della y del punto:

$$ y= a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \to y=c $$

Dunque cadiamo nel punto:

$$ \gamma \cap \text{asse y}: \quad (0,c) $$

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

Mentre se vogliamo i punti (eventuali) con l’asse delle x imponiamo il seguente sistema:

$$ \gamma \cap \text{asse x}: \quad \begin{cases} y = ax^2+bx+c \\ y=0 \end{cases} $$

Eguagliando i valori delle y per confronto otteniamo l’equazione di secondo grado:

$$ ax^2+bx+c =0 $$

 che risolviamo con la formula risolutiva:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{con $ \Delta = b^2-4ac$} $$

Il numero delle soluzioni dipende dal valore del delta:

$$ \begin{cases} \Delta >0 &\to& \text{2 soluzioni} \\ \Delta =0 &\to& \text{1 soluzione} \\ \Delta <0 &\to& \text{0 soluzioni} \end{cases} $$

Riepiloghiamo ancora una volta tutti i risultati

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